Основы теории автоматического управления

Устойчивость автоматических

Систем управления

                                                                   

Понятие об устойчивости. Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный установившийся режим после нанесения возмущения. На рис. 22 пока-заны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой и устойчивой систе-мах.

 

 

 

Рис. 22. Переходные процессы:

a – неустойчивые; b – устойчивые.

 

Процесс регулирования в линейной САУ описывается решением дифференци-ального уравнения системы при известных входных воздействиях и заданных на-чальных условиях

                а_n  + a_n-1  + … + a  + a y =

                   = b _m  + b _m-1  … + b  + b x.               (2.96)

 

Уравнение, у которого правая часть равна нулю, называется однородным, уравнение с ненулевой правой частью – неоднородным. Решение уравнения (2.96) имеет две составляющие 

                                            y (t) = y (t) + y (t)                                  (2.97)

 

где y (t) – общее решение однородного уравнения, описывающее переходный процесс в системе; y (t) – частное решение неоднородного уравнения, описываю-щее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса.

Система будет  устойчивая, если переходные процессы y (t) будут затухающими,

т.е. если с течением времени y (t) будут стремиться к нулю.

Решение однородного дифференциального уравнения

 

                    a  + a  + … + a  + a y = 0               (2.98)

имеет вид

                                         y (t) = c e  ,                                    (2.99)

 

где c  – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями; 

  p – корни характеристического уравнения

 

                     a p  + a p  + … + a p + a  = 0.                      (2.100)

 

Таким образом, переходный процесс y (t) представляет собой сумму составля-ющих, число которых определяется числом корней характеристического уравнения (2.100), т.е. порядком уравнения системы.

В общем случае корни p  являются комплексными

 

                                            p  = j  .                                          (2.101)

 

В решении дифференциального уравнения системы, описывающем переходный процесс, вещественному корню соответствует слагаемое

 

                                               D  = c e  ,                                              (2.102)

 

а паре комплексно–сопряжённых корней – слагаемое

 

               D  = e (c cos t + c sin t).                      (2.103)

 

Процесс может быть устойчивым лишь при условии, что все его составляющие с течением времени стремятся к нулю. Устойчивость процесса определяется фун-кцией e . Для устойчивости линейной системы необходимо, чтобы все вещест-венные корни и вещественные части комплексных корней были отрицательны

 

                                     p  = –  ;                                          (2.104)

                                       p  = –  .                                (2.105)

 

Наличие пары сопряжённых чисто мнимых корней p  даёт незатуха-ющую гармоническую составляющую переходного процесса. В этом случае систе-ма находится на границе устойчивости. Такая система так же неработоспособна, как и неустойчивая.

Таким образом, исследование устойчивости системы сводится к определению знаков действительных частей корней. Однако определение корней уравнений вы-ше четвёртой степени связано со сложными расчётами. Поэтому разработан ряд оценок, именуемых критериями устойчивости, по которым можно судить об ус-тойчивости, не решая уравнения.

Критерий устойчивости Рауса – Гурвица. Это алгебраический критерий, по которому условие устойчивости сводится к выполнению ряда неравенств, связыва-ющих коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был пред-ложен английским математиком Е. Раусом и затем швейцарским математиком А. Гурвицем.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид

 

              a p  + a p  + … + a p + a = 0, a  > 0.          (2.106)

 

Составим из коэффициентов этого уравнения определитель

 

                              =                         (2.107)

Этот определитель называется определителем А. Гурвица. Порядок его состав-ления: выписываются по главной диагонали все коэффициенты от a  до a   в по-рядке возрастания индексов, столбцы определителя вниз от главной диагонали до-полняются коэффициентами с последовательно уменьшающимися индексами, а вверх – с возрастающими индексами; на место коэффициентов, индексы которых больше n  и меньше 0, ставятся нули.

САУ устойчива, если определитель А. Гурвица и все его диагональные миноры положительны.

Условие устойчивости:

для системы первого порядка  – a  > 0, a  > 0;

для системы второго порядка – a   > 0, a  > 0, a  > 0;

для системы третьего порядка – a  > 0, a  > 0, a  > 0, a a  > a a   и т.д.

