Разность. Универсальное множество. Дополнение.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В основу учебного пособия положен курс лекций, апробированный на математическом факультете Волгоградского государственного педагогического университета.

"Вводный курс математики" является необходимой составной частью учебного плана подготовки будущих учителей математики.

Основная задача состоит в построении общей терминологической базы, необходимой для постановки всех смежных математических дисциплин в педвузе.

В этом курсе закладывается фундамент общей математической культуры: вводятся основные понятия и вырабаты­вается язык, который в дальнейшем используется во всех ма­тематических дисциплинах на протяжении всего периода обучения.

Пособие состоит из четырех глав. В первой главе рассматриваются операции над множествами, элементы исчисления высказываний и предикатов. Глава завершается понятием об аксиоматической теории.

Во второй главе изучаются соответствия, отображения, отношения, вводится понятие алгебраической системы и приво­дятся примеры основных классических алгебр (группоид, по­лугруппа, группа, кольцо и поле).

В третьей главе строится эскиз аксиоматической теории натуральных чисел на базе аксиом Пеано, определяются опе­рации сложения и умножения, вводится отношение порядка, изучаются свойства построенной системы. В ней также рас­сматривается связь между отрезками ряда натуральных чисел  и конечными множествами. Глава завершается обоснованием различных форм метода математической индукции (для нату­ральных чисел).

Четвертая глава естественным образом продолжает тре­тью. Здесь строится кольцо целых чисел, вводится понятие об упорядоченном кольце и изучаются свойства упорядоченности в кольце целых чисел, обобщаются различные формы метода математической индукции для целых чисел.

При написании данной книги автор хорошо осознавал, и в этом его убедила многолетняя практика, что этот курс нелегок для освоения студентами. Это объясняется в первую очередь наличием большого объема базовых понятий и, во-вторых, не­обходимостью его строгого изложения.

Поэтому автор стремился иллюстрировать понятия приме­рами, с этой же целью в книге приведено около ста упражнений для самостоятельного решения.

При построении аксиоматической теории натуральных чи­сел все доказательства проведены подробно, что в свою оче­редь может вызвать обратный эффект: некое утомление чита­теля. В этом случае читатель может опустить излишнюю на его взгляд детализацию.

Однако, по мнению автора, каждый математик и, в особен­ности, преподаватель математики должен хотя бы один раз в жизни детально познакомиться с доказательством основных утверждений о "первичных" объектах и отношениях, которые он постоянно использует в своей деятельности.

Пособие адресовано широкому кругу читателей и, в частности, студентам-заочникам. Его программа максимально приближена к школьному курсу математики. Разделы, которые непосредственно не изучаются в школе, могут составить основу факультативных курсов.
Глава I

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

§ 1. Понятие множества

"Множество есть многое, мыслимое как единое".

Г. Кантор

Теория множеств как математическая дисциплина была создана немецким математиком Г. Кантором (1845-1918) во второй половине XIX в. В основе этой теории лежит одно из основных понятий математики - понятие множества. Согласно идее Г. Кантора, любое множество, являясь с одной стороны совокупностью некоторых объектов, с другой стороны рассмат­ривается как единое целое

Множество А есть любое собрание определенных и разли­чимых между собой предметов, объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называ­ются элементами множества А

Примеры:

• множество точек плоскости;

• множество корней квадратного уравнения;

• множество N – натуральных чисел;

• множество Z – целых чисел;

• множество Q – рациональных чисел;

• множество R –действительных (вещественных) чисел;

• множество С – комплексных чисел;

• множество книг в библиотеке;

• множество городов России и т.д.

