Построение таблиц вхождения элементов в множества, диаграмм Эйлера и изображение множеств на числовой прямой.

Цель занятия:

1.

ознакомить студентов со способами построения таблиц вхождения элементов в множества и изображения множеств на числовой прямой;

Элементы теории

Рассмотрим множества , про которые известно, что они являются подмножествами некоторого универсального множества . Необходимо определить элементы некоторого множества М, про которое известно, что оно получено как результат выполнения определенного конечного числа операций над заданными множествами.

       Для решения указанной задачи можно использовать таблицы вхождения элементов в множества.        Рассмотрим общий принцип построения таких таблиц.

       Пусть элемент , рассмотрим множество объединение множествА,В .

 

 Заполним следующую таблицу:

 

№	А	В
1
2
3
4

Возможны четыре случая:

1.  Для этого случая заполним первую строку таблицы

 

№	А	В
1	0	0	0
2
3
4

 

Здесь 0 означает, что элемент а не принадлежит множеству, соответствующему данному столбцу.

2.

3.

4.

Соответствующим образом заполним 2,3 и 4 строки рассматриваемой таблицы.

 

№	А	В
1	0	0	0
2	0	1	1
3	1	0	1
4	1	1	1

 

В результате построена таблица вхождения элементов в множества для множества . Данной таблице соответствует диаграмма Эйлера-Венна

 

 

Построим таблицы вхождения элементов в множества и соответствующие им диаграммы Эйлера для пересечения множеств

 

 

 

для разности множеств  

 

 

 

 

для симметрической разности множеств

 

 

 

для дополнения множества

 

 

 

Примеры решения задач.

Пример 1. Построить таблицы вхождения элементов множества  и изобразить его на диаграммах Эйлера-Венна.

Решение.

Так как в данной задаче рассматривается операция над тремя множествами, поэтому в формируемой таблице будет 8 строк.

 

№	A	B	C
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0
5	1	0	1
6	1	1	0
7	1	1	1

 

В данной таблице необходимо учитывать, принадлежит ли произвольный элемент каждому из трех исходных множеств, а далее согласно построенным выше таблицам вхождения для конкретной операции делать вывод, принадлежит ли он формируемым множествам. Отметим, что множества A, B, C мы называем исходными, а , формируемыми.

Заполним столбец таблицы для первого действия   формулы .

 

№	A	B	C
0	0	0	0	0
1	0	0	1	0
2	0	1	0	1
3	0	1	1	1
4	1	0	0	1
5	1	0	1	1
6	1	1	0	1
7	1	1	1	1

Например, в строке 3 имеем элементы 0 1 1, т.е.  и согласно таблице для  (), ставим значение 1 в столбец   в строке 3.

Далее заполним столбец , получим результирующую таблицу.

 

№	A	B	C
0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0
2	0	1	0	1	0
3	0	1	1	1	1
4	1	0	0	1	0
5	1	0	1	1	1
6	1	1	0	1	0
7	1	1	1	1	1

           

По таблице строим диаграмму Эйлера Венна для формулы .

       Укажем область на диаграмме Эйлера, соответствующую строке 3 для которой .

 

           

Подобным образом нанесем на диаграмму Эйлера номера строк для остальных областей.

 

 

Далее закрасим желтым цветом области на диаграмме, которым соответствует значение 1 в последнем столбце  таблицы.

 

№	A	B	C
0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0
2	0	1	0	1	0
3	0	1	1	1	1
4	1	0	0	1	0
5	1	0	1	1	1
6	1	1	0	1	0
7	1	1	1	1	1

 

получим диаграмму (области для строк 3,5,7)

 

 

Пример 2. Построить таблицы вхождения элементов в множества для заданного множества и изобразить его на диаграммах Эйлера-Венна: .

Решение.

С учетом порядка действий в формуле M=  составим таблицу вхождения элементов во множество.

 

№	A	B	C
0	0	0	0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	0	1	1	0	1
2	0	1	0	1	0	1	1	0	1
3	0	1	1	0	1	1	1	0	1
4	1	0	0	1	0	0	0	0	0
5	1	0	1	0	0	0	0	1	1
6	1	1	0	1	0	0	0	0	0
7	1	1	1	0	1	0	1	1	0

 

Составим диаграмму Эйлера с отмеченными областями.

 

 

Закрасим на данной диаграмме необходимые области желтым цветом согласно единичным значениям в таблице вхождения элементов в множества.

 

№	A	B	C
0	0	0	0	1
1	0	0	1	1
2	0	1	0	1
3	0	1	1	1
4	1	0	0	0
5	1	0	1	1
6	1	1	0	0
7	1	1	1	0

 

получим диаграмму (строки 0,1,2,3,5)

 

 

Пример 2.3. Даны множества

;

.

Изобразить на числовой прямой следующее множество: .

Решение.

Изобразим на числовой прямой множества U, A, B, ,С,  :

 

Ответ: [2,5].

 

Пример 2.4. Даны множества

;

.

Изобразить на числовой прямой следующее множество: .

Решение.

Ответ: (-3,4] È(5,6).

Пример 2.5. Даны множества

;

.

Найти и изобразить на числовой прямой следующее множество: .

Решение.

Ответ:

 

Пример 2.6. Даны множества

;

.

Найти и изобразить на числовой прямой следующее множество: .

Решение

Ответ:

Задания для самостоятельного выполнения

 

Задание.1. Построить таблицы вхождения элементов в множества для заданных множеств и изобразить их на диаграммах Эйлера-Венна.

 

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Задание 2. Даны множества

.

Изобразить на числовой прямой следующие множества:

 

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

 

Задание 3. Даны множества

Найти и изобразить на числовой прямой множества:

 

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Практическое занятие № 5. Операции
над множествами.

Цель занятия:	1.	изучить способы задания множеств;
	2.	получить навыки в применении операций над множествами.

 

Элементы теории