Показатели разброса (меры изменчивости)

• Общий размах вариации  ;

• Квантильный размах вариации , где F< 0.5;

• Среднее линейное отклонение , где  =  ;

• Дисперсия — мера абсолютного разброса случайной величины (отклонение от среднего)

 ;

• Несмещенная дисперсия

 ;

 

• Среднеквадратическое (стандартное) отклонение — это расстояние от среднего и вычисляется как корень квадратный из дисперсии:

 ;

• Кривая Лоренца (кривая концентрации) — графический способ представления степени разброса значений признака в совокупности.

Чем более выпукла кривая, тем сильнее дифференцирован признак

При использовании данных эмпирического распределения:

• По оси абсцисс (Х) расположены доли накопленной частоты – F 100%;

• По оси ординат расположены доли накопленного суммарного признака F 100%.

Рисунок 6. Кривая Лоренца

Показатели относительного разброса (коэффициенты вариации)

• Общий относительный размах вариации  ;

• Отношение квантилей , где F < 0.5;

• Квантильные коэффициенты вариации (отношение средней по верхней части совокупности к средней по нижней части совокупности)  .

Показатели близости распределения изучаемой величины к нормальному распределению:

· Показатель асимметрии ( ) — нормированный центральный момент 3-го порядка — для характеристики асимметрии полигона совокупности:

Если полигон асимметричен, то одна из ветвей его, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая.

 — правая асимметрия;

 — левая асимметрия;

 — симметрия.

 

· Куртозис  — нормированный центральный момент 4-го порядка — используется для характеристики высоковершинности унимодального распределения:

 — высоковершинное;

 — низковершинное;

 — близко к нормальному.

 

· Эксцесс =  – 3

 

Характеристики связи

· Ковариация — мера линейной зависимости двух величин

 

· Коэффициент корреляции — мера статистической взаимосвязи двух или более величин

 — максимальная положительная связь;

 — максимальная отрицательная связь (обратная);

 — нет связи.

Виды средних

Пусть x_i — некоторый объемный признак i-го объекта, i = .

 — среднестепенное.

Таблица 6.

Виды среднестепенных

k= -1	=	среднее гармоническое	применяется для относительных величин
k= 0	=	среднее геометрическое	проценты, доли, индексы
k= 1	=	средняя арифметическая взвешенная	используется для совокупностей с нормальным распределением
k= 2	=	среднеквадратическое	применяется, когда значения X могут быть как >0, так и <0

Мажорантность средних — свойство средних о том, что с ростом k, средние степенные располагаются в следующем порядке:

гармоническое < геометрическое < арифметическое < квадратическое.

Средняя хронологическая

Пусть , …,  - значения некоторой объемной величины типа запаса в моменты времени , …, , тогда

временной отрезок  =  –  , i=1,…,N; = .

1. Дискретный случай

Пусть на каждом временном отрезке  динамика показателя линейна, тогда площадь одной трапеции:  * .

Суммарная площадь всех трапеций, деленная на число трапеций, будет являться общей средней хронологической:

2.  Расчет средней хронологической через среднегодовой коэффициент α

Осуществляется по данным на начало и конец периода (года)

 .

• Если динамика показателя равномерна (линейна), то α = 1/2;

• Если более интенсивные сдвиги в величине показателя происходят в 1-й половине периода, то α > 1/2;

• В противном случае, α < 1/2.

3. При предположении, что на данном отрезке времени неизменным остается относительный прирост, и динамика имеет экспоненциальный характер, справедливы следующие выражени я:

Темпы роста

Темпы роста величин типа потока выражают отношение потока за единицу (период) времени к потоку за некоторую предыдущую единицу (предыдущий период) времени. Темпы роста величин типа запаса показывают отношение запаса в момент времени к запасу в некоторый предыдущий момент времени.

= – — темп роста за i-й период времени;

=  — общий темп роста.