В общем случае необходимым, но недостаточным условием устойчивости являя-ется положительность всех коэффициентов уравнения. Лишь для систем первого и второго порядков это условие является и достаточным. Использование критерия Рауса – Гурвица для систем высокого порядка (n 4) становится трудным в связи с увеличением объёма вычислений. ========================

Критерий устойчивости Михайлова. Этот частотный критерий, предложен-ный русским учёным А.В. Михайловым в 1938 г., основан на изучении годографа вектора комплексной функции, полученной из характеристического многочлена САУ

                    D(p) = a p  + a p  +…+ a p + a .                    (2.108)

 

Подставив p = j , получаем комплексную функцию

 

  D(j ) = a (j ) +a (j ) +…+a (j )+a  = U( )+jV( ).   (2.109)

 

Здесь U ( ) – действительная, а V ( ) – манимая части. Подставив в выражение (2.109) значение 0        , получим ряд значений вектора D (j ). Кривая, сое-диняющая концы вектора, называется годографом Михайлова.

САУ устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь на действительной поло-жительной полуоси, огибает против часовой стрелки начло координат, проходя последовательно n  квадратов (где n – порядок системы). Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат.

На рис. 23 приведены годографы Михайлова, соответствующие устойчивой 1, неустойчивой 2 и находящиеся на границе устойчивости 3 САУ четвёртого порядка.

 

 

Рис. 23. Годографы Михайлова

Рис. 24. АФЧХ разомкнутых САУ

  

 

Критерий устойчивости Найквиста. Этот критерий, предложенный в 1932 г. американским учёным Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкну-той системы по АФЧХ разомкнутой системы.

САУ будет устойчива в замкнутом состоянии, если амплитудно-фазовая характе-ристика разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1; j0) при из-менении частоты в пределах 0 . Если АФЧХ разомкнутой САУ проходит через точку (-1; j0), то в замкнутом состоянии система будет находиться на грани-це устойчивости. На рис. 24 приведены три АФЧХ разомкнутых САУ, соответ-ствующие устойчивой 1, неустойчивой 3 и на границе устойчивости 2 состояниям.

 

 

Систем управления

 

Требования к промышленным САУ. Задачей промышленной САУ является поддержание оптимального технологического режима в объекте управления. Заданные значения стабилизируемых технологических величин могут изменяться вручную или с помощью управляющей вычислительной машины (УВМ).

Возмущающие воздействия в промышленных САУ – изменение режимов работы агрегатов, изменение характеристик материальных и энергетических потоков и т.п. Синтез САУ ставит своей целью обеспечение заданных показателей качества регу-лирования при возмущениях заданного вида. Одной из задач при синтезе САУ яв-ляется определение значений параметров настройки регуляторов. Расчёт регулято-ров производится исходя из требования обеспечения оптимального качества регу-лирования.

Показатели качества регулирования. Устойчивость является необходимым условием работоспособности САУ, но недостаточным с точки зрения качества ре-гулирования. Ниже перечислены прямые показатели  качества регулирования (рис. 25): t – время регулирования, в течение которого регулируемая величина до-стигает заданного значения; x  – динамическая ошибка, т.е. максимальное от-клонение регулируемой величины в переходном процессе; x  – величина пере-регулирования;  – статическая ошибка, т.е. остаточное отклонение регулируе-мой величины после окончания переходного процесса (имеет место только в стати-ческих САУ). Перечисленные показатели могут быть определены непосредственно по графику переходного процесса и поэтому называются прямыми.

Рис. 25. Показатели качества регулирования.

 

 

Косвенными показателями качества регулирования являются  =   – сте-пень затухания, характеризующая колебательность процесса; I = x (t) dt – простейшая интегральная оценка (качество регулирования оценивается по величине площади, заключённой между кривой переходного процесса и осями координат), используемая для переходных процессов, не имеющих перерегулирования; I =  – квадратичная интегральная оценка, используемая для оценки любых процессов регулирования.

