Общая теория относительности (теория тяготения)

 

Гравитационное поле. Общая теория относительности (ОТО) была создана Эйнштейном в период с 1905 по 1915 г., представляет собой современную физическую теорию пространства, времени и тяготения.

Классическая теория тяготения была сформулирована в 1687 году И. Ньютоном, в основе которой лежит открытый им закон всемирного тяготения. Она справедлива в том случае, если гравитационное взаимодействие между телами слабое и тела движутся со скоростями, значительно меньшими, чем скорость света (). В противном случае необходимо учитывать релятивистские эффекты и тяготение необходимо рассматривать в рамках ОТО.

Центральным понятием теории тяготения является понятие поля, основными характеристиками которого в теории Ньютона являются напряженность и потенциал. Величину, равную отношению силы, действующей со стороны поля на тело массой , называют напряженностью гравитационного поля

.

Напряженность гравитационного поля  вблизи поверхности Земли совпадает с ускорением свободного падения. Из теории Ньютона следует, что поле тяготения – потенциальное поле, напряженность которого связана с гравитационным потенциалом соотношением

.

Если известно произвольное распределение плотности вещества в пространстве , то потенциал в точке с координатами  удовлетворяет уравнению Пуассона

,                                                       (49)

где  – оператор Лапласа.

Гравитационный потенциал, как и напряженность гравитационного поля, подчиня-ется принципу суперпозиции. Согласно этому принципу, гравитационный потенциал
какого-либо тела или системы тел может быть определен интегрированием уравне-
ния (49), т.е.

.

Ньютоновская теория тяготения позволяет с большой точностью описать обширный круг явлений: от движения искусственных и естественных спутников до движения небесных тел в двойных звездах, звездных скоплениях и галактиках.

Однако теория тяготения Ньютона имеет ограниченное применение. Она не согласуется со специальной теорией относительности, согласно которой взаимодействие между телами не может распространяться со скоростью, большей скорости света. Заметим, что в классической теории тяготения взаимодействие распространяется мгновенно (с бесконечной скоростью). Классическую теорию тяготения можно применять только в том случае, если

.                                                           (50)

Это условие в полях тяготения обычных небесных тел выполняется, так, например, на поверхности Солнца , а на поверхности белых карликов – порядка 10^-3.

Теория тяготения Ньютона неприменима в очень сильных гравитационных полях, когда поля разгоняют свободно падающие в нем тела до скоростей порядка скорости света. Она также неприменима и в слабых полях, удовлетворяющих условию (50), если частицы, пролетающие вблизи массивных тел, уже вдали от них имели скорость, сравнимую со скоростью света. В этих случаях движение небесных тел описывается общей теорией относительности.

Принцип эквивалентности. С созданием специальной теории относительности возник вопрос, почему такой фундаментальный принцип относительности должен быть применим лишь к инерциальным системам отсчета, не следует ли вслед за отказом от абсолютного времени отказаться от особой роли инерциальных систем в описании явлений природы. Ответы на подобные вопросы привели А. Эйнштейна к созданию общей теории относительности, в основу которой он положил принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс.

Характерной особенностью поля тяготения является то, что оно совершенно оди-наково действует на разные тела. Под действием этого поля тела вблизи Земли при-обретают одинаковые ускорения, равные ускорению свободного падения.

Согласно второму закону Ньютона ускорение, приобретаемое массой  под дей-ствием поля тяготения с напряженностью  определяется формулой напряженности гравитационного поля

.                                                    (51)

Опыт показывает, что ускорение  одинаково для всех тел при одинаковости . Следовательно, и отношение  оказывается для всех тел одним и тем же. Это означает, что можно выбрать единицы измерения так, что коэффициент пропорциональности станет равным единице и гравитационная и инертная массы становятся тождественными (). Тогда массы в (51) сокращаются и ускорение  не зависит от массы и равно напряженности  поля тяготения, что находится в согласии с опытами Галилея. Эквивалентность гравитационной и инертной масс означает, как видно из формулы (51), эквивалентность ускорения и напряженности поля тяготения.