К концу XIX в. теория множеств стала играть роль проч­ного фундамента, на который опирались другие математиче­ские дисциплины, в особенности теория функций и арифметика действительных чисел. Результаты, которые были получены с использованием понятий теории множеств, поражали своей строгостью. В адрес теории множеств было высказано много эпитетов. Крупнейший немецкий математик Д.Гильберт гово­рил: "Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Г.Кантор". Французский математик А.Пуанкаре, поразивший своих современников эрудицией и результатами исключитель­но во всех областях математики, выступая в 1900 году на Вто­ром международном математическом конгрессе, сказал, что в математике "достигнута абсолютная строгость". Однако, по иронии судьбы, уже в то время было известно о наличии в теории множеств противоречий. Говорят, что теория содер­жит противоречие, если в ней одновременно доказуемы два утверждения, каждое из которых является отрицанием дру­гого. В дальнейшем противоречия были названы парадокса­ми, В начале XX в. количество парадоксов начало расти. Это обстоятельство побудило многих крупнейших математиков за­няться пересмотром основ теории множеств. Оказалось, что причины противоречия скрывались как в логике построения теории множеств, так и в несовершенстве используемого язы­ка. Понятие множества, приведенное в начале параграфа, не может считаться определением, поскольку оно использует тер­мины, толкование которых имеет большую свободу: "собрание определенных и различимых между собой объектов..." и т.д. Сами эти термины не имеют точного определения. Исследо­вания вокруг проблемы построения непротиворечивой теории множеств интенсивно велись в течение всего двадцатого столе­тия. В результате многие парадоксы были сняты за счет "реконструкции" теории множеств. Возникли различные подходы к построению теории множеств. Обнаружились тесные связи между проблемами "оснований теории множеств", философи­ей и математической логикой. Ревизии подверглись практиче­ски все математические дисциплины. Однако появились новые проблемы (парадоксы) другого уровня сложности. Дальнейшее освещение проблем, связанных с развитием теории множеств, выходит за рамки задач данной книги, поскольку оно требу­ет довольно серьезных математических сведений по данному направлению. Отметим лишь, что, несмотря на "грустный" оттенок некоторых результатов, работы по пересмотру основ теории множеств привели к бурному развитию всей матема­тики двадцатого столетия. Теория множеств является ярким примером, того, что ив математике, как и в любой другой нау­ке, противоречия служат источником развития. Благодаря потрясениям, которые неоднократно испытывала теория мно­жеств, она в настоящее время является фундаментом построе­ния многих математических дисциплин. Оказалось также, что эта теория в том виде, какой она имела в конце XIX и начале XX в., после небольшой корректировки может быть использо­вана в качестве базы построения той части математики, кото­рая преподается в высших учебных заведениях нашей страны и за рубежом. Эту часть теории множеств называют "наивной теорией множеств". Ниже мы изложим основные понятия этой теории. Следуя Кантору, описание понятия множества будем вводить постепенно, с помощью соглашений (или требований), которым должно удовлетворять это понятие.

Говоря о множестве, мы считаем, что относительно всякого объекта верно одно и только одно из двух высказываний: либо объект входит в данное множество в качестве его элемен­та, либо не входит.

Запись х Î А означает: х является элементом множест­ва А, если же х не входит в А, то записывают так: х Ï А. Например, 1 Î N, –2 Ï К, .

Требование Кантора, что множество определяется своими элементами, может быть сформулировано следующим образом.

Интуитивный принцип объемности. Два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Равенство двух множеств записывают в виде А = В, а неравенство множеств А и В - через А ф В.

Принцип объемности означает, что для доказательства ра­венства множеств А и В следует выполнить два шага:

1) доказать, что если х Î А, то х Î В;

2) доказать, что если х Î В, то х Î А.

Само множество по определению не является своим эле­ментом, А Ï А.

Если множество А состоит из элементов, принадлежащих некоторому другому множеству F, то оно называется подмно­жеством или частью этого множества. Обозначается: А Í F. Символ Í обозначает отношение включения. Например: N Í Z Í Q Í R Í C.

Отношение включения множеств обладает свойствами:

1. А Í А (свойство рефлексивности), т.е. само множество является своей частью.

2. Если А Í В и В Í С, то А Í С (свойство транзитив­ности отношения включения).

Если множество состоит только из одного элемента а, то оно называется одноэлементным и обозначается через { а }. Например, множество корней уравнения 2 х - 4 = 0 состоит из одного элемента - числа 2.

§ 2. Способы задания множеств

1.      Множество может быть записано перечислением всех его элементов:

А= { }.

Например, В = {0,1, 2, 3,4}, ВÍ Z.

2.      Обобщение первого способа состоит в том, что каждый элемент задаваемого множества определяется по некоторому элементу уже известного множества.

Например, считая известным множество целых чисел

Z = {..., -3,-2,-1, 0,1. 2,3,...},

определим множество степеней числа 2:

D = {…, }.

3. Задание множества с помощью характеристического свойства Р, выделяющего элементы множества Е, среди элементов более широкого, или основного множества А.

Этот способ исходит от Кантора в следующем виде: "Каж­дое свойство определяет некоторое множество".

Четкая формулировка его использует понятие "формы от x " или "формулы от x ".

Для первоначального ознакомления под формой от x будем понимать некоторое повествовательное предложение Р(х), со­держащее переменное x, которое становится истинным или ложным высказыванием при подстановке вместо x конкретно­го значения а. Таким образом, форма от x - это некоторое утверждение об x.

