Тема 3 Показатели разнообразия признаков

 

1 Среднее квадратическое отклонение (δ)

2 Средний квадрат отклонений или дисперсия (δ²)

3 Коэффициент вариации (V)

В каждой сово­купности варианты отклоняются от среднего значения. Поэтому для изучаемой статистической выборки недо­статочно определить лишь среднее значение, необходимы показатели, характеризующие степень разнообразия со­вокупности. К показателям разнообразия признаков от­носятся максимальная и минимальная величины в ва­риационном ряду (лимит), амплитуда варьирования, среднее квадратическое отклонение, квадрат отклонений от среднего, коэффициент вариации. Эти показатели признаков характеризуют различную степень и особен­ности разброса. Рассмотрим более подробно среднее квадратическое отклонение, квадрат отклонений от среднего и коэффициент вариации.

 

1 Среднее квадратическое отклонение (δ) показывает степень рассеяния значений статистической совокупности около среднего значения. Среднее квадра­тическое отклонение определяется для невзвешенного ряда по формуле

                                                        (3.1)

для взвешенного – по формуле

                                                                      (3.2)

где x_i – индивидуальная варианта совокупности;

(x_i – M) – отклонение от среднего индивидуальных вариант;

(х _i - M)² f – сумма произведений квадратов отклонений вариант от среднего на соответствующие частоты.

Ошибка среднего квадратического отклонения опре­деляется по формуле:

                                     (3.3)

Точность вычисления ошибок среднего квадратического отклонения и среднего арифметического можно про­верить приближенно при помощи соотношения:

                                                                           (3.4)

Напомним, что ошибка среднего арифметического вычисляется по формуле:

                                      (3.5)

Пример. Определено количество осадков 20, 30, 40, 35, 50 мм. Определить точность измерения.

Решение:

1) Сначала вычисляем среднее арифметическое

2) Для получения исходных данных составляется таблица 1

Таблица 1 - Форма записи и расчета среднего квадратического отклонения

xi	(xi - M)	(xi - M)^2
20	-15 (20 - 35)	225 (-15)^2
30	- 5	25
40	5	25
35	0	0
50	15	225
		Σ = 500

 

3) Находим среднее квадратическое отклонение

4) Находим ошибку среднего арифметического

5) Находим ошибку среднего квадратического отклонения

 

 

6) Подставляя вычисленные данные находим точность измерений

Если соотношение окажется близким к 0,7, то полученные результаты вычислений следует считать реп­резентативными. В противном случае необходимо прове­рить расчет. При получении тех же результатов прихо­дим к выводу, что изучаемое явление не соответствует закону нормального распределения и его оценку следует проводить с использованием непараметрических пока­зателей.

 

2 Средний квадрат отклонений или дисперсия (δ²) – по­казатель, характеризующий степень рассеяния значений переменных около среднего значения. Средний квадрат отклонений можно вычислить путем возведения в квад­рат показателя среднего квадратического отклонения или определить по формуле

                                                                (3.6)

Средний квадрат отклонений выражается в тех же едини­цах, что и соответствующие показатели среднего поло­жения. Форма записи исходных данных для расчета σ² такая же, как и для σ (см. таблицу 1).

Вычислим дисперсию для тех же значений, что были представлены выше:

Исходя из величины дисперсии, можно определить интервал, в пределы которого входят все варианты выборки:

                                      (3.7)

Для нашего примера интервал будет представлен следующими пределами:

При объединении нескольких аналогичных выборок в общую выборочную совокупность можно рассчитать общий средний квадрат отклонений, если имеются сведения о дисперсии по каждой выборке в отдельности:

                                   (3.8)

где σ²_i – дисперсия индивидуальной выборки; k – число частных выборок

Пример. Вычислим общий средний квадрат отклонений для четырех выборок, отражающих содержание кальция в озерных водах Белоруссии: σ ² ₁ = 2, N ₁ =4; σ ² ₂ = 3, N ₂ = 6; σ ₃ ² =4,0, N ₃ = 5; σ ² ₄ = 6,0 N ₄ = 6.

Подставляя данные в формулу, имеем:

По величине общей средней дисперсии легко опреде­лить общее значение среднего квадратического отклоне­ния:

    

3 Коэффициент вариации (V) представляет собой от­носительный показатель разнообразия признаков. Он показывает отношение величины среднего квадратического отклоне­ния к величине среднего арифметического и выражается в процентах. Для числовых величин с одинаковым знаком коэф­фициент вариации вычисляется по формуле:

                               (3.9)

Если в статистической совокупности имеются показа­тели с положительным и отрицательным знаком (напри­мер, температуры воздуха), то коэффициент вариации рекомендуется вычислять по формуле:

                            (3.10)

где \х _i \ – числовое выражение наименьшей отрицатель­ной варианты (без минуса)

Приведем алгоритм вычисления коэффициента вариации для относительных и абсолютных величин.

