Тема 2 Показатели центра распределения

1 Среднее арифметическое (М)

2 Среднее гармоническое (М_гар)

3 Среднее геометрическое (М_г)

4 Среднее квадратическое (М_кв)

5 Среднее кубическое (М_куб)

Для того чтобы по­лучить достаточно обоснованное представление о гене­ральной совокупности на основании выборки, необходимо использовать наиболее характерные параметры призна­ка. К ним относятся показатели среднего положения: непараметрические, т. е. менее точные (мода, медиана) и параметрические, т. е. более точные (средние величины: арифметическое, гармоническое, квадратическое, куби­ческое, геометрическое). Средняя величина выражает характерную, типичную для данного ряда величину признака и является равнодействующей всех факторов, влияющих на признак. В ней погашаются индивидуальные различия вариант в ряду, обусловленные случайными обстоятельствами.

Рассмотрим параметрические показатели.

 

1 Среднее арифметическое (М) представляет собой величину, сумма положительных и отрицательных откло­нений от которой равна нулю. Оно является основной характеристикой статистической совокупности. Для не­взвешенного вариационного ряда среднее арифметиче­ское вычисляется по формуле  

                                         М                                                   (2.1)

где Σx – сумма всех вариант совокупности.

Среднее арифметическое выборки характеризует среднее арифметическое генеральной совокупности, аб­солютная и точная величина которого нам неизвестна. Для точности определения выборочных параметров необ­ходимо установить величину ошибок репрезентативно­сти. Ошибку среднего арифметического выборки обоз­начают индексом m _м. Если m _м =0, величина выборочной совокупности равна величине генеральной совокупности. Ошибка среднего арифметического выборки рассчиты­вается по формуле:

                                          (2.2)

 

где σ – среднее квадратическое отклонение

Пригодность сред­него арифметического выборки для характеристики среднего арифметического генеральной совокупности оп­ределяется путем установления достоверности. До­стоверность характеризует реализуемость некоторого со­бытия, подтверждая его осуществимость высокими зна­чениями уровней вероятности (Р = 0,95; 0,99). Достовер­ность среднего арифметического оценивают по критерию Стьюдента:

                                    (2.3)

Пример. Определено следующее количество осадков, выпав­ших в пяти пунктах наблюдений:25, 35, 40, 45 и 55мм (N =5). Определить среднее количество осадков.

Решение: 

 

2 Среднее гармоническое (M _гар) используется при усреднении меняющихся скоростей протекания природ­ных процессов и показателей обратно пропорциональной зависимости между природными процессами или явле­ниями. Среднее гармоническое для невзвешенного ва­риационного ряда определяется по формуле:

                                    (2.4)

Пример. При измерении скорости ветра в течение суток были получены следующие результаты: 5,7,4,3,6,8, 9 м/с. Вычислить общий средний показатель скорости.

Решение: .

Если среднюю скорость воды в реке рассчитывать по среднему ариф­метическому, то ее величина составит 6 м/с. Различие считается существенным в тех случаях, когда необходима высокая точность.

 

3 Среднее геометрическое(М_г) необходимо для расчета в случаях, когда требуется определить средние темпы прироста (например, сельскохозяйственной продукции или вегетативной массы деревьев за вегетационный пе­риод и т. д.). Этот показатель дает более точное пред­ставление о приросте по сравнению со средним арифме­тическим и рассчитывается по формуле:

                          (2.6)

Пример. Увеличение прироста зеленой массы клевера за май-август составило 20 и 25 ц/га. Найти средний прирост.

= 22,4 ц/га.

При наличии нулевого показателя вместо среднего геометрического вычисляется приближенное среднее арифметическое.

4 Среднее квадратическое (М_кв) используется, когда необходима проверка результатов эксперимента на един­ство суммарного действия (например, требуется опреде­лить средний радиус или диаметр исследуемого объекта). Для невзвешенного ряда используется формула:

                                         (2.7)

Пример. Имеются данные по величине радиусов трех спилов дуба: 20, 24, 32, 28, 22 см. В данном случае вместо среднего арифметическо­го при расчетах следует использовать среднее квадратическое:

= = 25,56 ≈ 26 см

 

5 Среднее кубическое (М_куб) применяется в тех же слу­чаях, что и среднее квадратическое, т. е. При проверке на единство суммарного действия (например, при нахождении объема), и определяется по формуле:

                         М_куб =                                         (2.8)

Пример. Кубатура древесины по семи ключевым участкам составила 5, 7, 9, 13, 16, 19 и 20 м³. Среднее кубическое равно

М_куб =  =  = 14,5 м³

Эта величина существенно отличается от среднего арифметического.

По абсолютной величине рассмотренные выше сред­ние значения располагаются в следующем порядке: Мгар<=Мг<=М<=Мкв<=Мкуб. Степень различия между средними зависит от величины коэффициента вариации рассматриваемой совокупности: чем больше коэффи­циент вариации, тем сильнее различаются по величине показатели среднего положения.

 

Задания для самостоятельной работы

1 Территория региона площадью 1200 тыс. км² разбита на 3 зоны, имеющие площади 450, 390 и 360 тыс. км². Средняя плотность населения этих зон составляет соответственно 16,0; 13,5 и 15,1 чел./км². Определить среднюю плотность населения по району в целом.

2 В изучаемом регионе находится всего 10 населенных пунктов. В одном из них проживает 120 человек, в двух по 260 человек, в 3 – по 73 человека и в одном – 34 и в трех – по 1500 человек. Найти среднюю численность населения в одном населенном пункте.

3 Имеются данные по радиусам спилов стволов березы: 14,16,19,24,28 см. Определить среднюю величину спилов.

4 Увеличение прироста зеленой массы клевера за май-август составило 10 и 35 ц/га. Определить средний прирост.

5 Кубатура строительного кирпича на участке составила 12, 14, 10, 15 и 20 м³. Определить среднее кубическое.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1 С какой целью определяют показатели центра распределения?

1 Какие виды показателей средних вы знаете?

2 Чем отличаются показатели центра распределения?

3 Чем выражаются показатели среднего положения?

4 Что характеризуют показатели среднего положения?

5 Для чего рассчитываются достоверность того или иного показателя?