Интуитивный принцип абстракции. Любая форма Р(х) определяет некоторое множество А, элементами ко­торого являются в точности такие предметы а, для кото­рых Р(а) - истинное высказывание.

Это множество обозначается через { x | Р(х) }и читается: множество всех х, которые обладают свойством Р.

Примеры:

• означает множество положитель­ных действительных чисел;
• - множество всех корней уравнения .

4. В дальнейшем мы увидим, что новые множества могут быть заданы при помощи некоторых операций над исходными множествами.

Из принципа абстракции следует существование множест­ва { x | х ¹ х }. Это множество, очевидно, не имеет элементов. Из принципа объемности вытекает, что такое множество одно. Оно называется пустым и обозначается символом Æ.

Пустое множество Æ является подмножеством любого множества.

Действительно, если предположить, что включение Æ Í А ложно, то тогда найдется элемент, принадлежащий множест­ву Æ и не принадлежащий множеству А. Но это невозможно, поскольку Æ не имеет элементов.

Множеством подмножеств некоторого фиксированного множества А называется множество, элементами которого являются подмножества множества А. Это множество Р(А) содержит в качестве элементов пустое множество Æ и са­мо множество А. Например, если А = { а, b, с }, то Р(А) = {Æ, { а }, { b }, { c },{ a, b },{ а, с }, { b, c }, { а, b, с }}.

§ 3. Операции над множествами

Объединение. Пересечение. Объединением множеств А и В называется множество А и В, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одно­му из данных множеств, т.е. А В = { а| а Î А или а ÎВ }.

В частности, если множества А и В заданы с помощью ха­рактеристических свойств, например, А = { а| Р(а) }, В = { b| Q(b) }, то объединение состоит из всех тех эле­ментов, которые обладают хотя бы одним из свойств Р или Q.

Объединение семейства { } множеств , зану­мерованных некоторым множеством I индексов, обозначается через

Пересечением множеств А и В называется множество А∩В, состоящее из всех общих элементов данных множеств, т.е. А  В= { а|а Î А и   а Î В }.

Если таких элементов не существует, то А В = Æ. Та­ким образом, если А = { а | Р(а) } ,В = { b | Q,(b) }, то пере­сечение А В состоит из тех и только тех элементов, которые обладают одновременно как свойством Р, так и свойством Q.

Пересечение семейства множеств { } обозначается через

.

Заметим, что рисунки, приведенные выше для иллюстра­ции операций над множествами, принято называть диаграм­мами Эйлера - Венна.

Примеры:

1. Пусть А = {2,5,7}, В = {1,5,8}. Тогда А В = {1,2,5,7,8}, А В = {5}.

2. Если А = { х | х Î R, x ³ 0 }, В = { х | х Î R, –2 £ х £ 2}, то А В = { х | х Î R, –2 £ x }, и А В= { x | х Î R, 0 £ х £2}.

3. Пусть А–множество всех целых, делящихся на 3, а В – множество всех четных целых чисел. Тогда А В–множество всех целых чисел, каждое из которых делится на 6.

Формулы логики высказываний

Аналогично тому, как в алгебре с помощью арифметических операций строят сколь угодно сложные выражения из символов, обозначающих переменные величины, так и в логи­ке определенные выше логические операции применяются для построения из данных высказываний новых, более сложных. Ниже мы дадим определение формулы логики высказываний. Буквы А, В, С… либо , ,   (I Î N) будут использованы для обозначения исходных или элементарных высказываний. Эти символы называются высказывательными переменными. Понятие формулы логики высказываний определяется сле­дующими соглашениями:

1. Всякая высказывательная переменная есть формула.

2. Символы И и Л – формулы.

3. Если  – формула, то () – формула.

4. Если  и – формулы, то (), (), (), () – формулы.

5. Никаких других формул, кроме полученных в соответ­ствии с правилами 1 – 4, не существует.

Замечание. Это определение перечисляет правила постро­ения новых формул из любого множества исходных формул. Определения такого типа называются индуктивными.

Также, как в арифметике, скобки (,) служат для указания последовательности действий при построении формулы.

Для упрощения записи формул примем следующие согла­шения об опускании скобок:

1) Будем говорить, что каждый из знаков в ряду Ø, Ù, Ú, ®, «"сильнее" любого из знаков, следующих за ним в указанном порядке, т.е. отрицание Ø "сильнее" конъюнкции Ù, которая, в свою очередь, "сильнее" дизъюнкции Ú и т.д.

2) Будем считать возможным опускать внешние скобки, на­пример, вместо записи () писать .

3) Остальные скобки опускаются таким образом, чтобы при их восстановлении из двух операций более "сильная" выпол­нялась раньше. В этом случае формула может быть названа  по "последней" операции. Например, вместо записи получим импликацию .

