Параметр поврежденности Работнова-Качанова

Можно построить модель рассеянного хрупкого разрушения, введя новый безразмерный параметр поврежденности. Л.М.Качановым и Ю.Н.Работновым независимо и практически одновременно была предложена простейшая модель накопления повреждений, положившая начало бурно развивающейся области – механике рассеянного разрушения или механике повреждений (damage mechanics). Идея подхода состоит в том, что в материале предполагается рост внутренних дефектов, эквивалентный уменьшению эффективного сечения образца. Например, при одноосном растяжении напряжением σ₀ начальное сечение стержня  с ростом параметра поврежденности ω уменьшается и становится равным: . При этом эффективное напряжение при постоянной нагрузке растет

.                                                                       (4.2.1)

Далее принимается кинетическая гипотеза о том, что скорость роста параметра поврежденности зависит от эффективного напряжения, и простейшее предположение состоит в степенном характере этой зависимости:

                                          (4.2.2)

Интегрируя уравнение роста параметра поврежденности (4.2.2) и подставляя начальные условия (   при ), получим

, где .                                              (4.2.3)

 Можно рассмотреть три события, соответствующие трем условиям окончательного разрушения:

1. Всё сечение разрушено:

.                                                                                           (4.2.4)

Критическое время при этом:

.                                                                                                    (4.2.5)

2. Сечение уменьшилось пропорционально , и напряжение  (4.2.1) в расчете на ослабленное сечение  достигло предела прочности :

                                                                           (4.2.6)

Критическое время:

  .                                                     (4.2.7)

Если принять для наглядной оценки , а приложенное напряжение  то поправка (4.2.7) по отношению к (4.2.5) составит 12%. При экспериментальной оценке разброс по долговечности на разных образцах достигает 100 %, поэтому уточнения на проценты несущественны, и часто пользуются простейшим условием (4.2.4).

3. Поврежденность достигла некоторого критического значения:

                                                           (4.2.8)

при котором начинается неустойчивый рост дефектов. Последнее предположение наиболее правдоподобно и соответствует достижению критической длины для роста усталостной трещины. Такой же качественный вывод следует из анализа «модели пучка волокон» (разд. 4.2.3), когда накопление дискретных разрывов волокон, задолго до разрушения всех волокон, приводит к возникновению неустойчивого процесса последовательного разрыва волокон без роста (при уменьшении) внешней нагрузки, что соответствует возникновению «падающего» участка на диаграмме деформирования. Эксперименты по нагружению углепластиков с разной скоростью деформации показывают, что критическое значение параметра поврежденности  не является константой материала, но это значение при разрушении равно 0,5…0,7, т.е. существенно меньше единицы. Критическое время для условия 3:

.                                                   (4.2.9)

Если принять , , то поправка (4.2.9) по сравнению с   из (4.2.5) составит всего 3%. После достижения критической поврежденности  процесс разрушения развивается лавинообразно, поэтому время начала неустойчивого процесса (4.2.9) практически совпадает с временем его окончания  (4.2.5), оцененным по простейшей гипотезе (4.2.4). Заметим, что все соотношения остаются в силе, если под временем t понимать число циклов N, или - с учетом большой длительности нагружения - lg t; lg N.

В более общем случае кинетическое уравнение (4.2.2)  допускает следующее решение. Из определения эффективного напряжения (4.2.1):

                                    (4.2.10)

Полагая в начальный момент σ₀=σ _е при t =0 и в момент разрушения:  при t = t *, находим критическое время до разрушения:

                                                                (4.2.11)

совпадающее с (4.2.5) при степенном виде (4.2.2) функции

В данном разделе приведены упрощенные соотношения механики накопления повреждений - с единственной целью - отметить, что введение параметра (вектора, тензора) поврежденности и кинетического уравнения его роста типа (4.2.2), (4.2.11) позволяет из экспериментов при простых режимах нагружения определять параметры материала (С и n) и оценивать долговечность при других режимах нагружения.

Прочность пучка волокон

Эта модель отражает влияние статистического разброса прочности волокон на реализацию их прочности в однонаправленном композите. Этот «третий секрет прочности» подробно обсужден в Лекции 1.2.

Для исследования влияния разброса прочности по результатам испытаний на разрыв большого числа волокон строят гистограмму – ступенчатую фигуру (рис. 2.4.1, а), в которой высота каждой ступени зависит от числа волокон с прочностью в границах данной ступени Затем гистограмму нормируют, относя число волокон в каждом прямоугольнике гистограммы к общему числу испытанных волокон N и к шагу гистограммы  После нормирования площадь гистограммы становится равной единице. Остается только заменить ступенчатую функцию гладкой, что соответствует уменьшению длины шага гистограммы, и мы получим функцию плотности распределения прочности которая определена от некоторого наименьшего  значения прочности до наибольшего .

Если приложенное напряжение достаточно велико  разрушение обязательно произойдёт, его вероятность равна единице. При малых напряжениях  разрушение не происходит, его вероятность равна нулю. При промежуточном напряжении  вероятность разрушения равна площади под кривой слева от значения  то есть равна интегралу

                                                          (4.2.12)

который называется функцией распределения  (рис. 4.2.1, б).

а	б

Рис. 4.2.1. Функции распределения – б и плотности распределения – а прочности волокон

Модель разрушения пучка

Предположим, что в пучке N несвязанных волокон. С ростом приложенного среднего напряжения σ₀ разрушилось n (σ₀) наиболее «слабых» волокон. Значит, нагрузка распределилась на оставшиеся  волокон, и истинное напряжение на волокно σ _e связано с начальным средним σ₀ следующим выражением:

(4.2.13)

На рис. 4.2.2  показана условная зависимость начального напряжения  от истинного , и максимум этой зависимости соответствует критическому истинному напряжению  которое можно пересчитать в критическое условное напряжение  называемое «прочность пучка».

Рис. 4.2.2. Иллюстрация понятия прочности пучка волокон

 

Из условия максимума (4.2.13):  получаем уравнение, определяющее критическое напряжение :

(4.2.14)

и прочность пучка

(4.2.15)