Оптимальные переходные процессы. На основании опытов и теоретических обобщений для промышленных объектов рекомендован ряд оптимальных переходных процессов регулирования (рис.26).

 

 

                       

 

Рис. 26. Оптимальные  переходные  процессы:

a. – апериодический; б. – с 20% - ным перерегулированием;

  в. – с минимальной квадратичной площадью.

 

1. Апериодический переходный процесс – характеризуется минимальным време-нем регулирования, отсутствием перерегулирования и максимальным динамичес-ким отклонением.

2. Затухающий колебательный переходный процесс с 20 %-ным перерегулирова-нием – характеризуется минимальным динамическим отклонением и временем первого полупериода колебаний t .

3. Затухающий колебательный переходный процесс с минимальной квадратичной площадью

I =  –

характеризуется 40-45 %-ным перерегулированием и максимальным временем ре-гулирования; имеет наименьшее динамическое отклонение.

Типы регуляторов. По характеру действия регуляторы бывают релейные, им-пульсные и непрерывные.

Релейные (позиционные) регуляторыосуществляют ступенчатое управляющее воздействие. Наиболее распространены двухпозиционные регуляторы. В этом слу-чае регулирующий орган может принимать одно из двух предельных положений: открыто или закрыто.

Импульсные регуляторы имеют в своей структуре импульсное звено и коммути-рующее устройство. Регулятор позволяет управлять одним или несколькими инер-ционными объектами, так как изменение регулирующего воздействия носит дис-кретный характер.

Непрерывные промышленные регуляторы в зависимости от реализуемого закона регулирования бывают пропорциональные, пропорционально-интегральные и пропорционально-интегрально-дифференциальные.

Пропорциональный регулятор (П-регулятор) производит перемещение регули-рующего органа пропорционально отклонению регулируемой величины от задан-ного значения.

Уравнение П – регулятор                                              y = K x,            (2.110)

где K  – коэффициент усиления регулятора.

Передаточная функция П – регулятора                      W (p) = K .         (2.111)

 

Амплитудно-фазовая и переходная характеристики   W (j ) = K ;     (2.112)

 

                                                                                   h (t) = K  .        (2.113)

 

Недостатком П – регуляторов является зависимость регулируемой величины от нагрузки. Это явление называется остаточной неравномерностью регулирования (статической ошибкой).

Параметром настройки П – регулятора служит диапазон дросселирования, рав-ный

                                         = 100 %.                                           (2.114)

 

Пропорционально-интегральный регулятор (ПИ – регулятор) производит пере-мещение регулирующего органа пропорционально сумме отклонения и интеграла от отклонения регулируемой величины.

Уравнение ПИ – регулятора

                                 y = K (x + ),                                (2.115)

 

где K_Р – коэффициент усиления регулятора; T_И – время изодрома (интегрирования).

 При T_И   ПИ – регулятор превращается в П – регулятор.  

 Передаточная функция, амплитудно-фазовая и переходная характеристики ПИ – регулятора равны

                                          W(p) = K (1+ );                                  (2.116)

                                 W(j ) = K (1-j );                               (2.117)

                                      h(t) = K (1+ t).                                (2.118)

Переходная характеристика ПИ – регулятора приведена на рис. 27. За время t = T_И интегральная составляющая становится равной пропорциональной, т.е. сиг-нал удваивается. Поэтому время изодрома называют временем удвоения. Так как интегральная составляющая вводится воздействием на упругую обратную связь (изодром), то ПИ – регуляторы называются изодромными. Параметры настройки ПИ – регулятора: диапазон дросселирования  и время изодрома Т_И . ПИ – регуляторы позволяют регулировать параметры без остаточной неравномерности.

   Пропорционально-интегрально-дифференциальный  регулятор (ПИД – регулятор) производит перемещение регулирующего органа пропорционально отклонению, интегралу и скорости изменения регулируемой величины.

Уравнение ПИД – регулятора

 

                           y = K _Р (x +  + T _ДИФ )                        (2.119)

 

где K_Р – коэффициент усиления регулятора; T_ДИФ – время дифференцирования.