§ 6. Булевы функции

Как уже отмечалось, строение формулы позволяет опре­делить ее значение истинности в зависимости от набора значений истинности элементарных формул, из которых они построены (образованы). Это означает, что каждая формула определяет некоторую функцию, которая сама и ее аргументы принимают одно из значений И или Л.

Такие функции называются булевыми или функциями ал­гебры логики.

Например, формулу можно рассматривать как выражение для функции от переменных А, В, значения которой определяются следующими равенствами: , , и .

 Формула логики высказываний называется тождественно истинной или тавтологией, если она прини­мает значение И при любом наборе значений истинности эле­ментарных формул , из которых она построена.

Например, тавтологиями являются следующие формулы , , .

Формула называется тождественно лож­ной, если она принимает значение Л при любом наборе зна­чений истинности, составляющих ее элементарных формул .

Например, формула тождественно ложна.

Равносильные формулы. Две формулы   и называются равносильными, если они опре­деляют одну и ту же булеву функцию. Запись означа­ет равносильность формул.

Таким образом, две формулы равносильны в том и толь­ко в том случае, если они принимают одинаковые значения истинности при любом наборе значений истинности состав­ляющих их элементарных формул.

Поэтому в равносильности двух формул можно убедиться сопоставлением их таблиц истинности.

Например, из таблицы истинности очевидным образом усматривается равносильность формул  и

 

А	B	ØA	ØB	АÙØВ	АÙØВ®B	А®В
Л	Л	И	И	Л	И	И
Л	И	И	Л	Л	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л
И	И	Л	Л	Л	И	И

Из определения непосредственно вытекает утверждение: "Две формулы  и    равносильны тогда и только тогда, ког­да их эквиваленция является тавтологией. Другими словами, тогда и только тогда, когда ".

Равносильности формул играют важную роль в логических рассуждениях. Поэтому их часто называют законами логи­ки. Приведем основные из них:

I. А ÚØА≡ И (закон исключенного третьего).

II. А ÙØA≡ Л (закон противоречия).

III. ØØAºA(закон двойного отрицания).

IV. А º А(закон тождества).

V. А ÚВ = В Ú А, А Ù В = В Ù А (законы коммутативности).

VI. А Ú А = А, А Ù А = А(законы идемпотентности).

VII. А Ú(В ÚС) º (А Ú В) ÚС, А Ù (В Ù С) º (А Ù В) Ù С
(законы ассоциативности).

VIII. А Ù (В Ú С) º (А Ù В) Ú (А Ù С)(закон дистрибутивности
конъюнкции относительно дизъюнкции).

IX. АÚ(ВÙС) º (АÚВ)Ù(АÚС)(закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции).

X. А Ù (А ® В) ® В º И (закон отделения).

XI. (А ® В) Ù (В ® С) ® (А ® С) ≡ И (закон силлогизма).

XII. А ® В ≡ ØА Ú В (закон исключения импликации).

XIII. А Ú В ≡ ØА ®В(закон исключения дизъюнкции).

XIV. Ø(АÚВ) ≡ ØАÙØВ, Ø(АÙВ) ≡ ØАÚØВ(законы де Мор­гана).

XV. А ® В ≡ ØВ ®ØА(закон контрапозиции).

Убедиться в справедливости каждой из перечисленных вы­ше равносильностей можно, например, с помощью сопоставления таблиц истинности для формул, стоящих в левой и правой частях каждой из них.

Этого можно добиться, не прибегая к таблицам истин­ности. В качестве примера докажем равносильность формул Ø(A Ú В) и ØАÙØВ.

Допустим, что формула Ø(A Ú В)  принимает значение И, тогда формула А Ú В принимает значение Л. Это означает, что каждая из формул А и В принимает значение Л, откуда следует, что формулы ØА и ØВ одновременно принимают значение И, т.е. ØА Ù ØВпринимает значение И.

Пусть Ø(АÚВ)принимает значение Л. Тогда АÚВимеет значение И. Это означает, что хотя бы одна из формул А или В принимает значение И, откуда в свою очередь следует, что хотя бы одна из формул ØА, ØВимеет значение Л и, следовательно, ØА Ù ØВпринимает значение Л.

Таким образом, Ø(A Ú В) ≡ ØАÙØВ.

Логическое следствие. Пусть и  - две формулы логики высказываний, построен­ные из элементарных формул .

Будем говорить, что формула  является логическим следствием формулы , что запи­сывается так:

├

 

если формула Ψ принимает значение И при всех наборах значений истинности элементарных формул , при которых формула Ф истинна. Формула Ф при этом называ­ется посылкой, а Ψ -   заключением.

