Оценивание погрешности измерения массы жидкости, смешанной из двух компонент

Экспериментатор смешал жидкости из двух фляг, предварительно измерив по отдельности массы наполненных и затем пустых фляг. Результаты измерений следующие:

M ₁ – масса первой фляги и ее содержимого равна (540 ± 10) г;

m ₁ – масса первой пустой фляги равна (72 ± 1) г;

М ₂ – масса второй фляги и ее содержимого равна (940 ± 20) г;

m ₂ – масса второй пустой фляги равна (97 ± 1) г.

Определить полную массу жидкости и оценить предельную погрешность результата косвенного измерения.

Решение

Расчетная полная масса равна

М = М ₁ – m ₁ + М ₂ – m ₂ = (540 – 72 + 940 – 97) г = 1311 г.

Точность результата измерения оценивается погрешностью, равной сумме предельных погрешностей каждого из прямых четырех измерений

D = D М ₁ + D m ₁ + D М ₂ + D m ₂ = (10 + 1 + 20 + 1) г = 32 г.

Так как число составляющих погрешности больше двух, и принимая, что все они не зависят друг от друга, то воспользуемся формулой:

Тогда

 г.

Относительная предельная погрешность результата измерения

.

Таким образом, округляя расчетные значения массы и погрешностей, получим результат измерения:

М = (1310 ± 25) г.

Метрология и теория точности

Результаты решений студентами задач данного раздела позволят определить степень усвоения методологии метрологического и функционального анализа измерительных устройств и процедур, оценить умение составлять структурные и математические модели, делать расчеты методических погрешностей моделей, расчеты аддитивных и мультипликативных составляющих погрешности измерительной системы (устройства) по заданным погрешностям компонентов.

Задача 2.1

Вывод функции преобразования неуравновешенного моста с тензорезистором

Преобразователь деформации l в постоянное напряжение U построен на основе тензорезистора, включенного в четырехплечий мост. Питание осуществляется от источника напряжения E. Считаем, что уравнение тензорезистора линейное:

R ₁ (l) = R ₁ (l = 0) + lS,

где S – чувствительность тензорезистора, Ом/мм.

Номинальные сопротивления плеч моста принимаем одинаковыми: R ₁(0) = R ₂ = R ₃ = R ₄ = R.

Изобразить электрическую схему моста. Вывести функцию преобразо­вания U (l), упростить ее и записать в виде линейного уравнения. Получить выражение для методической погреш­ности от замены функции преобразования линейной зависимостью.

Решение

Схема неуравновешенного моста приведена на рисунке 2.1.

Напряжение на выходе моста в зависимости от деформации (функ­ция преобразования) имеет вид

 

Рисунок 2.1 – Схема моста с тензорезистором

 

Приведем к общему знаменателю и сгруппируем

.

Полагая lS << R   и принимая R ₁ = R ₂ = R ₃ = R ₄ = R, получим:

 и .

 Последнее выражение есть математическая функциональная модель, принимаем ее за номинальную функцию преобразования.

Методическая погрешность в абсолютных значениях от наложенного ограничения (lS << R) равна

.

Преобразуем это выражение:

Проанализируем полученное выражение, для чего обозначим . Тогда  где x имеет смысл относительного изменения сопротивления тензорезистора.

Разложим в ряд Тейлора полученное выражение в окрестности точки х = 0для x << 1

Вычислим производные

Следовательно, методическая погрешность примет вид нелинейной зависисмости от измеряемой деформации l

При числовом оценивании этой погрешности она может оказаться пренебрежимо малой.

 

Задача 2.2

Построение структурной функциональной модели измерительной установки с ручным дискретным уравновешиванием

Разработать структурную и математическую функциональные мо­дели установки с ручным уравновешиванием для измерения напряжения U _х компенсационным методом. Установка содержит высокочувствительное устройство типа гальванометра Г и потенциометр (дискретный декадный делитель), питающийся от источника опорного напряжения Е (рисунок 2.2).

На рисунке: N – число, результат измерения; α – показание гальванометра; U _к– компенсирующее напряжение; ОП – оператор.

Оператор, судя по показаниям гальванометра, вручную осуществляет уравновешивание, изменяя положение ручек потенциометра.

 

Рисунок 2.2 – Структурная схема установки

 

Решение

Решение осуществим в три этапа.

1-й этап. Разложение на функциональные звенья, функции которых представим математическими выражениями.

Электрическая цепь сравнения измеряемого U _х и компенсирующего U _кнапряжений позволяет получить на клеммах гальванометра разность U _х – U _к.

Гальванометр рассматривается как линейное звено, функция которого:

α = S _г(U _х – U _к),

где α – показания гальванометра; S _г– чувствительность.

