Законы сохранения и их связь с симметрией пространства и времени

 

Открытие связи между законами сохранения классической физики с принципами симметрии пространства и времени имело важное значение для последующего развития естествознания (слово «симметрия» означает «соразмерность» и первоначально относи-лось только к симметрии предметов и тел).

Симметрия существует во всех явлениях живой и неживой природы. Простейшие представления о симметрии мы получаем из повседневного опыта, они проявляются в де-лении на правое и левое: симметрично строение зеленого листа, снежинки или человечес-кого тела, положительные и отрицательные заряды, симметричное расположение атомов в кристаллических решетках и т.п.

Первые попытки научного осмысления симметрии встречаются уже в учениях антич-ных натурфилософов: Аристотеля о гармонии мироздания, пифагорейцев в учении о чис-лах, в геометрических построениях Евклида и т.д. Однако подлинной наукой учение о симметрии стало только после создания его математического аппарата – теории групп, после установления тесной связи законов природы с симметрией. По мере развития ес-тественных наук более глубоким содержательным и емким становилось понятие о симметрии.

Немецкий математик Г. Вейль (1885–1955), много сделавший, чтобы понятие симмет-рии было не только математическим, но и физическим, дал наиболее общее определение симметрии. Некоторый объект обладает симметрией, если он совмещается сам с собой после определенных операций над ним (например, при поворотах, отражениях, трансляциях или комбинаций этих операций). С развитием теоретической физики понятие симметрии было расширено из области геометрии на физические законы. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физическую систему или определяющие изменение этих величин, со временем не меняются при определенных операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают симметрией (или инвариантностью) относительно данных преобразований. В математическом отношении преобразования симметрии составляют группу и являются предметом изучения теории групп. Особенно велика заслуга в распространении и применении фундаментальных принципов симметрии и теории групп в современной теоретической физике американского физика Ю. Вигнера, удостоенного за это Нобелевской премии. Он предложил разделить принципы инвариантности (симметрии) на непрерывные геометрические, с которыми связаны непрерывные преобразования пространства и времени (классический инвариант), и принципы инвариантности, которые связаны с внутренней симметрией физических систем, – динамические принципы инвариантности с дискретным преобразованием пространства и времени. Геометрические принципы инвариантности тесно связаны с классическими законами сохранения (энергии, импульса и момента импульса), в то время как динамические принципы играют решающую роль в структуре законов сохранения, которым подчиняются объекты и явления микромира
(законы сохранения четности, изотопического спина, барионного заряда, цветности и т.д.). Опыт показывает, что физические законы инвариантны относительно следующих наиболее общих преобразований.

1. Переноса (сдвига) физической системы (как целого) в пространстве относительно выбранной системы отсчета или параллельного переноса системы отсчета. С физической точки зрения, это означает эквивалентность всех точек пространства, т.е. отсутствие в нем выделенных точек. В этом случае говорят об однородности пространства. Именно свойство однородности пространства и определяет равноправие всех инерциальных систем отсчета, выражением которого является принцип относительности Галилея.

2. Поворота системы, как целого, в пространстве. Симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве, что означает отсутствие каких-либо преимущественных направлений.

3. Изменения начала отсчета времени. Это означает, что течение физических процессов не зависит от выбора начального момента времени. В этом заключается смысл однородности времени.

Указанные принципы симметрии пространства и времени в скрытой форме и на интуитивном уровне присутствовали во всех естественно-научных концепциях Галилея и Ньютона. Но только с созданием аналитической механики благодаря трудам Эйлера, Даламбера, Лагранжа и Гамильтона связь симметрии пространства и времени с законами сохранения стала проявляться особенно отчетливо. В основе созданной ими аналитической механики лежит вариационный принцип, впервые сформулированный в геометрической оптике Ферма под названием принципа кратчайшего времени. Согласно Ферма «природа действует наиболее легкими и доступными путями». Это положение явилось для него отправным при исследовании закона преломления света.

Из оптики принцип кратчайшего времени был перенесен в механику и преобразован в принцип кратчайшего пути. В этом суть оптико-механической аналогии, широко известной не только в классической, но и в квантовой физике.

Наиболее общей формулировкой закона движения механических систем является принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Согласно которому любая механическая система характеризуется определенной функцией обобщенных координат их производных (обобщенных скоростей) и времени . Функ-ция  называется функцией Лагранжа данной физической системы. Интеграл

называется действием (его размерность – произведение энергии на время). Действие обладает следующим свойством: если в момент времени  и  состояние системы характеризуется наборами координат и импульсов, то из всех возможных перемещений между этими положениями реальным будет то, вдоль которого действие будет иметь минимум.

Математически это выражается так

,

где – знак вариации.

На рисунке 10 изображены две мыслимые траектории . Вертикальной стрелкой показана разность между двумя мыслимыми бесконечно близкими траекториями для момента времени, не совпадающего с начальным и конечным. Эту разность принято называть вариацией  и обозначать . Символ  должен подчеркивать различие между вариацией и дифференциалом : дифференциал берется по одной и той же траектории для различных моментов времени, а вариация – для одного и того же момента времени между различными траекториями. Имеет место также вариация скорости .

 

 

  

 

0                                     t

                                                 Рисунок 10

 

Число обобщенных координат  совпадает с числом степеней свободы (i), под которыми понимаются независимые координаты, определяющие положение механической системы в пространстве (которые часто совпадают с декартовыми координатами). Вариация действия () приводит к тому, что движение системы вдоль истинной траектории описывается дифференциальными уравнениями Лагранжа второго порядка

.                                                     (13)

Уравнения Лагранжа могут быть получены также из второго закона Ньютона, где функция Лагранжа для консервативных систем равна () разности кинетической и потенциальной энергии.

Ирландский математик Гамильтон (1805–1865), проинтегрировав выражение (13) и введя функцию , получившую название гамильтониана системы, вывел свои канонические уравнения:

и ,                                                      (14)

где – обобщенные координаты ,   – обобщенные импульсы , которые опреде-ляют состояние системы.

Для описания системы вводится многомерное пространство всех обобщенных координат  и всех обобщенных импульсов . Такое пространство называется фазовым пространством. Состояние системы в фазовом пространстве изображается фазовой точкой.
С течением времени фазовая точка движется в фазовом пространстве по фазовой траектории. Элемент фазового объема определяется произведением . С течением времени форма фазового объема может меняться произвольным образом, оставаясь по величине постоянным (теорема Лиувилля).

Связь законов сохранения с симметрией пространства и времени можно легко установить на основе уравнений движения (14).

1. Однородность времени. Если система изолирована или находится в постоянных внешних полях, то функция Гамильтона не зависит явно от времени . Это означает, что она не изменяется при переходе от одного момента времени к любому следую-
щему (однородность времени). Для консервативных систем функция Гамильтона совпадает с полной энергией системы . Полная производная функции Гамильтона по времени . С учетом уравнений (14) имеем

,

откуда следует закон сохранения энергии (). Таким образом, закон сохранения энергии связан с однородностью времени.

2. Однородность пространства. Перемещение замкнутой системы как целого не вносит никаких физических изменений в ее свойства. Если функция Гамильтона не зависит от , то . Из этого вытекает закон сохранения импульса. Действительно, . Следовательно, .

3. Закон сохранения момента импульса связан с инвариантностью функции Гамильтона относительно бесконечно малых поворотов (изотропность пространства). Доказательство этого утверждения более громоздкое и приводить его не будем.

Важнейшим математическим понятием, необходимым для описания симметрии, является понятие группы. Совокупность всех преобразований симметрии данного тела, в том числе и движения в пространстве, образуют группу. Теория непрерывных групп, развитая Софиусом Ли, установила связь между законами сохранения в классической физике с инвариантами группы Ли.

В основе применения и физического смысла вариационных принципов лежит фундаментальная теорема Эмми Нётер: Всякому непрерывному преобразованию координат, обращающему в нуль вариацию действия, при котором задан также закон преобразований поля, соответствует инвариант, т.е. сохраняющаяся функция координат и скоростей.

Выводы

 

1. Конец средневековья связывают с периодом великих географических открытий и возрождения научных и культурных ценностей античности (XV–XVI вв.). В истории этот период был назван эпохой Возрождения.

Радикальные изменения в миропонимании связаны с учением польского ученого
Н. Коперника. Согласно его учению в центре Мира находится не Земля, а Солнце. Земля же является рядовой планетой, которая обращается вокруг Солнца и вращается вокруг своей оси. Движение он рассматривает как естественное свойство небесных и земных тел, подчиняющееся общим законам природы. Тем самым он выступил против канонизированного представления Аристотеля о Боге «перводвигателе», который якобы приводит в движение Вселенную.

Система Мира, предложенная Коперником, называется гелиоцентрической, что явилось второй (после Аристотеля) научной революцией в истории человечества.

2. Революционные идеи Коперника стимулировали возникновение научных прог-рамм Галилея, Декарта, Ньютона, Лейбница, заложивших основы экспериментального и теоретического естествознания. Большой вклад в становление коперниканства внес великий итальянский ученый Г. Галилей. Он сделал ряд открытий, наглядно подтверждающих учение Коперника. На Луне он обнаружил горы, а на Солнце – пятна. У Юпитера Галилей обнаружил четыре спутника и что Венера, подобно Луне, светит отраженным светом. Все эти открытия говорят о том, что нет принципиального различия между «земным» и «небесным». Открытия Галилея увеличили число сторонников учения Коперника.

3. Выдающимся последователем Коперника был астроном И. Кеплер. На основе многочисленных наблюдений, проведенных датским астрономом Т. Браге, Кеплер установил три закона движения планет. Законы Кеплера устранили расхождение между вычисленными и реально наблюдаемыми траекториями движения планет. Законы Кеплера носят эмпирический характер, поскольку еще не были сформулированы законы динамики.

4. Становление физики как науки связано с именем Галилея. «Самая фундамен-тальная проблема, остававшаяся в течение тысячи лет не разрешенной из-за своей сложности – это проблема движения», – подчеркивают А. Эйнштейн и А. Инфельд.

Галилей сформулировал свой принцип инерции, который заменил ошибочный принцип движения Аристотеля, согласно которому движение происходит только при действии на тело внешней силы.

Галилей соединил физику с математикой, поэтому у него уже нет разделения между физическим опытом и теорией. В 1636 году он сформулировал принцип относительности, согласно которому все механические явления в инерциальных системах отсчета протекают одинаково.

5. Решающий вклад в создание классической механики внес великий английский ученый И. Ньютон. С его именем связывают завершение второй научной революции, приведшей к созданию механической картины мира. В 1687 году опубликован фунда-ментальный труд Ньютона «Математические начала натуральной философии», в котором он сформулировал три основных закона движения, которые легли в основу классической механики.

6. Открытый Ньютоном закон всемирного тяготения оказал огромное влияние на весь ход развития естествознания. Этот закон стал основой небесной механики. Убеди-тельным его подтверждением явились открытия «на кончике пера» новых планет – Непту-на и Плутона.

7. Экспериментально установлено, что существуют функции состояния системы, численные значения которых не изменяются со временем в любых процессах, происходящих в замкнутых системах. Такими функциями являются масса, заряд, энергия, импульс, момент импульса и другие.

В соответствии с этим имеют место законы сохранения массы, заряда, энергии, импульса и т.д. Указанные законы сохранения носят всеобщий характер. Существуют другие специфические законы сохранения в микромире и в теории элементарных частиц, которые принято называть внутренними.

8. Законы сохранения, имеющие всеобщий характер, связаны с симметрией пространства и времени. Так, закон сохранения энергии связан с однородностью времени, импульса – с однородностью пространства, момента импульса – с изотропностью пространства.

 

Контрольные вопросы

 

1. Какие положения системы Коперника оказались ошибочными?

2. Объясните, почему Галилей считается родоначальником экспериментальной фи-зики.

3. Перечислите основные различия в концепциях Ньютона и Декарта по проблемам мироздания.

4. Сформулируйте основные законы классической механики.

5. Сформулируйте известные Вам законы сохранения.

6. В чем суть механического принципа относительности?

7. Перечислите основные черты механической картины Мира.

8. Какие положения механической теории стали основой философского направления механицизма, вошедшего в историю науки под термином «лапласовский детерминизм»?

1