Общие указания к решению задач

    Предлагаемые методические рекомендации содержат задачи из двух разделов общего курса физики в соответствии с учебными программами курса, читаемого на кафедре «Физика», «Механика» и «Молекулярная физика и термодинамика». Данное издание предназначено для самостоятельной работы студентов и проведения практических занятий.

Решения задач следует начинать с краткой записи условия с приведением его к СИ. Значения физических величин и постоянных представлены в таблицах А.1–А.14. Решения необходимо сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями; в тех случаях, когда это возможно, дать чертеж, выполненный с помощью чертежных принадлежностей.

Решать задачу надо в общем виде, т. е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При таком способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.

После получения расчетной формулы для проверки ее правильности следует подставить в правую часть формулы вместо символов величин обозначения единиц этих величин, произвести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине. Если такого соответствия нет, то это означает, что задача решена неверно.

Числовые значения величин при подстановке их в расчетную формулу следует выражать только в единицах СИ. В виде исключения допускается выражать в любых, но одинаковых единицах числовые значения однородных величин, стоящих в числителе и знаменателе дроби и имеющих одинаковые степени.

При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти. Например, вместо 3520 надо записать 3,52 · 10³, вместо 0,00129 записать 1,29 · 10^–3 и т. п.

Вычисления по расчетной формуле необходимо проводить с соблюдением правил приближенных вычислений [6]. Как правило, окончательный ответ следует записывать с тремя значащими цифрами. Это относится и к случаю, когда результат получен с применением калькулятора.

Физические основы механики

 

Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x:

x = f (t),

где x – некоторая функция времени t.

Проекция средней скорости на ось x

 

 =

 

Средняя путевая скорость

 

где Δ s – путь, пройденный точкой за интервал времени Δ t.

Путь Δ s в отличие от разности координат Δ x = x ₂ – x ₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. Δ s 0. Тогда проекция мгновенной скорости на ось x

 

Проекция среднего ускорения на ось x

 

 

Проекция мгновенного ускорения на ось x

 

 

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

φ = f(t) (r = R = const),

 

где φ – угловое перемещение.

Модуль угловой скорости

 

Модуль углового ускорения

.

 

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

 

V = ω · R;  a _τ = ε · R; a _n = ω ² · R,

 

где V – модуль линейной скорости;

a _τ и a _n – модули тангенциального и нормального ускорений;

ω – модуль угловой скорости;

ε– модуль углового ускорения;

R – радиус окружности.

Модуль полного ускорения

 

или .

 

Угол между полным   и нормальным  ускорениями

 

α = arccos(a _n / a).

 

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

 

Второй закон Ньютона

 

где  – результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

– сила упругости

,

 

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость);

D – абсолютная деформация;

– сила гравитационного взаимодействия

 

F = γ

где γ – гравитационная постоянная;

m ₁ и m ₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

– сила тяжести

,

 

где g – ускорение свободного падения.

В случае гравитационного притяжения тела к Земле

 

 

где М и R – масса и радиус Земли соответственно;

– сила трения (скольжения)

F = μ · N,

 

где μ – коэффициент трения;

N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

 

,

 

для двух тел (i = 2)

,

 

где  и   – скорости тел в момент времени, принятый за начальный;

   и   – скорости тех же тел в конечный момент времени.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

 

T = m · V ² / 2

 

или

T = p ² / 2 m.

 

Потенциальная энергия:

– упругодеформированной пружины

 

П = k · x ² / 2,

 

где k – жесткость пружины;

x – абсолютная деформация;

– гравитационного взаимодействия

,

 

где γ – гравитационная постоянная;

  m ₁ и m ₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

– тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

 

П = m · g · h,

 

где g – ускорение свободного падения;

h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h << R, здесь R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии

 

E = T + П = const.

 

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

 

А = T = T ₂ – T ₁.

 

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

,

 

где   – результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело;

  – угловое ускорение;

  J _z – момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

– стержня длиной L относительно оси, перпендикулярной стержню,

 

;

 

– обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

 

J _z = m · R ²,

 

где R – радиус обруча (цилиндра);

– диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

.

Проекция на ось z момента импульса тел, вращающихся относительно неподвижной оси z,

 

L _z = J · ω,

 

где ω – угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

 

J _z ·  = const,

 

где J _z – момент инерции системы тел относительно оси z;

  – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

 

или  

T = L _z² / (2 J _z).

 

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

 

,

 

где l ₀ – длина стержня в системе, относительно которой стержень покоится (собственная длина);

l – длина стержня, относительно которой он движется;

β – скорость частицы, выраженная в долях скорости света, β = V / c.

Промежуток времени ∆ t в системе, движущейся по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени ∆ t ₀ в неподвижной для наблюдателя системе отношением

.

 

Релятивистская масса

,

где m₀ – масса покоя.

Релятивистский импульс

 

.

 

Полная энергия релятивистской частицы

 

,

 

где Т – кинетическая энергия частицы;

Е ₀ – энергия покоя частицы, .

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

 

.

 

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

 

.

 

Типовые задачи