Правила вычисления погрешностей

 

подробное изложение методики измерения и расчета погрешности представлено в методических указаниях [1]. В данной работе приведены лишь основные правила вычисления погрешности при прямых и косвенных измерениях.

Бóльшая часть измерений - косвенные, а они включают в себя два различных этапа: прямые измерения и последующие расчеты. Следовательно, и оценка погрешности таких измерений также должна состоять из двух этапов. Сначала необходимо оценить погрешность значений тех величин, которые определяются непосредственно при прямых измерениях, а затем выяснить, как эта погрешность при расчетах приведет к погрешности в конечном результате.

Основной порядок математической обработки результатов много­кратных прямых измерений:

1) вычислить среднеарифметическое (действительное) значение измеряемой величины:

;                           (П.2.1)

2) рассчитать абсолютную погрешность прямых многократных измерений:

;          (П.2.2)

3) вычислить относительную погрешность результата измерений:

;                                    (П.2.3)

4) записать окончательный результат (с учетом правила округления) в виде:

.              (П.2.4)

при записи окончательного результата измерений (и оценки погрешности) необходимо придерживаться следующего правила: значение абсолютной погрешности результата измерений округляют до двух значащих цифр слева, а среднее значение – до того разряда, в котором находится вторая значащая цифра абсолютной погрешности.

Пример. Пусть в результате измерений и расчетов было получено:  = 17,968 см и D х = 0,237 см. Тогда окончательный результат (с учетом правил округления) следует записать в виде: х = (17,97 ± 0,24) см.

Основные этапы математической обработки результатов косвенных измерений:

1) провести прямые измерения всех величин (x, y, z,...), входящих в рабочую формулу   f = f (x, y, z,...), и математическую обработку полученных результатов;

2) вычислить действительное (среднеарифметическое) значение измеряемой величины < f >, подставив в рабочую формулу среднеарифметические значения переменных < х >, < y >, < z >,...:

< f > = f (< x >, < y >, < z >,...);                      (П.2.5)

3) рассчитать абсолютную погрешность результата:

,        (П.2.6)

где … – модули частных производных функции по переменным   х,   y,   z,  ..., вычисленные по среднеарифметическим значениям < x >, < y >,  < z >,...;

4) вычислить относительную погрешность результата:

;                                (П.2.7)

5) записать окончательный результат (с учетом правила округления) в виде:

 

.                     (П.2.8)

 

Если искомая величина представляет собой выражение вида

f = f (x, y, z) = x^ay^bz^c,                             (П.2.9)

т. е. не содержит операций сложения и вычитания, причем постоянные a, b, c  могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, проще сначала найти относительную погрешность e _f:

  a e _x + b e _y + c e _z.      (П.2.10)

После этого рассчитывают абсолютную погрешность D f по формуле D f = e _f ×á f ñ и записывают окончательный результат в стандартном виде (П.2.8).

Если при косвенных измерениях практически невозможно воспроизвести прежние условия проведения эксперимента, то в этом случае после проведения многократных прямых измерений величин x, у, z, …  для получения окончательного результата, т. е. á f ñ, D f, e _f, необходимо выполнить действия в следующем порядке:

1) для каждого из значений x_i, у _i, z_i, … вычислить значение f_i косвенно определяемой величины:

 

f_i = f (x_i, y_i, z_i, …);                            (П.2.11)

2) определить среднее значение измеряемой величины:

;                      (П.2.12)

3) вычислить погрешность каждого измерения:

D f_i = á f ñ - f_i,    i = 1, …, n;                  (П.2.13)

4) рассчитать случайную погрешность измерений:

;                            (П.2.14)

5) вычислить погрешность, вносимую различными инструментами в абсолютную погрешность косвенно измеряемой величины (назовем формально эту погрешность инструментальной D f _ин):

 .       (П.2.15)

При этом после нахождения частных производных в полученное выражение следует подставить наименьшие из измеренных значений x, у, z, …, приводящие к наибольшей погрешности D f _ин;

6) определить абсолютную погрешность:

    D f = D f _сл + D f _ин;                             (П.2.16)

7) рассчитать относительную погрешность:

  ×100 %;                               (П.2.17)

8) произведя округление результатов расчета, записать окончательный результат измерения в стандартном виде (П.2.8).

