Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х= х₀ – точка разрыва функции y=f(x), то в ней не выполняется хотя бы одно их 3-х условий первого определения непрерывности функции.

Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е.

lim f(x) =A и lim f(x) = B

При этом:

1. если А=В, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва

2. если А# В, то точка х₀ называется точкой конечного разрыва

Величину | A- B | называют скачком функции в точке разрыва первого рода

Точки устранимого разрыва и конечного скачка называются точками разрыва 1–го рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, или равен бесконечности

Пример 9.

Найти точки разрыва функции, если они существуют, б) найти односторонние пределы в точках разрыва и установить тип точек разрыва функции f(x)=2 x/(3+x)

Решение:

Функция f(x)=2 x/(3+x) не определена в точке х=-3, значит это точка разрыва. Найдем односторонние пределы в этой точке. Сначала найдем односторонние пределы функции
lim 2x/(3+x) = - ¥ при х → -3-0
lim 2x/(3+x) = +¥, при х  → -3+0
Один (оба) из односторонних пределов равен бесконечности, значит точка х=-3 точка разрыва второго рода.

Пример 10. Найти точки разрыва функции и определить их тип f(x)= (x² – 25)/(x-5)

Решение:

Область определения функции (- ¥,5)È (5, +¥). Точка х = 5 – точка разрыва
Рассмотрим lim f(x) при х → 5-0

Lim (x-5)(x+5)/(x -5)= lim (x+5) при х → 5

Lim (x+5) = 10 при x → 5-0

Lim (x+5) = 10 при x → 5+0

Т.е. односторонние пределы равны и х = 5 – точка устранимого разрыва 1 рода

Пример 11. Исследовать функцию на непрерывность и определить

 вид точек разрыва У= 1/х

Решение:

Область определения функции (- ¥,0)È (0, +¥). Точка х = 5 – точка разрыва
Точка х = 0 – точка разрыва

Рассмотрим односторонние пределы

Lim 1/x = - ¥ при х  → 0-0

Lim 1/x = + ¥ при х  → 0+0

Т.е. х=0 – точка разрыва 2 рода

Пример 12. Исследовать функцию на непрерывность и определить вид точек разрыва

f(x) = x / (1+x²)

Решение:
Область определения функции (- ¥,-1)È (-1, +¥). Точка х = -1 – точка разрыва
Рассмотрим односторонние пределы

Lim x/(1+x²) = - ¥ при х = -1-0

Lim x/(1+x²) = + ¥ при х = -1+0

Т.е. х=-1– точка разрыва 2 рода

Пример 13. Исследовать функцию на непрерывность

 

Решение.

Данная функция не определена в точках x = − 1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ± 1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.

Поскольку левосторонний предел при x = − 1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.

Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

 

Пример 14. Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точке x = 0.

Решение:

Данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией  для всех x, то искомая функция          

 

 

также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0. Так как

 то в данной точке существует устранимый разрыв.

Мы можем сконструировать новую функцию

 

которая будет непрерывной при любом действительном x.

Пример 15. Найти точки разрыва функции , если они существуют.

Решение:

Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных

 функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции

вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется.

Вычислим односторонние пределы при x = 0.

Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0.

Скачок функции в этой точке равен

При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие

 функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва.

Пример 16. Найти точки разрыва функции , если они существуют.

Решение:

Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет

разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.

Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода