Классический принцип относительности

 

Законы Ньютона выполняются не во всех системах отсчета, а только в инерциальных. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной, в противном случае система отсчета неинерциальная. Инерциальных систем существует бесчисленное множество. Любая система отсчета, покоящаяся или движущаяся равномерно и прямолинейно, является инерциальной. Следует подчеркнуть, что абсолютно инерциальных систем в природе не существует. Например, система отсчета, связанная с поверхностью Земли, не является абсолютно инерциальной, поскольку Земля движется относительно Солнца со скоростью 30 км/с и, кроме того, она обращается вокруг своей оси. Однако ускорение, связанное с этими вращениями настолько мало, что им можно пренебречь, и лабораторную систему отсчета (связанную с Землей) можно считать практически инерциальной. В тех случаях, когда неинерциальность системы отсчета, связанная с Землей, вносит существенное искажение характера рассматриваемых механических явлений, она заменяется на гелиоцентрическую систему отсчета с очень высокой степенью инерциальности.

Галилей в 1636 году установил, что в инерциальных системах отсчета все механические явления протекают одинаковым образом и никакими механическими опытами невозможно установить, покоится данная система отсчета или движется равномерно и прямолинейно. В этом суть принципа относительности Галилея. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета  и  (рисунок 4). Пусть    движется относительно  по оси  с постоянной скоростью . Пусть в точке  произошло некоторое событие в момент времени . Координаты этой точки в неподвижной системе отсчета (х, у, z), а в движущейся системе  (, , ). Кроме того, предположим, что часы в системах  и    синхронизированы так, что показывают время  = 0 в тот момент, когда начала обеих систем отсчета совпадают. В классической физике время во всех системах отсчета течет одинаково, поэтому .

 

         

 

Рисунок 4

 

Из рисунка 4 следует векторное равенство

, или ,                                           (1)

 

где  и – радиусы-векторы, характеризующие положение точки в системах   и   со-ответственно, а .

Это векторное уравнение эквивалентно системе скалярных соотношений, устанав-ливающей связь между координатами в системах отсчета и

                                 (2)

называемых преобразованиями Галилея.

Можно также рассмотреть различные трансляции  относительно  или произвольные повороты осей, а также отражения в начале координат и в любой плоскости, проходящей через это начало. Взятые все вместе эти преобразования образуют группу Ли. Если уравнения (1), (2) продифференцировать по , то получим правило сложения скоростей в классической механике

, или .                                         (3)                                     

Продифференцировав выражение (3) по времени , находим:

, или .

Таким образом, ускорения оказываются одинаковыми в обеих системах отсчета. Это означает, что ускорение () и сила () являются инвариантами преобразований Галилея, поскольку масса так же инвариант этих преобразований. Например, существуют физические величины (энергия, импульс и т.д.), законы сохранения которых инвариантны относительно группы преобразований Галилея. Таким образом, принцип относительности утверждает: все законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

    

Механическая картина Мира

 

Учение Ньютона быстро распространялось по Европе. В 1759 году «Начала…» были переведены на французский язык. Страстным распространителем идей Ньютона был французский философ-просветитель Вольтер (1699–1778). Настоящим триумфом теории тяготения Ньютона было предсказание возвращения кометы Галлея. Расчеты показали, что период обращения кометы в Солнечной системе равен 76 годам и ее возвращение ожидалось в 1758 году. Однако из-за возмущающего действия больших планет Юпитера и Сатурна комета появилась вблизи Земли только в начале 1759 года. Ошибка в расчетах составляла всего 19 дней. Другим подтверждением истинности закона тяготения стала форма Земли, которая по теории Ньютона должна быть сплюснута у полюсов, а по Декарту удлинена. Чтобы разрешить этот теоретический спор французской академией были организованы экспедиции в Перу и Лапландию (1735–1737) для уточнения формы поверхности Земли. Экспедицией на север, возглавляемой П. Мопертюи (1698–1759), была установлена сплюснутость нашей планеты у полюса.

Ньютоновская концепция мироздания создавалась в противоборстве с карте-зианскими представлениями (картезианцами называли последователей Декарта; Картезий – латинизированное имя Декарта). Декарт и Ньютон предложили два принципиально разных подхода к познанию мира. У Декарта на первом месте проницательность ума; он уверен, что чисто умозрительно, путем логических рассуждений можно построить картину мироздания. В мире Декарта материя – тождественна пространству, все пространство заполнено материей, пустоты нет. Атомы отрицаются, материя делима до бесконечности. Все явления Декарт сводит к механическим перемещениям. Все взаимодействия осуществляются через давления, столкновения – одни части материи давят на другие, толкают их. Движение в пространстве, полностью заполненном материей, он объясняет тем, что одно тело вступает на место второго, выталкивая его со своего места, это второе вступает на место третьего; и таким путем до тех пор, пока последнее не займет место первого. В результате получается вихревое движение (движение по кругу). Весь мир по Декарту заполнен разнообразными вихрями.

Совершенно другого взгляда на Мир придерживался И. Ньютон. Он полагал, что есть пустое пространство и есть корпускулы, из которых построены тела. Как и у Декарта, все явления сводятся к механическим перемещениям, однако эти перемещения не сводятся к вихрям. Взаимодействие тел происходит не только при соударениях, но и на расстоянии в соответствии с законом всемирного тяготения. Если по Декарту, криволинейное движение объясняется искривлением траектории тела из-за механического препятствия, оказы-ваемого телу другими частями пространства, заполненного материей, то Ньютон причину искривления видит в притяжении одного тела другим. В те времена Лондон был центром ньютонианства, а Париж – картезианства. По этому поводу Вольтер писал в 1731 году: «Когда француз приезжает в Лондон, то находит здесь большую разницу как в философии, так и во всем другом. В Париже думают, что мир наполнен материей, здесь же ему говорят, что он совершенно пуст; во Франции давление Луны вызывает приливы и отливы моря, в Англии же говорят, что это само море тяготеет к Луне…»

В период формирования и распространения механической парадигмы по всему миру она стала основой мировоззрения. В XVII и особенно XVIII столетии весь мир в целом и вся природа стали отождествляться некоему сложному механизму, имеющему единую механическую сущность. «Между машинами, сделанными руками мастеров, и различными телами, созданными природой, – писал Декарт, – я нашел только ту разницу, что действия механизмов зависят исключительно от устройства различных трубок, пружин и иного рода деталей, которые всегда настолько велики, что их фигура и движения легко могут быть видимы, тогда как детали, вызывающие действия природных вещей, обычно бывают столь малы, что ускользают от наших чувств». Итак, принципиальной разницы между искусственным и естественным не существует, просто Бог творец является значительно более искусным механиком, чем человек. Декарта дополняет Лейбниц: «всякое органическое тело живого существа есть своего рода божественная машина, или естественный автомат, который бесконечно превосходит автоматы искусственные. Ибо машина, сооруженная искусством человека, не есть машина в каждой своей части; например, зубец латунного колеса состоит из частей, которые уже не представляют более для нас ничего искусственного. Но машины естественные, т.е. живые тела и в своих наименьших частях, до бесконечности продолжают быть машинами. В этом заключается различие между природой и искусством». Учеными и мыслителями мир отождествлялся гигантскому часовому механизму, созданному Богом. В этом часовом механизме все целесообразно как в целом, так и в отдельных его частях, и он настолько сложен, что наука не в состоянии разобраться во всех его деталях.

Итак, Бог сотворил мировой часовой механизм и запустил его в работу. А какова дальнейшая роль Бога? Мнения по этому вопросу расходились. Одни считали, что Бог постоянно поддерживает и корректирует работу созданного им механизма. Другие полагали, что запустив мировой часовой механизм в работу, дав ему начальный толчок, он перестал вмешиваться в его работу, которая осуществляется согласно объективным законам природы. Подобная точка зрения стала основой философского учения – деизма. Деизм был определенным шагом вперед на пути материалистического миропонимания. Философия деизма опиралась на признание существования только жестких, взаимно-однозначных причинно-следственных связей. Опираясь на данные Богом первичные алгоритмы и на механические уравнения движения, инвариантные относительные преобразования времени t на – t, можно не только предсказать однозначно последующее существование и развитие Мира, но и реконструировать его прошлое. Такое жесткое понимание причинности лежит в основе механической картины мира. Оно вошло в историю науки под термином «лапласовский детерминизм» по имени П.С. Лапласа (1749–1827), внесшего наибольший вклад в формирование идейной платформы механицизма.

Становление механической картины мира происходило несколько столетий и завершилось лишь к середине XIX в. Наиболее существенными признаками этой картины являются следующие.

1. Стержнем механической картины мира является материальное единство небесного и земного, т.е. Мира как целого, который устроен и развивается в соответствии с законами механики Ньютона. Все наблюдаемые в природе превращения, а также тепловые явления сводились к механике атомов и молекул – их перемещениям, столкновениям, объединениям, распадам и т.п.

2. В ньютоновской системе физическая картина Мира представлялась абсолютными категориями пространства и времени. Абсолютное пространство существует независимо от времени и независимо от наполняющей его материи. Пространство рассматривалось как сцена, на которой разворачиваются события, безучастный свидетель того, что происходит с материей. Пространство считалось плоским, его метрические свойства описывались геометрией Евклида. Оно рассматривалось как абсолютное, пустое, однородное и изотропное и выступало в качестве «вместилища» материальных тел, как независимая от материи инерциальная система.

Время понималось абсолютным, однородным, равномерно текущим. Оно идет сразу и везде во всей Вселенной «единообразно и синхронно» и выступает как независимый от материальных объектов процесс длительности. Современная физическая теория устанавливает глубокую и неразрывную взаимосвязь между пространством, временем и материей, абсолютность которых была заменена их относительностью.

3. Механическая картина Мира исходила из представлений, что микромир аналогичен макромиру. Как движутся и сталкиваются обычные макротела, точно так же движутся и сталкиваются атомы и молекулы (корпускулы). Считалось, что как неживая, так и живая материя сконструирована из одних и тех же «механических деталей», различающихся размерами.

Таковы основные черты механической картины Мира – парадигмы, господст-вовавшей в естествознании на протяжении нескольких столетий (вплоть до конца XIX в.). По самой своей сути эта картина Мира являлась метафизической – в ней отсутствовали внутренние противоречия и, как следствие, все происходящее в мире представлялось предопределенным, а все многообразие явлений сводилось к механике.

 

Законы сохранения

 

Различные виды материи, встречающиеся в природе, могут превращаться друг в друга. Благодаря химической связи из атомов и молекул образуются химические соединения, находящиеся в различных агрегатных состояниях – в газообразной, жидкой и твердой фазах. В результате ядерных реакций происходит распад или синтез «элементарных частиц», например, при встрече электрона с позитроном их материя превращается в кванты электромагнитного поля и т.д. Еще античные натурфилософы-материалисты пришли к понятию материи – неуничтожимой и несотворимой основы всего существующего. С другой стороны, наблюдения постоянных изменений материи и форм ее движения в природе привели к представлению о вечном неуничтожимом движении материи. По мере развития физической науки были введены различные физические величины для характеристики взаимного превращения материи и различных форм ее движения. Экспериментально было установлено, что существуют функции состояния системы, численные значения которых не изменяются со временем в любых процессах, происходящих в замкнутых системах. Такими функциями являются масса, заряд, энергия, импульс, момент импульса и др. В соответствии с этим имеют место различные законы сохранения – законы сохранения массы, заряда, энергии и т.д. Расширение и углубление области применения законов сохранения показывают, что законы сохранения носят всеобщий характер. Существуют другие
специфические законы сохранения в микромире и в теории элементарных частиц, которые будут рассматриваться в соответствующих разделах.

Закон сохранения массы выражает тот фундаментальный атрибут природы, что материя из ничего не создается и в ничто не превращается. Он является исторически первым из законов сохранения, установленных наукой. Первоначально закон сохранения массы был экспериментально доказан для частного случая взаимопревращения веществ в химических реакциях. Ломоносов (1756), исследуя взаимодействие свинца с воздухом в запаянном сосуде, не обнаружил различия массы сосуда в двух состояниях: до начала реакции и после ее завершения. Долгое время этому закону сохранения не придавали особого значения, его считали самоочевидным. Несколько позднее Лавуазье (1774) переоткрыл и установил справедливость этого закона на основании собственных опытов.

Работы Ломоносова и Лавуазье положили начало систематическому применению закона сохранения вещества во всех химических и физических экспериментах. Этот закон становится фундаментом всей классической механики и основным законом химии.

Количественный анализ, а также атомистическая концепция Дальтона были построены на законе сохранения массы, ибо вес атомов по Дальтону не изменяется при химических реакциях, как и их число. Несмотря на это, продолжалось игнорирование этого закона вплоть до середины XIX в., когда Стас произвел высокоточные по тем временам химические анализы для проверки гипотезы Праута о том, что все химические элементы образованы из водорода. Наконец, в 1910 году вышел труд Ландольта «О сохранении массы в химических взаимодействиях», где указывалось, что в пределах точности эксперимента (погрешность меньше 10^-6 %) не наблюдалось ни одного случая изменения массы в процессе химической реакции.

Однако абсолютность этого закона сохранения нарушается в процессах, описываемых в специальной теории относительности Эйнштейна. При достаточно больших скоростях
(в этом случае говорят о релятивистской механике) масса становится переменной величиной, определяемой формулой:

,

где  – масса покоя частицы;  – отношение скорости частицы () к скорости све-та ().

Абсолютным и всеобщим оказывается объединенный закон сохранения массы и энергии, количественным выражением которого является соотношение .

Вторым очень важным для теории и практики является закон сохранения и превращения энергии. Этот закон занимает центральное место среди всех остальных законов сохранения, поскольку энергия является одной из важнейших характеристик движения.

На протяжении многих веков человек пытался создать так называемый perpetuum mobile – вечный двигатель, который давал бы возможность получить движение из ничего. Но все попытки окончились неудачей. Опыт привел к выводу о невозможности создания такого вечного двигателя и к формулировке закона сохранения энергии. Термин энергия в науку был введен в 1807 году Т. Юнгом, который, по-видимому, позаимствовал его у Аристотеля.

Открытие законов сохранения тесно связано с историей развития всего естествознания и в первую очередь с формированием основных понятий классической механики. Этот процесс, как правило, сопровождается острым противоборством сторонников различных парадигм. Поучительным в этом отношении является знаменитый исторический спор между сторонниками лейбницевской меры движения и картезианской относительно того, что считать количественной мерой движения материи.

Декарт и его последователи считали такой мерой количество движения (импульс)  и провозгласили закон сохранения количества движения универсальным законом природы. Эта универсализация закона явилась прямым следствием декартовского механицизма, отрицавшего существование иных форм движения, кроме механической. Введением количества движения как меры движения Декарт сделал важный шаг вперед на пути развития механики.

Иной точки зрения на проблему движения придерживался современник Ньютона, великий немецкий философ и математик, создатель дифференциального и интегрального исчисления Лейбниц (1646–1716). Изучив работы Гюйгенса по теории упругого удара, Лейбниц пришел к выводу, что единой мерой количества движения является произведение массы на квадрат скорости (), и высказывает мысль об универсальности идеи Гюйгенса о постоянстве : «В природе должно быть нечто, что сохраняется во Вселенной всегда, одна и та же живая сила». Лейбниц под термином «живая сила» понимал то, что теперь называется кинетической энергией, а точнее, ее удвоенное значение. Учение Лейбница о постоянстве живой силы следует рассматривать как начало учения об энергии. В течение многих десятилетий продолжались дебаты о том, что считать в качестве меры движения. Защитники концепции Декарта – Кателан, Папен, Мерани и другие, опровергавшие идеи противоположной стороны, искали аргументы в защиту картезианских представлений. Так, например, они утверждали, что сохранение носит частный характер (только для упругого удара) и не выполняется или вообще может исчезнуть в случае неупругого удара.

Точку зрения Лейбница поддерживала многочисленная группа ученых, среди которых были Л. Эйлер (1707–1783), И. Бернулли 1667–1748), Д. Бернулли (1700–1782),
Г. Рихман (1711–1753) и ряд других. Особенно большой вклад в развитие идеи живых сил внес И. Бернулли. По утверждению Бернулли декартова мера  противоречит законам падения груза с высоты . Подняв груз  на высоту , а затем груз на высоту , мы будем иметь одну и ту же работу. Но в первом случае сообщается только удвоенная, а не учетверенная скорость. Если равные действия (равные работы) должны иметь одну и ту же величину, то ею будет величина, пропорциональная . Поэтому мерой движения следует считать . Спор о мерах движения привлек внимание французского математика, одного из создателей аналитической механики Ж. Даламбера (1717–1783). Подробно остановившись на причинах возникновения спора, он отмечает, что этот спор совершенно бесполезен для механики, поскольку с учетом пространственно-временных соотношений обе меры оказываются эквивалентными. Если живую силу отнести к пути, а мертвую – ко времени, тогда получим одну и ту же силу . Хотя Даламбер выступил в роли арбитра в данном вопросе, его рассуждения не внесли ясности в существо спора. Спор не мог быть решен в рамках науки XVIII в., потому что он велся только с точки зрения количественного рассмотрения механического движения. Только после открытия закона сохранения и превращения энергии стало ясно, что перемещение отражает только одну форму движения. Наряду с механическим перемещением существуют и не сводимые к перемещениям изменения – деформация, трение или нагревание тела, электризация, намагничение и др. Количество движения  служит мерой движения только для процессов перемещения, а «живая сила» (кинетическая энергия) – мерой движения независимо от его формы.

Закон сохранения энергии и работа. В современной физике работой называется физическая величина*, равная

                                          (4)

где  – угол между действующей на тело силой  и перемещением .

Из (4) следует, что работа может быть положительной ( > 0), отрицательной
( < 0) или равной нулю ( =0). Если на тело действует несколько  сил,  под

^* В случае переменной силы механическая работа выражается интегралом по перемеще-

нию

следует понимать результирующую всех внешних сил (). Тогда работа как величина аддитивная будет равна

,

где   

Используя второй закон Ньютона (), формулу (4) можно представить

.                                                  (5)

Из (5) видно, что суммарная работа всех сил идет на изменение кинетической энергии. Если работа А > 0, то кинетическая энергия увеличивается, а при А < 0 – уменьшается.

Обозначим , тогда . Работа всегда есть способ изменения энергии. Силы, действующие на механическую систему, разделим на три вида: консервативные – это такие силы, работа которых не зависит от пути перехода системы из начального в конечное состояние. К таким силам, например, относятся силы, действующие в грави-тационном поле (силы тяготения), и силы в электростатическом поле. Для этих сил имеется функция состояния, которая называется потенциальной энергией. Работа этих сил равна убыли потенциальной энергии U.

                                             (6)

Потенциальная энергия определяется неоднозначно и зависит от начала отсчета, которое выбирается произвольно из соображения удобства. Это никак не отражается на механическом описании движения тел, поскольку физически важно только изменение энергии, которое от выбора начала отсчета не зависит. Явный вид потенциальной энергии
зависит от характера силового поля. Для тела, поднятого на высоту  от начала отсчета, , для упруго деформированной пружины  ( – величина деформации), для взаимодействующих зарядов , для тела в поле тяготения  и т.д. Если на систему действуют только консервативные силы, то , подставляя (6) в (5), получаем

.                                                   (7)

Сумма кинетической и потенциальной энергии есть величина постоянная. В этом суть

закона сохранения механической энергии для замкнутых консервативных систем. Система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы или их результирующая равна нулю.

Из формулы (7) видно, что потенциальная энергия может превращаться в кинетическую (например, при падении тела под действием силы тяжести), а кинетическая в потенциальную, причем их сумма в процессе движения остается неизменной.

Потенциальная энергия взаимодействия тел или частиц зависит от их взаимного расположения, т.е. всегда является функцией координат или иных параметров, характеризующих положение этих тел в пространстве.

Рассмотрим взаимодействие двух частиц, потенциальная энергия взаимодействия которых описывается функцией , где  – расстояние между частицами. Пусть под действием сил отталкивания  расстояние между ними увеличилось на , т.е. будет совершена элементарная работа . Это возможно согласно (6) за счет потенциальной энергии взаимодействия , которая изменится на (уменьшение энергии), тогда

                                                   (8)

т.е. в случае консервативных сил сила есть производная от потенциальной энергии по параметру  с обратным знаком.