Абсолютную погрешность D f косвенно измеряемой величины f можно определить без непосредственного вычисления частных производных, используя формулы численного дифференцирования (прил. 3). Полученная на основе выражения (П.2.6) формула для расчета D f  примет вид:

  (П.2.18)

где  – среднее значение величины f.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ПРАВИЛА  ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ  И

ТАБЛИЦА  ПРОИЗВОДНЫХ

Из определения производной вытекают несколько правил дифференци - рования, использование которых позволяет свести дифференцирование функ-ций к вычислению производных элементарных функций:

производная постоянной величины (константы) равна нулю:

;                                         

постоянная величина (константа), являющаяся сомножителем функции, при дифференцировании выносится за знак производной:

;                                        

производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных функций:

;                                

производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс произведение первой функции на производную второй:

;                  

производная частного при делении двух функций преобразовывается по формуле:

;                      

производная сложной функции (т. е. функции от функции) равна произведению производной внешней функции по всему ее аргументу (т. е. по вложенной функции g) и производной вложенной функции по ее аргументу:

                                

или

.                               

(Производная сложной функции – наиболее сложное для практического применения правило дифференцирования, поэтому приведены две формы записи этого правила.)

Расчет погрешности косвенных измерений при выполнении лабораторных работ требует умения вычислять частные производные функции многих переменных. Чтобы вычислить такую производную по одному из аргументов, необходимо все остальные переменные объявить константами и руководствоваться далее обычными правилами дифференцирования:

              

Производные некоторых наиболее часто встречающихся элементарных функций:

гармонических функций синуса и косинуса -

      ; (П.3.9а)            ;       

экспоненциальной и логарифмической функций -

       ;     (П.3.10а)             ;            

степенной функции и два ее частных случая для n = –1 и n =  соответственно -

; (П.3.11а) ; (П.3.11б) .  (П.3.11в)

(Более полную таблицу производных можно найти в учебниках по высшей математике либо в специальных справочниках.)

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

СПРАВОЧНЫЕ  ДАННЫЕ

Таблица П.4.1

Десятичные приставки

Наименование	Обозначение	Отноше- ние	Наимено-вание	Обозначение	Отноше- ние
деци санти милли микро нано пико	д с м мк н п	10^-1 10^-2 10^-3 10^-6 10^-9 10^-12	дека гекто кило мега гига тера	да г к М Г Т	10^1 10^2 10^3 10^6 10^9 10^12

Учебное издание

 

ВОЗНЮК Сергей Викторович, ДРОЗДОВА Илга Анатольевна,

ИСАКОВ Владислав Антонович, КРОХИН Сергей Николаевич,

ЛИТНЕВСКИЙ Андрей Леонидович, НЕСТЕРОВ Владимир Петрович,

ПОКРАСА Николай Владимирович

 

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ 

ПО ЭЛЕКТРИЧЕСТВУ,  МАГНЕТИЗМУ И КОЛЕБАНИЯМ

 

 

______________________________________

 

Редактор  Н. А. Майорова

Корректор И. А. Сенеджук

 

***

 

 

Подписано в печать    .02.2014. Формат 60´84 ¹/₁₆.

Офсетная печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,7. Уч.-изд. л. 3,0.

Тираж 1000 экз. Заказ       .

 

 

**

 

 

Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа

Типография ОмГУПСа

 

 

*

 

 

644046, г. Омск, пр. Маркса, 35

 

 

ЛАБОРАТОРНЫЙ  ПРАКТИКУМ