Геометрический и аналитический методы при определении реакции связи, сходящейся системы сил

Существует два способа задания и сложения сил:

1) геометрический;

2) аналитический;

В первом случае сила задается ка вектор, во втором с помощью проекций на оси координат.

Рассмотрим, как складываются силы на примере сходящейся системы сил.

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Эти силы могут быть в плоскости и в пространстве.

 

Геометрический способ

В соответствие с четвертой аксиомой, равнодействующая двух пересекающихся сил приложена к точке их пересечения и определяется как диагональ.

h gyajO0eo4Ioe1uXtTaFz4yb6wHEfasEl5HOtoAmhz6X0VYNW+4Xrkdg7ucHqwHKopRn0xOW2k0kU PUqrW+IPje5x22B13l+sgrdJT5s0fhl359P2+n1YvX/tYlTq/m7ePIMIOIe/MPziMzqUzHR0FzJe dKzTjJMKsgQE28skXYI48rHKMpBlIf8PKH8AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA 4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA OP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEA +HWJbMEIAACERAAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAA ACEABcn3w98AAAAIAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAAAbCwAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAE AAQA8wAAACcMAAAAAA== ">

β

α

α

1

2

α

Равнодействующая будет также действовать как F₁ и F₂. На этих силах можно построить силовой треугольник.

С помощью теоремы синусов можно найти зависимость сил.

 

 

Если имеем систему сходящихся сил, то главный вектор можно определить путём последовательного сложения сил по правилу параллелограмма, но удобнее строить силовой многоугольник.

 

Система сходящихся сил имеет равнодействующую равную главному вектору этих сил и приложена в точке пересечения.

 

Из рассуждений очевидно, если силовой многоугольник замкнут, то равнодействующая равна нулю и все силы взаимно уравновешены. Это положение выражает условие равновесия сходящихся сил в геометрической форме.

 

Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу необходимо и достаточно, чтоб равнодействующая равнялась нулю.

 

Аналитический способ задания и сложения сил.

 

Силу можно задать с помощью проекции на ось. Проекция вектора  на ось – длина отрезка ab.

 

На плоскости:

α

α

a

b

β

γ

Fy

Fx

Y

X

Z

 

Проекция силы F на плоскость Оху – вектор Fxy, заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость, т.е. проекция силы на плоскость величина векторная, характеризуется не только числовым значением, но и направлением в плоскости Оху Тогда модуль проекции F на плоскость Оху будет равен: Например, чтобы определить проекцию силы F на ось х, надо спроецировать ее на плоскость Оху, а затем разложить проекцию силы Fxy на составляющие по осям координат Fx и Fy.

В пространстве:

                                                                                 

 

 

                                                                            

 

Для сложения сил аналитический служит теорема «о проекции вектора суммы»:

Проекция вектора суммы на ось равна алгебраической сумме слагаемых сил на ту же ось.

(1)

 

 

 

Если рассматривается система сходящихся сил в равновесии, то вектор  равен нулю, то есть из (1) вытекает условие равновесия:

 

Для равновесия любой сходящейся системы сил (на плоскости или в пространстве) необходимо и достаточно, чтоб сумма проекций сил на каждую координатную ось равнялась нулю.

 

Если силы находятся в одной плоскости, то достаточно двух уравнений.

L AwQUAAYACAAAACEAFJL5fMQAAADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPS2vCQBC+C/0PyxR6 M5s0VNo0q4jU0oMU1ELpbciOSTA7G7JrHv/eFQre5uN7Tr4aTSN66lxtWUESxSCIC6trLhX8HLfz VxDOI2tsLJOCiRyslg+zHDNtB95Tf/ClCCHsMlRQed9mUrqiIoMusi1x4E62M+gD7EqpOxxCuGnk cxwvpMGaQ0OFLW0qKs6Hi1HwOeCwTpOPfnc+baa/48v37y4hpZ4ex/U7CE+jv4v/3V86zE/f4PZM uEAurwAAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAAACEAovhPUwQBAADsAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA W0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQBsBtX+2AAAAJkBAAALAAAAAAAAAAAA AAAAADUBAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAVAAAAAAAAAAAA AAAAADYCAABkcnMvZ3JvdXBzaGFwZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAFJL5fMQAAADcAAAA DwAAAAAAAAAAAAAAAACqAgAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA+gAAAJsDAAAAAA== ">

 

 

β

 

 

Составляем уравнение сходящейся пространственной системы сил.

Силы уравновешиваются. Для определения Т₁, Т₂, R_c используем аналитические условия равновесия.

