Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Матрицы. Нулевая матрица. Единичная матрица. Операции над матрицамиСтр 1 из 7Следующая ⇒
Матрицы. Нулевая матрица. Единичная матрица. Операции над матрицами Поле – некоторое множество с введёнными над этим множеством операциями сложения, вычитания, умножения, деления и выделенным нейтральным элементом, относительно операции умножения. – матрица или матрица над полем L – это таблица вида , при чём , а , где F – множество скаляров, по которым введены основные арифметические операции в поле с нейтральным элементом 1. Для её обозначения используют символ: , где , , где i – номер строки, а j – номер столбца, а множество всех - матриц обозначают через · Если , то матрица – прямоугольная. · Если , то матрица – квадратная. Все элементы матрицы при i = j называются элементами главной диагонали · Матрица называется нулевой, если все её элементы равны 0 (обозначается через латинскую букву ). · Матрица называется единичной, если элементы её главной диагонали равны 1, а вне этой диагонали равны 0 (обозначается через латинскую букву ).
Матрицы равны, если совпадают их размерности и соответствующие элементы. Чтобы сложить матрицы одинаковых размерностей следует сложить их соответствующие элементы, аналогично с вычитанием. Умножение на скаляр: , тогда , где , Матрица противоположна матрице . При этом выполняется условие . Умножение матриц: при умножении матриц важно учитывать, что количество столбцов в A должно совпадать c количеством строк в B. Если , то результатом будем матрица размерностью . Для большего понимания можно элементы из этого изображения, где элемент первой строки второго столбца, например, считается как : Свойства операций над матрицами. Для любых двух матриц справедливо: 1. 2. 3. , где – скаляр 4. , где – скаляры 5. , где – скаляры 6. , где C – матрица и , 7. , если , и 8. Транспонированные матрицы. Теорема о транспонировании произведения квадратных матриц Транспонированная матрица получается заменой в матрице строк соответствующими столбцами (обозначается через ). Теорема. Если и , то Миноры и алгебр. дополнения Подматрица матрицы A – матрица, полученная из матрицы A, путём удаления из неё строки i и столбца j. Подматрица k-ого порядка – подматрица размерности . Минор k-ого порядка – определитель подматрицы k-ого порядка.
Алгебраическое дополнение – соответствующий минор, взятый со знаком, определяемым по формуле (-1)i+j. Теорема 1. Если в квадратной матрице A элементы в последней строке быть может за исключением элементы равны нулю, то определитель высчитывается по формуле: . Теорема 2. Если в квадратной матрице A элементы в какой-либо строке за исключением одного элементы равны нулю, то определитель высчитывается по формуле: . При разложении определителя квадратной матрицы по элементам выбранной строки(столбца) следует учитывать эти две теоремы: Теорема 1. Пусть дана , тогда . Замечание. Теорема остаётся верной и при разложении по j (т.е. по строкам). Теорема 2. Сумма произведений элементов одной из строк на алгебраические дополнения другой строки равна 0. Полярная система координат · Рассмотрим , заданную в прямоугольно-декартовой системе координат на плоскости. · Соединим c началом координат () и рассмотрим . · Пусть . · Пусть угол между и осью равен . · · · · Уравнение прямой в отрезках Если , то уравнение (1) можно записать в виде уравнения прямой в отрезках на плоскости: Другими словами, прямая отсекает от отрезок , а на отрезок и проходит через точки , . Общее уравнение плоскости · Разложим по первой строке доказанную в прошлой теме теорему: · Введём обозначения: · Обозначим через · Имеем общее уравнение плоскости: Здесь , так как векторы ; и ; не коллинеарны, а значит определители в разложении одновременно не равны нулю для . Верно и обратное утверждение. Всякое решение (2) определяет точку с координатами , лежащую на плоскости. Замечание: вектор , где – плоскость, заданная (2). Доказательство: · Возьмём две лежащие на плоскости точки: и . · Координаты этих точек должны удовлетворять (2): (3) (4) · Вычтем из (4) (3): · Это равенство, по сути, представляет собой скалярное произведение, равное нулю: · · Так как , то 38. Критерий компланарности вектора и плоскости. Теорема Теорема. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы вектор и плоскость, заданная (2). Тогда необходимое и достаточное условие компланарности вектора и данной плоскости имеет вид:
Доказательство: · Отложим вектор от произвольной точки заданной плоскости. · Конец Р отложенного вектора будет иметь координаты . · Вектор коллинеарен заданной плоскости тогда и только тогда, когда точка Р лежит в данной плоскости, т.е. выполняется уравнение (2): . · лежит в плоскости, следовательно, . · После раскрытия скобок с учётом уравнения выше остаётся условие: . Из этой теоремы следует, что главный вектор плоскости , заданной общим уравнением плоскости относительно общей декартовой системы координат, не компланарен этой плоскости: . 39. Уравнение плоскости, проходящей через 2 заданные точки и компланарной ненулевому вектору. Теоремы 1-3 Теорема. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы две точки и и ненулевой вектор , компланарный плоскости . Тогда уравнение плоскости имеет вид: Доказательство: · Пусть три точки , точка с координатами , а также лежат на . · Векторы с координатами , и вектор компланарны. · Следовательно, матрица из их координат равняется 0. Обратная теорема. Всякое решение уравнения (1) определяет точку с координатами , лежащую на плоскости. Теорема: Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы , , . Тогда уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой: Доказательство: · Пусть , , лежат на одной плоскости. · Возьмём произвольным образом точку , лежащую на плоскости, тогда векторы , , коллинеарны, так как лежат в одной плоскости. · Следовательно, определитель, составленный из их координат, равен 0 ч.т.д. Обратная теорема. Всякое решение уравнения (2) определяет точку, лежащую на плоскости.
Цилиндры второго порядка Матрицы. Нулевая матрица. Единичная матрица. Операции над матрицами Поле – некоторое множество с введёнными над этим множеством операциями сложения, вычитания, умножения, деления и выделенным нейтральным элементом, относительно операции умножения. – матрица или матрица над полем L – это таблица вида , при чём , а , где F – множество скаляров, по которым введены основные арифметические операции в поле с нейтральным элементом 1. Для её обозначения используют символ: , где , , где i – номер строки, а j – номер столбца, а множество всех - матриц обозначают через · Если , то матрица – прямоугольная. · Если , то матрица – квадратная. Все элементы матрицы при i = j называются элементами главной диагонали · Матрица называется нулевой, если все её элементы равны 0 (обозначается через латинскую букву ). · Матрица называется единичной, если элементы её главной диагонали равны 1, а вне этой диагонали равны 0 (обозначается через латинскую букву ).
Матрицы равны, если совпадают их размерности и соответствующие элементы. Чтобы сложить матрицы одинаковых размерностей следует сложить их соответствующие элементы, аналогично с вычитанием. Умножение на скаляр: , тогда , где , Матрица противоположна матрице . При этом выполняется условие . Умножение матриц: при умножении матриц важно учитывать, что количество столбцов в A должно совпадать c количеством строк в B. Если , то результатом будем матрица размерностью . Для большего понимания можно элементы из этого изображения, где элемент первой строки второго столбца, например, считается как :
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 39; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.227.69 (0.047 с.) |