Характер физической задачи довольно просто и наглядно описывается с помощью потенциальных кривых. На рисунке 5 представлена произвольная потенциальная кривая с впадинами и вершинами.

Вид кривой позволяет качественно указать, на каких участках пути совершается большая или меньшая работа, каков знак этой работы. В соответствии с геометрическим смыслом производной сила есть тангенс угла наклона касательной к кривой, поэтому, чем круче потенциальная кривая, тем больше сила. По потенциальной кривой легко можно определить положения равновесия, в которых сила равна нулю. Согласно (8) сила равна нулю в экстремальных точках, т.е. положения равновесия – это дно потенциальной «ямы» и вершина потенциальной «горы». Те положения, при которых потенциальная энергия максимальна, соответствует неустойчивому равновесию, а дно ямы является положением устойчивого равновесия.

Если на систему действуют кроме консервативных неконсервативные силы, то в этом случае закон сохранения энергии в форме (7) не выполняется. Полная механическая энергия изменяется, и изменение будет равно работе неконсервативных сил

.                                               (9)

Неконсервативные силы называются диссипативными, так как их действие приводит к уменьшению (рассеянию) механической энергии, изменение которой выделяется в виде тепла, т.е. превращается во внутреннюю энергию взаимодействующих тел. Примерами неконсервативных сил в механике являются силы трения и сопротивления среды. Работа этих сил отрицательна  поскольку угол между силой трения и перемещением равен . Если система незамкнута и кроме вышеназванных сил действуют внешние силы, то в уравнение (9) необходимо добавить работу этих сил, т.е.

.

Закон сохранения импульса. Рассмотрим систему, состоящую всего из двух тел, а полученные выводы распространим на произвольное число тел. Пусть взаимодействие между ними сводится к столкновениям. Обозначим  – силу, действующую со стороны второго тела на первое, а – второго тела на первое;  и  – внешние силы, действующие на первое и второе тела соответственно. Запишем уравнение движения для каждого тела

,

.

Сложим эти уравнения и, учитывая, что (третий закон Ньютона), находим:

.                                                   (10)

^* В трехмерном случае , где – векторный дифференциальный оператор, равный

, который является символом объемной производной.

Если система замкнута, то , и следовательно, . В случае системы, состоящей из многих тел, закон сохранения импульса имеет вид:

.

Величины и направления импульсов отдельных тел могут меняться, но их векторная сумма для замкнутой системы остается постоянной. В том случае, если система незам-кнутая, т.е. на нее действуют внешние силы и их результирующая отлична от нуля, то
импульс системы изменяется. Это изменение в соответствии с (10) равно , т.е. изменение импульса системы равно импульсу равнодействующей внешних сил.

Законы сохранения импульса и энергии являются мощным средством для решения самых разнообразных задач по физике. Особенно их роль в описании поведения взаимодействующих тел неоценима тогда, когда динамические уравнения либо неизвестны, либо очень сложны, например, в случае упругого и неупругого удара. Открытие нейтрона – показательный пример эвристического потенциала законов сохранения. Именно на этих классических законах были построены расчеты Чедвика, приведшие к открытию нейтрона.

Закон сохранения момента импульса. Закон сохранения импульса, открытый Декартом, относится к поступательному движению. Долгое время вращательное движение не являлось объектом научных исследований и только в начале XVIII в. Эйлером и Бер-нулли был сформулирован закон сохранения момента импульса.

Момент импульса частицы, обладающей импульсом  и находящейся в точке с радиусом вектором  по отношению к некоторому началу отсчета О, есть вектор, определяемый формулой . Частица может иметь момент импульса даже при движении по прямой. Согласно правилу векторного произведения  направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат  и , и если смотреть с конца вектора ,то поворот от  к  должен осуществляться против часовой стрелки (рисунок 6).

Рисунок 5	Рисунок 6

 

Величина момента импульса , где  – угол между  и .

Пусть частица массой  движется в плоскости со скоростью