Тема 5.2. Показатели вариации и структурные характеристики вариационного ряда распределения

1. Структурные средние величины

2. Показатели вариации

1. Для характеристики структуры вариационных рядов применяются показатели особого рода, которые можно назвать структурными средними.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.

Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Вычисление медианы в дискретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечетное число членов, то медианой будет вариант, находящийся в середине ранжированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух значений признака, расположенных в середине ряда.

Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным.

Пример 6: Предположим, рабочие бригады, состоящей из 9 человек имеют следующие тарифные разряды: 4 3 4 5 3 3 6 2 6.

Так как в данной бригаде больше всего рабочих 3-го разряда этот тарифный разряд и будет модальным.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

2 3 3 3 4 4 5 6 6.

Центральным в этом ряду является рабочий 4-го разряда, следовательно, данный разряд и будет медианным.

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной, не подчиняющейся нормальному закону распределения совокупности. Проиллюстрируем ее познавательное значение следующим примером.

Пример 7: Допустим, нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 имеют доходы в интервале от 100 до 200 долл. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50 000 долл.

 

№ п/п	1	2	3	4	…	50	51	…	99	100
Доход, долл.	100	104	104	107	…	162	164	…	200	50000

 

Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 600 - 700 долл., который не только в несколько раз меньше дохода 100-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, равная в данном случае 163 долл., позволит дать объективную характеристику уровня доходов 99% данной группы людей.

Пример 8. Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).

Предположим, распределение рабочих уже не отдельной бригады, а всего предприятия в целом по тарифному разряду имеет следующий вид:

 

Тарифный разряд	Численность рабочих, человек	Накопленная частота
2	12	12
3	48	60
4	56	116
5	60	176
6	14	190
Всего:	190

Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда - наибольшую частоту (60 человек) имеет 5-й тарифный разряд, следовательно, он и является модальным.

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда (N_Me):

, где  – объем совокупности.

В нашем случае: .

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95-м и 96-м рабочими. Необходимо определить, к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Медианным является 4-й тарифный разряд.

В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул:

 

,

 

где  – нижняя граница значения интервала, содержащего моду;

 – величина модального интервала;  - частота модального интервала;  – частота интервала, предшествующего модальному;  – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле:

,

где  – нижняя граница значения интервала, содержащего медиану;

   – величина медианного интервала;

   – сумма частот;

 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

 – частота медианного интервала.

 

Пример 9. Рассчитаем моду и медиану по данным таблицы:

Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода в январе 1998г.

 

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей	Накопленные частоты	Накопленные частоты, % к итогу
До 500	600	600	6
500-600	700	1 300	13
600-700	1 700	3 000	30
700-800	2 500	5 500	55
800-900	2 200	7 700	77
900-1000	1 500	9 200	92
Свыше 1000	800	10 000	100
Итого:	10 000		–

 

Следовательно, наибольшее число семей имеют среднедушевой доход 772 руб.

Таким образом, половина семей города имеет среднедушевой доход менее 780 руб., остальные семьи – более 780 руб.

2. Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Средняя величина, как уже отмечалось, – это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность.

Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Термин «вариация» произошел от латинского variatio – изменение, колеблемость, различие. Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случайную и систематическую.

Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Например, изучая силу и характер вариации в выделенной совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а, следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных отдельных единиц  к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.

Абсолютные и средние показатели вариации и способы их расчета

Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей. Наиболее простой из них – размах вариации, определяемый как разность между наибольшим (max) и наименьшим (min) значениями вариант .

Размах вариации улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду. Однако легкость вычислений и простота истолкования обусловили широкое применение этого показателя.

Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности. Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:

 – простое среднее линейное отклонение,

 – взвешенное среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко. Во многих случаях этот показатель не устанавливает степень рассеивания.

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (  – средний квадрат отклонений), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат:

 – простая дисперсия,

 – взвешенная дисперсия.

Корень квадратный из дисперсии  среднего квадрата отклонений представляет собой среднее квадратическое отклонение:

– простое среднее квадратическое отклонение,

– взвешенное среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.