Векторное произведение двух векторов. Теорема. Свойства векторного произведения

Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Свойства векторного произведения:

1.

2.

3.

4.

5.

21. Выражение координат векторного произведения через координаты векторов

22. Смешанное произведение трех векторов. Свойства. Теорема о компланарности трех векторов

Теорема о компланарности трёх векторов. Если смешанное произведение трёх не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.

Свойства смешанного произведения трёх векторов:

1.

2.

Условия компланарности трёх векторов:

1. если смешанное произведение трёх не нулевых векторов равно нулю;

2. если они линейно-независимы;

3. если среди них не более двух линейно-независимых векторов;

23. Выражение смешанного произведения через координаты векторов  .

·

·

 

Базис на плоскости и в пространстве. Теоремы 1-4

Базис на плоскости – это любые два линейно-независимых вектора.

Теорема 1. Для того, чтобы два вектора на плоскости были линейно-независимы необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 2. Для того, чтобы три векторы были линейно-зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Пусть линейно-зависимы, тогда в силу теоремы 2 следует, что , где  – числа. Это и есть разложение вектора  по векторным базисам , где  представляют собой координаты вектора  относительно .

Базис в пространстве – это любые три линейно-независимых вектора.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора в пространстве были линейно-независимы, достаточно чтобы они были некомпланарны (т.е. не лежали на одной прямой или на параллельных прямых).

Теорема 4. Любые четыре вектора в пространстве линейно-зависимы. (Например: )

Прямоугольно декартова система координат на плоскости. Задачи, решаемые методом координат на плоскости

Возьмём на плоскости две пересекающиеся под прямым углом оси. Точку пересечения осей обозначим через O. Пусть координаты этой точки будут (0;0).

Возьмём на осях единичные векторы , которые определяют ортогональный базис (его векторы попарно ортогональны и равны единице), в самом деле векторы линейно-независимы.

·

·

Положение любой точки относительно выбранной системы координаты будет задаваться выбранными числами: абсциссой  и ординатой .

Задачи, решаемые методом координат на плоскости:

· Расстояние между двумя точками: пусть даны две точки: , тогда

· Задача о делении отрезка в заданном отношении: пусть , даны B (x_b, y_b) и A (x_a, y_a). Найти M(x, y).

A (xa, ya)

M (x; y)

B (xb, yb)

y

x

M1

A1

B1

A2

M2

B2

O

o ,

o

o

o

o

o

o

Аналогичными рассуждениями получаем .

Полярная система координат

· Рассмотрим , заданную в прямоугольно-декартовой системе координат на плоскости.

· Соединим  c началом координат () и рассмотрим .

· Пусть .

· Пусть угол между  и осью  равен .

·    

·  

·

·