Для иллюстрации этого утверждения обратимся к мысленному эксперименту Эйнштейна. Представим себе свободно падающий в поле тяготения лифт с наблюдателем внутри него. Для другого наблюдателя, находящегося на поверхности Земли, падающий лифт движется под действием поля тяготения. Однако для наблюдателя внутри свободно падающего лифта истинное поле тяготения исчезло, оно «уничтожено» введением системы отсчета, движущейся с ускорением свободного падения. «Странные вещи происходят в лифте! – пишет Эйнштейн, – если наблюдатель толкает тело в каком-либо направлении, например, вверх или вниз, то оно всегда движется прямолинейно и равномерно, пока не столкнется с потолком или полом лифта». Таким образом, движение тела для внутреннего наблюдателя происходит по инерции, как и следовало ожидать по законам классической механики. Однако для внешнего наблюдателя движение лифта и всех тел в нем подчиняется закону тяготения Ньютона. Далее Эйнштейн замечает: «Из этого примера мы видим, что последовательное описание явлений в двух различных системах координат возможно, даже если они не движутся прямолинейно и равномерно друг относительно друга. Но для такого описания мы должны принять во внимание тяготение, создающее, так сказать, «мост», позволяющий перейти от одной системы координат к другой. Поле тяготения существует для внешнего наблюдателя, для внутреннего оно не существует. Ускоренное движение лифта в поле тяготения существует для внешнего наблюдателя, для внутреннего же наблюдателя – покой. Но «мост», т.е. поле тяготения, делающий описание в обеих системах координат возможным, покоится на очень важной опоре: эквивалентности тяжелой и инертной масс».

Другой мысленный эксперимент Эйнштейна приводит к обратной имитации поля тяготения. Представим себе лифт, движущийся вверх с ускорением, равным ускорению силы тяжести, в то время как гравитационное поле исчезло. Какие явления будут происходить в лифте? С точки зрения внутреннего наблюдателя, все явления происходят так, как будто лифт висит, подвешенный на тросе, удерживающем его в поле тяготения. Уронив шарик, мы увидим, что он будет падать на пол с ускорением свободного падения. Таким образом, для внутреннего наблюдателя нет движения с ускорением, а есть некоторое поле тяготения. С точки зрения внешнего наблюдателя, находящегося в инерциальной системе отсчета, лифт движется с постоянным ускорением. Итак, для одного наблюдателя есть ускоренное движение и отсутствует тяготение, а для другого существует покой и наличие тяготения.

Поведение предметов в случае тяготения определяется их тяжелыми массами, а в случае ускоренного движения инертной массой. Если ускорение и тяготение эквивалентны и вызывают одни и те же физические явления, то инертная масса должна быть равна тяжелой. По словам М. Гарднера: «Принцип эквивалентности не что иное, как ошеломляющее утверждение (Ньютон счел бы Эйнштейна безумцем), что тяжесть и инерция – два различных слова для одного и того же явления».

Рассмотренные выше мысленные эксперименты имитирует только однородное гравитационное поле, одинаковое по величине и направлению во всем пространстве. Но поля тяготения, создаваемые массивными телами не являются таковыми, они неоднородны.

Чтобы имитировать, например, сферически-симметричное поле Земли нужны ускоренные системы с различным направлением ускорения в различных точках. Наблюдатели в разных системах, установив между собой связь обнаружат, что они движутся ускоренно друг относительно друга, и тем самым установят, что истинное поле тяготение отсутствует. Таким образом, истинное поле тяготения не сводится только к введению ускоренной системы отсчета в обычном евклидовом пространстве или в псевдоевклидовом пространстве специальной теории относительности.

Эйнштейн показал, что истинное гравитационное поле в каждой точке пространства эквивалентно соответствующим образом ускоренной системе отсчета тогда, когда в любой конечной области пространство–время будет искривленным – неевклидовым. Таким образом, согласно теории тяготения Эйнштейна, истинное гравитационное поле есть проявление искривления четырехмерного пространства–времени. В основу общей теории относительности положена неевклидова геометрия, созданная Н.И. Лобачевским, Я. Больяй, К. Гауссом и Б. Риманом.

В отсутствии поля тяготения в специальной теории относительности свободное движение тела изображается на диаграмме Минковского прямой мировой линией. В общей теории относительности из-за наличия поля тяготения пространство–время искривлено и мировые линии свободно движущихся частиц являются времениподобными геодезическими линиями, а лучи света – нулевыми геодезическими мировыми линиями.

Геодезическая линия – это геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой линии на случай неевклидовых пространств. В евклидовом и псевдоевклидовом пространствах прямая – это кратчайшее расстояние между двумя точками.