Оператор, следящий за показаниями гальванометра и управляющий ручками декадных переключателей потенциометра, выполняет действия, которые могут быть описаны знаковой функцией. Он принимает решение аналогично тому, как это делает релейный элемент (цифровой компаратор)

                          1, если α > α ₀;

sign (α – α ₀) =   0, если α = α ₀;

                          –1, если α < α ₀,

где α₀ – показание гальванометра, номинально равное нулю;  "1"– решение оператора изменять положение ручек потенциометра в одну сторону; "–1" – в другую сторону; "0"– не изменять положения переключателей.

Потенциометр выполняет две функции.

Первая – суммирование предыдущего значения, установленного на переключателях, с добавляемыми оператором приращениями и запоминание результата. Эта функция может быть представлена в виде:

N = sign (α – α ₀),

где N – десятичное число, устанавливаемое на декадном переключателе после всех манипуляций оператором, i – шаг переключения.

Вторая функция – преобразование десятичного числа N в ком­пен­сирующее напряжение.

Положение переключателя определяет коэффициент деления К _д делителя, который пропорционален числу N. Этот коэффициент есть отношение набранного числа N к максимально возможному

N _max = 10 ⁿ,

где n – число десятичных разрядов (декад).

Тогда

К _д = = S _д N,

где S _д = 1/10 ⁿ имеет смысл чувствительности.

Выходное напряжение потенциометра образуется путем деления опорного напряжения, т. е.

U _к = К _д Е = S _д Е N.

Произведение S _д Е есть реальная ступень квантования, определяемая параметрами потенциометра.

Оператор, считывающий показания с переключателей и формирующий результат измерения, выполняет следующую линейную функцию:

Ũ _х = q _н N,

где q _н – номинальная ступень квантования, определяемая оцифрованными значениями переключателей.

2-й этап. Составление структурной функциональной модели.

Соединив соответствующим образом между собой выделенные на первом этапе функциональные звенья, преобразуем структурную схему установки в структурную функциональную модель, которая примет вид, показанный на рисунке 2.3.

3-й этап. Составление математической функциональной модели.

Уравновешивание заканчивается, когда α = α₀ , где α₀ – минимальное отклонение от нуля показания гальванометра, которое уверенно различает оператор.

Тогда

α = α ₀ = S _г(U _х – U _к) = S _г(U _х – S _д Е N).

Откуда

N =  .

Результат измерения Ũ_х оператор получает, умножая цифру N на переключателе на номинальную ступень квантования. При этом, как при любом цифровом измерении, возникает погрешность квантования.

 

	Ũ х

 

 

	Uх

 

Рисунок 2.3 – Структурная фукциональная модель установки

 

Следовательно, функция преобразования (математическая функциональная модель) установки примет вид

Ũ_х = ,

где Δ_кв [ –0,5 q _н; 0,5 q _н] – погрешность квантования в единицах измеряемой величины.

Коэффициент перед U _х есть реальная чувствительность, которая практически может отличаться от единицы за счет погрешностей звеньев цепи обратной связи. Параметры звеньев в прямой ветви замкнутого конту­ра не влияют на общую чувствительность.

Второе слагаемое, содержащее α ₀, близкое к нулю, в окончательной форме имеет знак "плюс". Так как предполагается, что α ₀ известно в виде некоторого симметричного предела.

Слагаемые, не зависящие от измеряемой величины, составляют аддитив­ную погрешность измерения.

Функциональная модель является основой для построения метрологической модели.

 

Задача 2.3

Построение метрологической модели и расчет требований
к точности звеньев канала измерения температуры

Провести функциональный и метрологический анализ канала измерения температуры Θ _х, который состоит из термопары, термостата для "холодных" концов термопары, источника Е _к компенсации ЭДС холодных концов, усилителя постоянного напряжения У и магнитоэлектрического микроамперметра МЭ с добавочным резистором R (рисунок 2.4).

Чувствительность прибора S _п= 1 дел/мкА; сопротивление рамки прибора r =100 Ом.

Номинальная функция преобразования термопары

Е _т = S _т(Θ _х – Θ₀),

где S _т  – чувствительность (0,1 мВ/ ⁰С); Θ _х – измеряемая температура, Θ _х [250; 1000] ºС; Θ₀ – температура холодных концов термопары, Θ₀ = + 100 ºС.

 

Рисунок 2.4 – Структурная схема канала измерения температуры

 

Вывести функцию преобразования канала и определить номинальные характеристики звеньев: термостата, источника напряжения компенса­ции, усилителя, добавочного сопротивления, если 100 делениям шкалы прибора соответствует 1000 ºС. Определить требования к погрешностям всех звеньев, если задана общая погрешность измерительного канала: аддитивная Δ ≤ 20 ºС и мультипликативная δ ≤ 2 %.