 

 

Теорема о трех силах

Если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линия этих сил пересекается в одной точке, а силовой треугольник должен быть замкнут.

 

 

 

 

Так как тело находится в равновесии под действием трех сил, то  равна и противоположна .

При равновесии тела под действием трех сходящихся сил, из линии действия должны пересечься в одной точке.

 

 

 

β

 

 

Силовой треугольник замкнут.

 

 

 

X

Y

Пример 1

 

Действуют три силы: Т, N, Р

 

О

α

Y

X

Геометрический способ

 

 

Аналитический способ

 

Пример 2

Так как тело находится в равновесии трех сил, P, T, Ra, то линии действия этих сил должны пересечься в одной точке.

 

Решим задачу геометрическим способом

 

 

 

 

Аналитический метод решения

Составим уравнения равновесия в аналитической форме.

           

 

При решении задач данного типа применяется принцип освобождаемости от связи, то есть вместо связей указываются их реакции и нагрузки.

Если число неизвестных величин больше числа уравнений равновесия, то задача статически неопределима, а система сил называется статически неопределимой.

 

Момент силы.
Момент силы относительно центра и осей

Моментом силы относительно произвольного центра в плоскости действия силы, называется произведение модуля силы на плечо.

Плечо - кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы, но не до точки приложения силы, т.к. сила-скользящий вектор.

G AAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQ SwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQ SwECLQAUAAYACAAAACEAzIlWHygIAACMMQAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54 bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA14V1ItwAAAAHAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAACCCgAAZHJzL2Rvd25y ZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAIsLAAAAAA== ">

h

M0

 

 

 

Знак момента:

По часовой-минус, против часовой-плюс;

Момент силы можно выразить как вектор. Это перпендикуляр к плоскости по правилу Буравчика.

Если в плоскости расположены несколько сил или система сил, то алгебраическая сумма их моментов даст нам главный момент системы сил.

 

 

 

 

Рассмотрим момент силы относительно оси, вычислим момент силы относительно оси Z;

U ACIYzM62xXwCQKxzcMcCxE3p+KDHsMEYBFBbO5htnsvgarNl25P/AwAA//8DAFBLAwQUAAYACAAA ACEAvcVtuN4AAAAHAQAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPQUvDQBSE74L/YXkFb3Y3apqS5qWU op6KYCuIt9fkNQnN7obsNkn/vevJHocZZr7J1pNuxcC9a6xBiOYKBJvClo2pEL4Ob49LEM6TKam1 hhGu7GCd399llJZ2NJ887H0lQolxKSHU3neplK6oWZOb245N8E621+SD7CtZ9jSGct3KJ6UWUlNj wkJNHW9rLs77i0Z4H2ncPEevw+582l5/DvHH9y5ixIfZtFmB8Dz5/zD84Qd0yAPT0V5M6USLkCSL kER4ARHcRKlw5IgQx0sFMs/kLX/+CwAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAAT AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/W AAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAE8ZM7lo CQAA+k0AAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAL3F bbjeAAAABwEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAwgsAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMA AADNDAAAAAA= ">

b

a

h

Y

X

Z

A

L AwQUAAYACAAAACEAJqo52MIAAADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPTYvCMBC9C/sfwizs TdO6Kks1ioiKBxGswuJtaMa22ExKE9v6781hYY+P971Y9aYSLTWutKwgHkUgiDOrS84VXC+74Q8I 55E1VpZJwYscrJYfgwUm2nZ8pjb1uQgh7BJUUHhfJ1K6rCCDbmRr4sDdbWPQB9jkUjfYhXBTyXEU zaTBkkNDgTVtCsoe6dMo2HfYrb/jbXt83Dev22V6+j3GpNTXZ7+eg/DU+3/xn/ugFUyiMD+cCUdA Lt8AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAKL4T1MEAQAA7AEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtD b250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAbAbV/tgAAACZAQAACwAAAAAAAAAAAAAA AAA1AQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAFQAAAAAAAAAAAAAA AAA2AgAAZHJzL2dyb3Vwc2hhcGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhACaqOdjCAAAA3AAAAA8A AAAAAAAAAAAAAAAAqgIAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPoAAACZAwAAAAA= ">

B

α

 

Спроецируем F на XY;

F_xy=F cosα = ab

m₀(F_xy)=m_z(F), то есть m_z=F_xy * h = F cosα * h

Момент силы относительно оси равен моменту ее проекции на плоскость перпендикулярную оси, взятому на пересечении осей и плоскости

Если сила параллельна оси или пересекает ее, то m_z(F)=0