Тема 4. Механика разрушения композитов

Дисциплина: МЕХАНИКА КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Тема 4. Механика разрушения композитов

Лекция 4.2. Дефекты в композитных конструкциях. Модели накопления повреждений. Рассеянное разрушение композитов

 

В огромном многообразии композитов наибольшие перспективы имеют армированные волокнами пластики (стекло-, угле-, органопластики), позволяющие получать прочные, легкие, оптимально армированные материалы-конструкции. В них реализуются основные принципы создания прочных и надежных материалов в природе, например, в древесине, кости, дентине зуба, раковине. Эти принципы – направленность (совпадение направлений укладки волокон с направлениями основных усилий) и неоднородность (чередование сильных и слабых элементов, что обеспечивает нехрупкость, нечувствительность к трещинам).

Дефекты в компонентах и в композитах

 Сложность структуры композитов приводит к необходимости рассматривать дефекты в них на различных уровнях и на разных стадиях изготовления компонентов, материалов, изделий, а также в связи с различными механическими, температурными, химическими, физическими воздействиями в процессе эксплуатации. На этих этапах могут возникать дефекты различных структурных уровней:

· микродефекты в компонентах (волокнах, матрице, на границе раздела);

· минидефекты в полуфабрикатах (тканях, препрегах, монослоях);

· макродефекты в композитных изделиях.

 Дефекты в композитах по своему происхождению можно разделить на:

· технологические (возникающие в процессе изготовления волокон, полуфабрикатов или изделий);

· конструкционные (связанные с необходимостью изменения формы детали в местах соединения композитных и металлических элементов, например, отверстия под заклепки или болты);

· эксплуатационные (развивающиеся в процессе монотонного, динамического, циклического или длительного нагружения). Развитием такого рода дефектов занимается относительно новая ветвь механики разрушения – механика повреждений (damage mechanics).

 

Прочность пучка волокон

Эта модель отражает влияние статистического разброса прочности волокон на реализацию их прочности в однонаправленном композите. Этот «третий секрет прочности» подробно обсужден в Лекции 1.2.

Для исследования влияния разброса прочности по результатам испытаний на разрыв большого числа волокон строят гистограмму – ступенчатую фигуру (рис. 2.4.1, а), в которой высота каждой ступени зависит от числа волокон с прочностью в границах данной ступени Затем гистограмму нормируют, относя число волокон в каждом прямоугольнике гистограммы к общему числу испытанных волокон N и к шагу гистограммы  После нормирования площадь гистограммы становится равной единице. Остается только заменить ступенчатую функцию гладкой, что соответствует уменьшению длины шага гистограммы, и мы получим функцию плотности распределения прочности которая определена от некоторого наименьшего  значения прочности до наибольшего .

Если приложенное напряжение достаточно велико  разрушение обязательно произойдёт, его вероятность равна единице. При малых напряжениях  разрушение не происходит, его вероятность равна нулю. При промежуточном напряжении  вероятность разрушения равна площади под кривой слева от значения  то есть равна интегралу

                                                          (4.2.12)

который называется функцией распределения  (рис. 4.2.1, б).

а	б

Рис. 4.2.1. Функции распределения – б и плотности распределения – а прочности волокон

Модель разрушения пучка

Предположим, что в пучке N несвязанных волокон. С ростом приложенного среднего напряжения σ₀ разрушилось n (σ₀) наиболее «слабых» волокон. Значит, нагрузка распределилась на оставшиеся  волокон, и истинное напряжение на волокно σ _e связано с начальным средним σ₀ следующим выражением:

(4.2.13)

На рис. 4.2.2  показана условная зависимость начального напряжения  от истинного , и максимум этой зависимости соответствует критическому истинному напряжению  которое можно пересчитать в критическое условное напряжение  называемое «прочность пучка».

Рис. 4.2.2. Иллюстрация понятия прочности пучка волокон

 

Из условия максимума (4.2.13):  получаем уравнение, определяющее критическое напряжение :

(4.2.14)

и прочность пучка

(4.2.15)

Распределение Вейбулла

Аналогичные оценки прочности пучка можно получить для более реального распределения Вейбулла, которое оказывается более обоснованным применительно к распределению прочности, чем называемое «нормальным» распределение Гаусса.

Гипотеза Вейбулла состоит в том, что прочность материала можно рассматривать, как прочность цепи, и разрушение соответствует разрыву слабейшего звена этой цепи. Теория «слабого звена» применительно к волокнам выглядит более логичной, чем для обычных квазиоднородных сплавов, где разрушение, возникшее в одной точке (в одном элементе характерного размера), может ещё не означать разрушение всей конструкции.