В римановом пространстве, т.е. в пространстве постоянной кривизны, кратчайшим расстоянием между двумя точками является геодезическая линия. Наглядным образом двумерного риманова пространства является сферическая поверхность. Для сферической поверхности такими геодезическими линиями будут дуги больших кругов. Например, на поверхности Земли кратчайшими расстояниями являются дуги меридианов. Согласно общей теории относительности все тела в поле тяготения движутся по геодезическим линиям в искривленном пространстве–времени с переменной скоростью.

Кривизна пространства–времени (т.е. его искривление) создается источниками гравитационного поля, к которым относится не только масса вещества, но и все виды энергии, заключенные в веществе. Эта идея является обобщением на случай теории тяготения принципа эквивалентности массы и энергии (). Таким образом, согласно общей теории относительности, тяготение зависит не только от распределенной в пространстве массы, но и от их движения, от всех видов физических полей.

Основное метрическое соотношение четырехмерной геометрии пространства–времени для квадрата расстояния между двумя бесконечно близкими точками

Величины  можно рассматривать как четыре координаты события в четырехмерном пространстве Минковского . Тогда инвариант преобразования Лоренца в сокращенной записи принимает вид

,                                            (52)

где , при  и , если .

Формула (52) определяет ортогональную (прямоугольную) систему координат. Если координатная система не прямоугольная, а косоугольная, то  имеет иные, ненулевые и неединичные значения. Коэффициенты определяют метрику пространства–времени. Совокупность всех  называют фундаментальным метрическим тензором. С помощью метрического тензора вычисляются расстояние между точками и интервал времени. Например, для бесконечно малого интервала  по часам, покоящимся в системе отсчета, . При наличии поля тяготения величина  в разных точках пространства различная, следовательно, темп течения времени зависит от поля тяготения. Оказывается, что чем сильнее поле, тем медленнее течет время по сравнению с течением времени для наблюдателя вне поля. Математическим аппаратом ОТО является тензорное исчисление. Понятие тензора было введено Риччи в (1887–1889), а свое название и новое поле применения оно получило в 1914–1916 г. в работах Эйнштейна по общей теории относительности.

В науке и технике часто встречаются величины, которые определяются одним числом, например масса, время, температура и т.д. Эти величины называют скалярными.
Однако многие физические величины определяются не только числом, но и направлением, например перемещение, скорость, ускорение, сила, импульс и др. Эти величины называют векторными. Графически любую векторную величину удобно представлять стрелкой, длина которой пропорциональна величине вектора, а направление определяет направ-ление вектора. Относительно прямоугольной системы координат вектор определяется
заданием трех чисел (ортогональных проекций). Не претендуя на строгость, попробуем дать некоторое наглядное представление о тензоре, исходя из обобщения понятия вектора. Рассмотрим закон Ома в дифференциальной форме , где  – плотность тока,  – напряженность электрического поля. Если излучаемая среда изотропна, то  – скаляр и, например для х -компоненты плотности тока, имеем

.                                                             (53)

Аналогично записываются и остальные  и  компоненты вектора . Однако, если среда анизотропна, что имеет место в кристаллах, плотность тока в х -направлении может зависеть от напряженности поля в y - и z- направлениях. Тогда уравнение (53) примет
вид

,

где  

или в общей форме

В обычном трехмерном пространстве скалярная электропроводность  задается набором девяти элементов . Таблица из девяти элементов определяют тензор второго ранга

.

Величины, которые не изменяются при повороте системы координат (инвариантны) можно определить как скаляры. Величины, компоненты которых преобразуются по тем же законам, что и компоненты радиуса-вектора – это векторы. Тензор второго ранга – это есть величина, значения которой на определенных направлениях представляют векторы. Законы природы, выраженные в тензорных уравнениях, остаются неизменными при координатных преобразованиях.

Однако не любая квадратная таблица чисел или функций образует тензор. Существенное условие, налагаемое на компоненты тензора, состоит в том, что они преобразуются по определенному закону. По характеру этих преобразований тензоры подразделяются на контрвариантные и ковариантные. Обычно компоненты контрвариантного тензора обозначают индексом наверху , а компоненты ковариантного тензора – индексом снизу . Законы ОТО записываются в произвольных криволинейных координатах, как говорят, в ковариантной форме. Следуя определению тензора, скаляр можно назвать тензором нулевого ранга, а вектор – тензором первого ранга. Ковариантный тензор второго ранга  (с компонентами ) удобно представить в виде квадратной таблицы (3 3 в случае трехмерного пространства).

