Замена переменной в определённом интеграле

 Теорема. Пусть функция

 

1.определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке

 

2.

 

3. функция непрерывна на отрезке [ a, b ]

 

Тогда 

Пример 4.

Пример

Вычислить определенный интеграл

Пример

Вычислить определенный интеграл

Вычисление площадей плоских фигур

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Рисунок 2

Решение:

– парабола, вершина (m,n).

(0;2) – вершина

-2	0	2
4	2	4

Найдём пределы интегрирования.

Ответ: (кв.ед).

Пример 2.   Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Выполним чертеж (уравнение задает ось ):

 

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

Пример 3. Вычислить  площадь фигуры, ограниченной линиями

a) f (x) = 2 х – х ² и осью абсцисс

Решение: График функции f(x) = 2x - х² парабола. Вершина: (1; 1).

Ответ:

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: График функции – прямая.

x	0	4
y	0	2

Функция является обратной функции y = х ² на промежутке [0; +∞).

x	0	1	4
y	0	1	2

Пределы интегрирования указаны в таблицах значений функций.

Ответ: (кв. ед)

 

ТЕМА 5. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Общая характеристика матрицы

Матрицей размерности m*n называется таблица чисел (элементов), содержащая m строк и n столбцов.

 

 

В алгебраических выражениях часто используются специального вида матрицы:

Θ — нулевая

D — диагональная

E — единичная

Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы местами, то получится матрица А^т, которую называют транспонированной матрицей А.

 

Пример:

 

Если число строк и столбцов матрицы совпадает и равно n, то матрица называется квадратной n-го порядка.Две матрицы А и В одинаковой размерности равны, если все соответствующие элементы матриц равны.

 

Действия над матрицами

Умножение матрицы на число. Любую матрицу можно умножить на любое число, при этом все элементы матрицы умножаются на это число.

 

Сложение матриц. Две матрицы А и В одинаковой размерности можно сложить, при этом все соответветствующие элементы матриц складываются.

 

Свойства линейных операций

 

 

Умножение матриц

Две матрицы можно умножить, если число строк второй матрицы равно числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.

Элементы матрицы произведения С = АВ находятся по формуле:

где l — число строк второй и число столбцов первой матриц.

 

Свойства умножения матриц:

(где Е — единичная матрица)

Пример. Произведите умножение матриц

 

Всегда: строки первой матрицы умножаются на столбцы второй матрицы, то есть никогда не будет ситуации когда необходимо будет умножать столбцы первой на строки второй!

Важно: матрицы при умножении нельзя менять местами!!! — результат умножения будет другим

 

Обратная матрица

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А^-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А^-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.