Пример 1. Известны показатели изменения температуры в течение нескольких десятилетий. Определить коэффициент вариации.

t⁰= –30 ⁰C; –45 ⁰C; 30 ⁰C; 20 ⁰C; –35 ⁰C;

Решение:

1) Сначала вычисляем среднее арифметическое

2) Для получения исходных данных составляется таблица 1

Таблица 1 - Форма записи и расчета среднего квадратического отклонения

xi	(xi –M)	(xi – M)^2
-30	-32	1024
-45	- 47	2209
30	28	784
20	18	324
35	33	1089
		Σ = 5430

 

3) Находим среднее квадратическое отклонение

4) Находим коэффициент вариации

 – варьирование очень высокое.

 

Пример 2. Известны показатели изменения температуры в течение нескольких десятилетий. Определить коэффициент вариации.

t⁰= 20 ⁰C; 10 ⁰C; 15 ⁰C; 25 ⁰C; 30 ⁰C;

1) Сначала вычисляем среднее арифметическое

2) Для получения исходных данных составляется таблица 1

Таблица 2 - Форма записи и расчета среднего квадратического отклонения

xi	(xi – M)	(xi – M)^2
20	0	0
10	-10	100
15	-5	25
25	5	25
30	10	100
		Σ = 250

3) Находим среднее квадратическое отклонение

 

4) Находим коэффициент вариации

 

По размаху варьирования признака выделяется 5 групп коэффициента вариации. Если изменение призна­ка находится в пределах величины коэффициента вариа­ции 0–10 %, то такое варьирование считается малым, при 10–30 – средним, 30–60 – высоким, 60–100 – очень высоким, при более 100 % – аномальным.

 

Задания для самостоятельной работы

 

1 По данным таблицы 1 вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Таблица 1 – Число продовольственных магазинов: выборка из 30 населенных пунктов Северной Франции.

4 7 69 20 3 8 30 234 14 5

4 4 4 1 1 6 4 3 1 1

5 405 2 18 2 2 16 3 696 10

2 Известны показатели изменения температуры почвы в течение месяца (в градусах Цельсия): -20; -15; -14; -11; -5; -4; - 3; - 1; +1; +5; +6; + 7. Определить коэффициент вариации.

 

3 Известны показатели изменения температуры почвы в течение месяца (в градусах Цельсия) на разных участках (таблица 2). Определить коэффициент вариации.

Таблица 2 – Показатели изменения температуры почвы в течение месяца

№	Вариант задания
	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	-20 -15 -14 -11 -5 -4 - 3 - 1 +1 +5 +6 + 7	+10 +12 +11 +13 +4 +16 +12 +14 +13 +12 +14 +17 +13 +12	-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 +1	+20 +17 +15 +13 +12 +10 +8 +8 +6 +5 +3 +2 +1 0	-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8	-12 -13 -14 -15 -16 -15 -14 -13 -12	-1 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +10 +11	-7 -6 -5 -3 -1 +1 +3 +3 +4 +5 +5 +6 +8 +8	+2 +1 +2 +3 +6 +6 +7 +7 +3 +1 +5 +4 +4 +6	-23 -20 -18 -12 -11 -7 -8 -5 -3 -1 0 +1 +2 +3

4 По данным вычислить: дисперсию; среднее квадратическое отклонение; ошибку среднего квадратического отклонения и точность данных

Таблица 3 - Содержание белка в суточном рационе питания (в расчете на душу населения)

Страна	г/сут.
1	2
Австрия Бельгия Дания Финляндия Франция Германия Греция Ирландия Нидерланды Норвегия Португалия Испания Швеция Швейцария Великобритания Канада США Шри-Ланка Китай Индия Пакистан Израиль	86,6 85,0 92,3 92,9 98,6 97,7 94,2 90,2 78,2 80,8 74,2 79,9 83,5 8,2 89,3 91,1 90,6 41,8 58,8 49,7 47,8 85,2

 

 

Вопросы для самоконтроля

 

1 Для чего используют показатели разнообразия признаков?

2 Какие показатели разнообразия признаков вы знаете?

3 Какие показатели используют как составляющие параметры нормального распределения?

4 Что показывает среднее квадратическое отклонение?

5 На что указывает дисперсия?

6 Что представляет собой коэффициент вариации?

7 Каким бывает разброс вариант в зависимости от значения коэффициента вариации?