Основная задача ОТО заключается в определении гравитационного поля, что соответствует в ОТО нахождению геометрии пространства–времени, которая сводится к нахождению метрического тензора . Изменением фундаментального тензора при переходе от одной мировой точки к другой выражается кривизна пространственно-временного континуума. Если компоненты метрического тензора  не равны нулю или единице, как в евклидовом пространстве, но сохраняют одни и те же значения во всех точках, то такое неевклидово пространство называется римановым пространством, или пространством постоянной кривизны. Для двумерного риманова пространства наглядным образом является сферическая поверхность. Евклидово пространство является частным случаем риманова пространства, когда кривизна пространства равна нулю. Математически кривизна плоской кривой характеризуется отношением угла  между касательными к кривой в двух точках, отстоящих друг от друга на  в пределе  точка  стремится к  (рисунок 45).

Рисунок 45

 

Величина, обратная кривизне С, называется радиусом кривизны в данной точке кривой. Нечто подобное имеет место в искривленном пространстве–времени, только произвольная кривая линия должна быть заменена геодезической линией. Геодезическая линия и есть линия, направление которой целиком определяется кривизной пространства. Поскольку кривизна пространства связана с изменением метрического тензора, то матема-тически она может быть выражена тензором более высокого ранга, чем метрический. Выражение , полученное дифференцированием метрического тензора , является мерой кривизны пространства–времени и называется символом Кристоффеля, набор которых характеризует искривление пространства в различных направлениях. Следующий шаг в математическом оформлении ОТО состоял в определении аналитического понятия, соответствующего кривизне пространства в каждой точке. Таким выражением являются тензоры Римана–Кристоффеля , которые получаются двукратным дифференциро-ванием метрического тензора . Этот тензор четвертого ранга называется тензором кривизны. Это понятие появилось у Римана в 1854 году, а у Кристоффеля в 1869 году, но уже в 1914 году в статье, написанной вместе с Фоккером, Эйнштейн высоко оценил значение этого тензора: «Математическое значение этого тензора заключается в следующем. Если континуум обладает тем свойством, что существует такая координатная система, в которой  постоянные величины, то все обращаются в нуль. Если вместо первоначальной системы выбрать любую другую новую координатную систему, то , отнесенные к последней, не будут больше постоянными величинами. Однако тензорный характер величин  влечет за собой то, что эти компоненты в произвольной выбранной системе координат тоже обращаются в нуль. Исчезновение тензора Римана–Кристоффеля является, следовательно, необходимым условием для того, чтобы можно было посредством надлежащего выбора координатной системы сделать  постоянными». Дадим наглядное
геометрическое представление о тензоре Римана–Кристоффеля. Пусть в некотором
пространстве (для простоты возьмем двумерное пространство) движется параллельно себе вектор . Он обходит замкнутый контур и возвращается в исходную точку (рисунок 46а).

а)	б)

                                                                                        

                     Рисунок 46                                      

 

Если такой обход совершен на евклидовой плоскости, то вектор, пройдя по любому контуру, совпадает по направлению и величине со своими первоначальными величиной и направлением.

На рисунке 46а  – первоначальный вектор до обхода контура;  – вектор, в который он превратился в результате обхода контура. Если на каком-либо участке плоскости вектор после параллельного перемещения по замкнутому контуру меняет направление и образует ненулевой угол с первоначальным направлением, то это свидетельствует, что в пределах данного участка геометрия отступает от евклидовых закономерностей и пространственные соотношения подчиняются римановой геометрии. Отступление от евклидовой геометрии можно наглядно получить, если плоскость в пределах аномального участка переходит в кривую поверхность, искривилась. Мерой кривизны поверхности в некоторой точке является выражение

,

где S – площадь, ограниченная контуром.

В геометрии Римана устанавливается, что угол  (сферический избыток) равен отношению площади S наибольшего треугольника, построенного на поверхности сферы к квадрату радиуса r сферы:

 ,

тогда

.

Представим еще более конкретное образование «сферического избытка», то есть различия направлений  и . Пусть на поверхности шара начерчен замкнутый контур – прямоугольный сферический треугольник, образованный тремя перпендикулярными геодезическими линиями, пересекающимися в точках  и  (рисунок 46б).