Обозначим P (L) вероятность разрушения волокна длины L для заданного напряжения σ. Тогда вероятность неразрушения: . Добавим к волокну данной длины L участок волокна произвольной длины L *. Вероятность одновременного выполнения двух независимых событий: неразрушения волокна на длине L и на длине L * выразится произведением вероятностей . Далее предлагается взять производную от логарифма этого произведения:

         (4.2.21)

В силу произвольного выбора длины L * она не зависит от L и производная от неё по L равна нулю. Получается, что производная (4.2.21) не зависит от аргумента, и, следовательно, равна константе – с, которая зависит только от приложенного напряжения и от статистических свойств прочности материала. Поэтому

 Это – основная идея.

Применительно к прочности волокон функцию распределения Вейбулла выбирают в следующем виде

                                   (4.2.22)

В формуле (4.2.22) пояснён смысл функции распределения прочности для модели пучка из N волокон, n из которых разрываются при данном напряжении.

Функция плотности распределения прочности получается дифференцированием (4.2.22):

                                    (4.2.23)

Здесь и ниже для простоты принято, что минимальная прочность

Распределение Вейбулла более обосновано применительно к прочности волокон, чем традиционное нормальное распределение Гаусса, которое, во-первых, «почему-то» симметрично, во-вторых, допускает бесконечно большие и отрицательные значения. Нормальное распределение имеет смысл для расчета точности артиллерийской стрельбы, когда отклонения от цели случайны и равновероятны, но для описания реальных, несимметричных, бимодальных («двугорбых») гистограмм прочности волокон его применение ничем, кроме привычки, не оправдано.

Согласно гипотезе Даниэльса-Дау-Розена прочность однонаправленного композита определяется прочностью волокон нормированной эффективной длины L_e (отнесенной, например, к нормирующей длине: L ₀ = 1 мм). Подробнее про понятие эффективной длины – в Лекции 1.2. Теперь (4.2.22), (4.2.23) можно переписать применительно к пучку волокон конкретной эффективной длины:

(4.2.24)

Если подставить (4.2.24) в (4.2.14), то найдем критическое истинное напряжение:  и прочность пучка волокон эффективной длины

(4.2.25)

где e – основание натуральных логарифмов. При исчерпании прочности пучка относительное число разрушенных волокон оказывается, естественно, меньше единицы:  Чем больше α (чем у же гистограмма на рис. 4.2.1, а), тем ближе к единице критическое значение  параметра поврежденности.

Средняя прочность волокон на нормированной базе испытаний  (при L ₀ = 1 мм) определяется через функцию плотности распределения прочности:

(4.2.26)

где обозначено и введена табулированная гамма-функция

Коэффициент реализации z прочности волокон к композите равен отношению прочности (4.2.25) пучка волокон эффективной длины к средней прочности волокон (4.2.26), определенной при испытаниях волокон с длиной  мм:

(4.2.27)

В таблице 4.2.1 приведены значения коэффициента реализации прочности  для разных отношений  базы испытаний волокон к их эффективной длине.

Таблица 4.2.1.

Коэффициент  реализации прочности волокон в однонаправленном композите в зависимости от эффективной длины  и параметра α ширины гистограммы

α	5	10	20
z (10)	1,04	0,95	0,94
z (20)	1,19	1,01	0,98

 

Как видно из табл. 4.2.1, коэффициент реализации прочности волокон растёт с уменьшением эффективной длины и с ростом ширины гистограммы (рис. 4.3.1, а).

Влияние роста поврежденности матрицы при длительном и циклическом нагружении на увеличение эффективной длины волокон и на снижение реализации их прочности рассмотрено в следующем разделе 4.2.4.

Результаты раздела 4.2.3 поясняют, почему прочность пучка волокон за счет накопления разрывов волокон всегда ниже, чем средняя прочность волокон. Статистическая теория прочности композитов предсказывает два противоположных эффекта: рост прочности при уменьшении длины волокна (до эффективной) и снижение прочности пучка по сравнению со средней прочностью волокон. Оценки, приведенные в табл. 4.2.1, показывают, что для реальных статистических параметров прочности волокон коэффициент реализации их прочности в композите чаще бывает меньше единицы из-за влияния быстро накапливающихся разрывов волокон в пучке.

 

Дисциплина: МЕХАНИКА КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Тема 4. Механика разрушения композитов