Уравнение плоскости в отрезках. Теорема

Доказательство:

·

·

·

·

Плоскость пересекает координатные оси в точках с координатами , , .

Параметрические уравнения плоскости. Теорема

Доказательство:

· Пусть  и  компланарны плоскости, а  лежит на этой плоскости.

· Выберем на плоскости произвольную точку .

·  лежит на плоскости только тогда, когда  – компланарны.

· Если  – компланарны, то их можно выразить через друг друга:

· Записав разложение вектора  по координатам получаем параметрическое уравнение прямой.

Частные случаи расположения плоскости относительно прямоугольно-декартовой системы координат. Теорема

Теорема. Пусть дана плоскость . Тогда:

· , когда ;

· , когда ;

· , когда ;

·   , когда ;

· , когда ;

· , когда ;

· , когда ;

· , когда ;

· , когда ;

· , когда .

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Теоремы 1-3

Теорема. Пусть даны две плоскости:  и . Тогда:

· , когда ;

· , когда ;

· , когда .

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Параметрические уравнения прямой. Теорема

Теорема. Пусть прямая , коллинеарный ненулевому вектору , проходит через , тогда уравнение прямой проходящей через заданную точку и ненулевой вектор задаётся уравнением:

В параметрической форме:

Доказательство:

· Произвольная точка  лежит на  тогда и только тогда, когда  коллинеарен , что равносильно уравнению (1).

· Так как  – ненулевой, то . Записав это уравнение в координатной форме, мы получаем (2).

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в пространстве. Теорема

Теорема. Пусть точки  и  лежат на прямой . Тогда прямая  задаётся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки:

Доказательство:

1. Если за направляющий вектор  взять  коллинеарный , то тогда в силу теоремы предыдущей темы прямая задаётся уравнением (1).

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Теоремы 1-4

Теоремы. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат в пространстве заданы две прямые своими уравнениями: . Тогда

1.  – скрещивающиеся, если ;

2. , если ;

3.  , если  но ;

4.  – совпадают если .

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Теоремы 1-2

Теоремы. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат в пространстве заданы плоскость и прямая . Тогда:

1. , если ;

2. , если  и ;

3. , если  и .

Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Теорема

Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы две плоскости:

 и

.

Теорема.  задаётся своим каноническим уравнением , где .

Геометрический смысл неравенства первой степени с тремя неизвестными

Плоскость   делит пространство на два полупространства:

· () положительно-ориентированное;

· () отрицательно-ориентированное.