Вектор направления геодезической линии переносится параллельно себе – в этом состоит определение геодезической линии. Определением параллельного переноса вектора вдоль геодезической линии является сохранение между ними одного и того же угла. В дан-ном случае вектор , первоначальное направление которого в точке Р ₁ совпадает с направлением , переносится по контуру параллельно самому себе. Сохраняя то же напра-вление, вектор в точке  займет положение , перпендикулярное линии . Сохраняя прямой угол с этой линией, он в точке  займет положение , совпадающее с направлением меридиана . Двигаясь вдоль последнего, вектор вернется в точку , заняв положение , образующее угол  (см. рисунок 46б) с первоначальным направлением . Это свидетельствует об определенной кривизне поверхности, охваченной контуром . Сферический избыток (угол ), получающийся при обходе участка в неевклидовом пространстве, аналитически выражается тензором кривизны .

 Любой тензор, если он равен нулю в одной системе координат, равен нулю и в любой другой системе координат – в этом заключается интерес физика к тензорному исчисле-нию. Тензор в евклидовом пространстве равен нулю. В свою очередь, если этот тензор равен нулю, то пространство подчиняется евклидовой геометрии.

Создание стройной теории кривизны мира и представление в этом мире физических законов – самое значительной событие в истории науки. Центральной идеей ОТО было отождествление искривления пространства с тяготением.

Основной задачей теории тяготения (ОТО) является определение гравитационного поля, что соответствует в ОТО нахождению геометрии пространства–времени, которая, в свою очередь, сводится к нахождению метрического тензора .

Уравнения тяготения Эйнштейна связывают величины  с величинами, характе-ризующими материю. Эти уравнения имеют вид

,                                              (54)

где  – тензор Риччи, выражающийся через ;  – скалярная кривизна риманова пространства; – тензор энергии–импульса материи, компоненты которого выражаются через плотность, потоки импульса, энергии и другие величины, характеризующие материю и ее движение.

В зависимости от знака R возможны следующие три случая. Если R >0, то пространство называется пространством постоянной положительной кривизны, или сферическим пространством (пространством Римана). Это пространство имеет конечный объем, но не имеет границ. При R =0 пространство называется плоским (евклидовым или псевдоевклидовым пространством). Если R <0, то пространство называется гиперболическим (пространство Лобачевского). Последние два пространства являются бесконечными, имеющими бесконечный объем.

После создания ОТО Эйнштейн показал, что существует возможность изменения уравнений. Это изменение состоит в добавлении к правой части уравнения (54) космологической постоянной .

Целью этого усложнения теории было ее распространение на модель стационарной Вселенной. Космологическую постоянную можно рассматривать как величину, описы-вающую плотность энергии и давление вакуума. Однако в 20-х годах ХХ в. А. Фридман показал, что уравнения Эйнштейна без -члена приводят к эволюционирующей (нестационарной) модели Вселенной. Вселенная не может быть стационарной, она должна либо сжиматься, либо расширяться. Из расчетов Фридмана следовало, что при плотности
распределения вещества во Вселенной, большей некоторой критической (), пространство обладает положительной кривизной, а Вселенная конечна (но столь же безгранична, как и в открытой модели). Критическая плотность  кг/м³. В другой модели кривизна пространства отрицательна или в пределе равна нулю. В этом случае Вселенная бесконечна (открытая модель), а расстояния между скоплениями галактик со временем неограниченно возрастает. Эта модель Вселенной реализуется при . Характер
эволюции схематически показан на рисунке 47 (замкнутая модель – 3) и (открытая мо-
дель – 1). По оси абсцисс отложено время, отсчитываемое от момента Большого взрыва. По оси ординат отложен некоторый масштабный фактор, например, расстояние между двумя далекими галактиками .

                                                           Рисунок 47

 

Модель нестационарной расширяющейся Вселенной нашла экспериментальное подтверждение лишь после открытия красного смещения (эффекта разбегания галактик) американским астрономом Э. Хабблом (1929).