При T_ДИФ = 0 ПИД – регулятор превращается в ПИ – регулятор.

 

 

Рис. 27.  Переходная  характеристика    ПИ – регулятора.

Рис. 28.  Переходная характеристика   ПИД – регулятра.

 

Передаточная функция ПИД – регулятора

 

                              W (p) = K _Р (1 +  + T _ДИФ p).                  (2.120)

 

Амплитудно-фазовая характеристика

 

                    W (j ) = K _Р (1 -  + j T _ДИФ ).                (2.121)

 

Переходная характеристика                H (t) = при t =0,

                           H (t) = K_Р (1+ t) при t > 0.                        (2.122)

 

График переходной характеристики ПИД – регулятора приведён на рис. 28.

Параметры настройки ПИД – регулятора: диапазон дросселирования , время изодрома T _И и время дифференцирования T _ДИФ.

Исходные данные для расчёта автоматического регулятора.  Для расчёта автоматического регулятора непрерывного действия необходимо иметь следующие исходные данные:

динамические характеристики объекта – постоянная времени T, c; запазды-вание   , с; коэффициент усиления K_ОБ.

максимально возможное возмущение по нагрузке –  ;

требуемые показатели качества регулирования – максимально допустимое динамическое отклонение A ; допустимое перерегулирование A в процентах к A ; допустимое остаточное отклонение  ; предельно допустимое время регулирования t   c.

Расчёт регулятора сводится к выбору типа регулятора и определению оптималь-ных параметров настройки.

Выбор типа автоматического регулятора. Расчёт промышленных САУ может быть проведён различными методами: аналитическим, математического моделиро-вания на ЭВМ, графоаналитическим и экспериментально.

Общедоступным является графоаналитический метод, достоинствами которого являются его простота и достаточная точность результатов. Сущность этого метода состоит в том, что расчёт регулятора производится по заранее составленным графи-кам с учётом динамических свойств САУ и требований к качеству переходного процесса.

При выборе типа регулятора следует прежде всего определить характер действия регулятора. Такой выбор ориентировочно может быть сделан, исходя из величины отношения запаздывания    к постоянной времени объекта T; при / T < 1,0 выбирается регулятор непрерывного действия; при / T < 0,2  выбирается регуля-тор релейного действия; при / T > 1,0  выбирается регулятор импульсного Дей-ствия. После определения характера действия регулятора переходят к выбору типа регулятора (закона регулирования).

Выбор типа регулятора производится по величине динамического коэффициента регулирования, определяемого по формуле

 

                                                     K_ДИН =  .                                   (2.123)

 

Имея численное значение K_ДИН и задаваясь типом оптимального переходного процесса, по графикам функциональной зависимости K_ДИН от / T  находят тип регулятора (П-, ПИ- или ПИД), обеспечивающего при заданном / T необходи-мое значение K_ДИН. В качестве примера на рис. 29 приведены графики функциональной зависимости K_ДИН от / T при апериодическом переходном про-цессе для различных типов регуляторов (1 – П-регулятор;   2 – ПИ-регулятор; 3 – ПИД-регулятор). Из графиков следует, что при увеличении у регулируемого объекта отношения / T для достижения одного и того же значения K_ДИН приходится применять регуляторы всё более сложных типов.

 

                                                                                                    

                        

Рис. 29.  Графики  выбора  типа  регулятора

 

Выбранный тип регулятора далее проверяется на соответствие фактического вре-мени регулирования заданному и фактического остаточного отклонения регулиру-емой величины заданному значению (последнее только для П-регуляторов). Такие проверки осуществляются по специальным графикам.   

Определение оптимальных параметров настройки регулятора. К промышленным САУ предъявляются следующие требования: система должна обладать заданным запасом устойчивости; динамическая ошибка, величина перерегулирования и ста-тическая ошибка е должны быть больше заданных; время регулирования должно быть минимальным. Выполнение двух последних требований возможно при мини-мизации одного из указанных из указанных ниже интегральных критериев  

 

I ₁ =  ; I ₂ =  .