Решение

1 Вывод функции преобразования.

Функцию преобразования строим последовательно, начиная с конца цепи преобразования:

α = S _п I = S _п = S _п к_у U _вх = S _п к_у[ S _т(Θ _х – Θ₀)+ Е _к] =

= S _п S_R к_у[ S _тΘ _х +(Е _к – S _т Θ₀)],

где S _п – чувствительность прибора; I – ток в цепи микроамперметра; U _выхи U _вх– соответственно выходное и входное напряжения уси­лителя; к_y – коэффициент усиления; S_R = 1/ (R + r) – чувствительность цепи преобразования напряжения в ток; S _т – чувст­вительность термопары.

2 Определение номинальной чувствительности измерительного канала.

Полагаем, что выполняется равенство Е _к = S _тΘ₀.

Тогда номинальная функция преобразования

α = S _п S_R к_у S _дΘ _х = S Θ _х,

где S – общая чувствительность измерительного канала.

Отсюда следует, что

S = α _max / Θ _{x max} = 100 дел / 1000 ºС = 0,1 дел / ºС.

3 Составление функциональной структурной модели.

Структурная модель (рисунок 2.5) строится соединением звеньев, функции которых определены, исходя из полученной ранее функции преобразования измерительного канала.

 

Рисунок 2.5 – Функциональная структурная модель измерительного канала

 

4 Расчет характеристик звеньев.

Напряжение источника компенсации определяется следующим образом:

Е _к= S _тΘ₀ = 0,1 мВ/ ºС ·100 ºС = 10 мВ.

Максимальное входное напряжение усилителя:

U _{вх max} = S _тΘ_max = 100 мВ = 0,1 В.

Если максимальное выходное напряжение усилителя принять равным 10 В, то его коэффициент усиления к_у = 100.

Учитывая, что чувствительность микроамперметра S _п=1 дел/мк А = = 10⁶ дел/А, максимальное число делений α_max = 100 и максимальное выходное напряжение усилителя U _{вых max} =10 В, чувствительность цепи преобразования напряжения в ток:

S_R = ,

откуда R + r = 10⁵ Ом = 100 кОм.

Следовательно, R = 99,9 кОм, так как r = 100 Ом.

5 Составление структурной метрологической модели.

Метрологическая структурная модель строится путем добавления в функциональную структурную модель элементов, отражающих аддитивные и мультипликативные погрешности основных звеньев (рисунок 2.6).

 

Рисунок 2.6 – Структурная метрологическая модель

 

Мультипликативная погрешность звена отражается на модели умножением чувствительности звена на (1+d), где d – предельная относительная погрешность чувствительности. В нашем случае это d_т, d_у, δ _R и d_п, где индексы соответствуют индексам чувствительностей основных звеньев.

Аддитивные погрешности звеньев отражаются путем добавления через суммирование смещений нуля усилителя Δ_у и прибора Δ_п , и также некоторым отклонением от равенства S _тΘ₀ = E _к, что можно выразить абсолютными погрешностями ΔΘ₀ и Δ E _к

6 Составление математической метрологической модели и расчет погрешностей.

Мультипликативная погрешность измерительного канала определяется погрешностями последовательно включенных четырех звеньев и вычисляется по формуле:

.

Аддитивная погрешность, приведенная ко входу измерительного канала определяется аддитивными погрешностями звеньев, деленными на чувствительности всех предыдущих звеньев

В совокупности эти две формулы представляют собой математическую метрологическую модель (нелинейную составляющую погрешности не расматриваем).

По условию задачи d £ 0,02 и Δ £ 20 ºС.

По методу равных влияний принимаем мультипликативные погрешности звеньев равными, тогда

 (1%).

Погрешность d R есть погрешность суммы d(R + r). Следовательно, должны быть определены требования по точности отдельно к R и r. Однако R >> r, так как R»1000 r, ипогрешностью сопротивления рамки прибора можно пренебречь.

Рассматривая аддитивные погрешности, приравняем все четыре слагаемых под квадратным корнем. Тогда получим для каждой составляющей значение 20 ºС /  =10 ºС.

Следовательно,

ΔΘ₀ ≤ 10 ºС;

10 ºС, откуда Δ E _х ≤  1 мВ;

 10 ºС, откуда Δ_у ≤ 1 мВ;

10 ºС, откуда Δ_п   ≤  10 ^–5 ·100 ·10 ^–3 ·1 = 10 ^–6 А = 1 мкА.

 

 

Задача 2.4