По своему виду уравнения Эйнштейна подобны уравнениям классической теории тяготения. В обоих случаях слева стоят величины, характеризующие поле, а справа – величины, характеризующие материю, создающую поле. Однако уравнения (53) имеют ряд существенных особенностей. Уравнение (49) линейно и поэтому удовлетворяют принципу суперпозиции. Это уравнение позволяет вычислить гравитационный потенциал для любого распределения массы. В ОТО уравнения (54) нелинейны, не удовлетворяют принципу суперпозиции. В этой теории нельзя произвольным образом задать правую часть уравнений , зависящую от движения материи, а затем вычислить гравитационное поле (). Решение уравнений Эйнштейна находится самосогласованно, поскольку гравитационное поле определяется материей и энергией , что в свою очередь зависит от интенсивности гравитационного поля. С физической точки зрения, это соответствует тому, что в ОТО материя создает искривление пространства–времени, которое влияет на движение материи, создающей искривление. В случае слабых гравитационных полей метрика пространства–времени мало отличается от евклидовой и уравнения Эйнштейна переходят в уравнения теории Ньютона. Особенно существенны эффекты теории Эйнштейна в сильных гравитационных полях. Важнейшие из них связаны с возникновением черных дыр, сингулярностей пространства–времени (мест, где формально согласно теории обрывается существование гравитационных волн).

ОТО не является квантовой теорией, и в этом отношении она подобна максвеллов-ской теории. Применение квантовой механики к теории гравитации приводит к квантовому представлению гравитационной волны в виде потока гравитонов, представляющих собой нейтральные частицы с нулевой массой покоя и со спином 2.

Квантовые эффекты в подавляющей части Вселенной весьма слабы, и можно поль-зоваться в космологии неквантовой ОТО. Однако эти эффекты становятся весьма существенными вблизи сингулярностей поля тяготения, где искривления пространства–времени очень велики. ОТО оказывается неприменимым при радиусах кривизны порядка планковской длины , которая является ничтожно малой величиной ( м). Сингулярные состояния возникают в ходе гравитационного коллапса. Сингулярность также имела место в прошлом, в момент Большого взрыва, приведшего к возникновению расширяющейся Вселенной.

Экспериментальная проверка теории Эйнштейна связана в первую очередь c доказательством справедливости принципа эквивалентности гравитационной и инертной масс, поскольку именно он положен в основу ОТО. Эксперименты Этваша доказали спра-ведливость принципа эквивалентности с точностью до 10^-8; американский физик Р. Дикке довел точность до 10^-10, а В. Брагинский – до 10^-12.

Другой проверкой ОТО является изменение частоты  света при его распространении в гравитационном поле. Теория предсказывает изменение частоты  при распро-странении между точками с разностью гравитационных потенциалов

.

Эксперименты в лабораторной системе подтвердили эту формулу с точностью до 1 %, а эксперименты на ракетах – до 0,04 %.

Теория относительности предсказывает искривление луча света при его прохождении вблизи массивных тел. Аналогичное отклонение следует и из ньютоновской теории тяго-тения, однако ОТО предсказывает вдвое больший эффект. Многочисленные наблюдения этого явления при прохождении света от далеких звезд вблизи Солнца (во время полных солнечных затмений) подтвердили предсказание ОТО (показано на рисунке 48) с точ-ностью около 20 %. Искривление световых лучей в поле тяготения Солнца; тонкая линия указывает кажущееся направление на звезду.

Рисунок 48

 

Угол отклонения луча у края солнечного диска составляет . Гораздо большая точность была достигнута с помощью современных средств наблюдения космических точечных радиоисточников. В этом случае предсказание теории подтверждено с точностью около 6 %.

Наиболее впечатляющим подтверждением искривления пространства–времени является обнаружение так называемых гравитационных линз (рисунок 49).

Если свет идет от какой-либо далекой звезды S (или галактики), то гравитационное поле более близкого массивного (С) объекта искривляет эти лучи так, что они будут сфокусированы в некоторой области А. В результате наблюдатель видит вместо одной далекой звезды несколько одинаковых его изображений  и  («Галактический» мираж). В настоящее время известно множество подобных Галактических миражей на небосводе. Другой релятивистский эффект, тесно связанный с предыдущим, относится к течению времени в сильных гравитационных полях вблизи массивных тел. Теория относительности предсказывает большую длительность времени распространения света в поле тяготения, чем это следует из классической теории. Для луча света, проходящего вблизи Солнца, эта дополнительная задержка во времени составляет около с.

Согласно ОТО вблизи массивных тел наблюдается гравитационное замедление времени.

Наконец, еще одним эффектом является предсказываемый ОТО медленный допол-нительный (не объясняемый гравитационными возмущениями со стороны других планет Солнечной системы) поворот в эллиптической орбите планет, движущихся вокруг Солн-ца (рисунок 50). Наибольшую величину этот эффект имеет для орбиты Меркурия –  в столетие.