Большинство методов определения оптимальных параметров настройки регуля-торов предусматривает решение задачи в два этапа:

1. Определение области, соответствующей заданному запасу устойчивости. В ка-честве критерия оптимальности на этом этапе обычно используют показатель коле-бательности

                                       M =  ,                                        (2.124)

 

где |W(j )| _max – максимум АЧХ замкнутой системы; |W(j )| ₀ – АЧХ замкнутой системы при    = 0.

Обычно считается, что система обладает необходимым запасом устойчивости, если М = 1,62 1,29;

2. Определение в выделенной области оптимальных параметров настроек. В ка-честве критерия оптимальности на этом этапе используются интегральные крите-рии   I ₁  и I ₂.   

Для объектов высокого порядка расчёт регуляторов сопровождается сложными вычислениями. Для объектов первого порядка с запаздыванием расчёт может быть проведён с помощью специальных таблиц (табл. 2.1) или по графикам.

 

Управления

 

Автоматическая система регулирования, в состав которой включены звенья, име-ющие нелинейную статическую характеристику, называется нелинейной. В данном случае речь идёт о существенно нелинейных звеньях, статические характеристики которых не могут быть линеаризованы известными методами без потери их су-щественных особенностей. В настоящее время из всего многообразия нелинейных характеристик выделен класс существенно нелинейных, которые могут быть отне-сены к типичным нелинейностям. Такие характеристики включают зоны нечувст-вительности, насыщения, гистерезиса и т.п. Существенно нелинейными могут быть характеристики различных звеньев системы регулирования: датчиков, исполни-тельных механизмов, регуляторов. Широкое применение в автоматизации произ-водственных процессов получили нелинейные системы регулирования с регулято-рами, имеющими релейную статическую характеристику. Это так называемые сис-темы позиционного регулирования.

Сигнал на выходе позиционного регулятора в зависимости от величины входного сигнала может принимать одно из двух возможных постоянных значений y_max  или y_min. Последнее в частном случае может равняться нулю. На рис.32 приведена релейная характеристика.

 

                          

 

Рис. 32. Статистическая характеристика

 позиционного регулятора.

 

При достижении входным сигналом величины порога срабатывания    вы-ходной сигнал изменяется скачкообразно от минимального   до максимального   значения. При дальнейшем увеличении входного сигнала выходная величина не изменяется, сохраняя своё максимальное значение  . Если теперь уменьшать входной сигнал, то при достижении им порога отпускания    выходной сигнал уменьшится скачком до минимальной величины . Разность = -   назы-вают зоной неоднозначности. Характеристику, подобную изображённой на рис.32, имеет позиционный пневматический регулятор системы «Старт» ПР 1.5. Последняя модификация этого регулятора ПР 1.6 позволяла изменять величину зоны неод-нозначности.

В качестве примера рассмотрим работу автоматической системы регулирования уровня жидкости в ёмкости с позиционным регулятором ПР 1.6, функциональная и структурная схемы которой показаны на рис.33.

 

 

Рис. 33. Автоматическая система регулиированияуровня

С позиционным регулятором:

а. – функциональная схема; б. – структурная схема.

 

Проиллюстрируем работу системы регулирования графиками. Когда уровень жидкости в ёмкости в результате стока упадёт ниже заданного значения и ве-личина ошибки регулирования   достигает зна-чения  , где – коэффициент усиления задающего устройства, сиг-нал на выходе регулятора примет в соответствии с его статической характеристи-кой своё максимальное значение . В результате этого клапан подачи жид-кости в ёмкость полностью откроется и расход жидкости на входе в ёмкость до-стигнет своего максимального значения . Так как максимальное значение расхода на притоке  выбирают большим, чем номинальное значение расхода на стоке , то уровень будет возрастать и к моменту времени   превысит заданное значение. При этом сигнал на входе регулятора достигнет порога отпускания    ₌ . В соответствии со статической характеристикой регулятора сигнал на его выходе примет своё минимальное значение _{= =} 0. Это приведёт к закрытию клапана подачи на притоке и к ум