Из определения непосредственно вытекает: тогда и только тогда, когда

- тавтология                        (1)

Например,A├ A Ú В, А Ù В├A для любых формул А и В.

Определение логического следствия можно распространить на любое количество посылок следующим образом:

“Формула    называется логическим следствием формул , если   принимает значение И во всех случаях, когда формулы  истинны. Запись ├ будет обозначать, что формула  является логическим следствием формул ”

Непосредственным образом проверяется справедливость следующего утверждения ├   тогда и только тогда, когда

                                                            ├ .                           (2)

 

ГЛАВА II

Соответствие

Пусть A, В-множества. Соответствием из A в В на­зывается произвольное подмножество Fдекартова произведе­ния .

При этом множество Aназывается областью отправле­ния соответствия F, а B-его областью прибытия. Таким образом, всякое соответствие определяется тройкой множеств < F, A, B>, где .

Два соответствия < F, A, B> и  называют­ся равными тогда и только тогда, когда , и  . Запись  означает, что Fявляется соот­ветствием из A в В (т.е. ).

Если (а, b) , то bназывают образом элемента aпри соответствии F. Вместо записи (а,b)   часто используется aFbили .

Таким образом, множество F можно рассматривать как некоторое множество стрелок, начало которых принадле­жит области отправления соответствия, а конец - области прибытия.

Если множества А и В зафиксированы, то для задания соответствия из A в В достаточно определить множество F.

Для этого следует указать правило, позволяющее для каждого элемента а А выписать множество всех его образов при данном соответствии.

Примеры:

1. Пусть А = {1,2,3},В = {a, b}, F ={(1,a),(2,a),(2,b)}

2. Пусть А, Втакие же, как и в предыдущем пункте. Тогда то же множество F может быть указано как множество стрелок (рис. 3).

3. Пусть А = В = N - множество положительных целых чисел. Множество Fесть область истинности предиката " х - делитель у ", т.е. F= {(x, у) \ x - делитель у}.

§2. Отображение (функция)

В общей ситуации не каждый элемент из области отправления соответствия обязан иметь образ или, напротив, он может иметь более одного образа.

Если каждый элемент области отправления соответствия имеет единственный образ, то такое соответствие называется отображением, или функцией.

Для отображений принята специальная терминология: область отправления именуется областью определения; а область прибытия - областью значений.

Подчеркнем, что отображение f: X ® Y определено лишь в том случае, когда каждый элемент х Î X имеет во множе­стве Y единственный образ у ÎY.

Это обстоятельство записывается в виде равенства y = f(x), которое обозначает, что "элемент у есть образ эле­мента х при отображении f " или "элемент х есть прооб­раз элемента у при отображении f ".

Отметим, что в общем случае для соответствия F исполь­зование равенства у = F (х) может привести к противоречию.

Например, если при соответствии F: X ® Y элемент x Î X имеет два различных образа , то запись   и приводит к абсурду .

Если множество G Í X, то через f(G) обозначается мно­жество образов всех элементов множества G:

Множество f(G)называется образом множества G при отображении f.

Пример. Пусть отображение f:R®R определяется как    и G={ x | -1< x <2}. Тогда f(G) = { y = f(x) | 0 < y < 4}

§ 3. Сужение отображения. График. Последовательность

Пусть имеем отображение f: X ® Y, и пусть G Í X.

Тогда отображение f всякому элементу из G ставит в соответствие некоторый элемент из Y, стало быть, оно опре­деляет отображение .

Отображение  в этом случае называют сужением ото­бражения f на множество G (рис. 4).

П р и м е р 1. Отображение , определенное для xÎ Z, есть сужение на Z отображения  множества R на R.

Множество пар { x, f(x) }, являющееся подмножеством про­изведения Х ´ Y, называется графиком функции f(x) (рис. 5).

П р и м е р 2. Множество пар являющееся под­множеством произведения , составляет график; показательной функции  (рис. 6).

Возьмем N - множество натуральных чисел, в качестве Y -произвольное множество.

Отображение f: N ®Y называется последовательностью элементов из Y.

Таким образом, последовательность f связывает каждое натуральное число п с некоторым элементом  из Y.

Последовательность f будем обозначать  или сокращенно  Здесь символы  являются образами чисел из N. Например, запись означает последовательность рациональных чисел вида .

§ 4. Типы отображений

Пусть f: X ® Y - отображение. Тогда каждому элементу х Î X соответствует единственный элемент у Î Y, с дру­гой стороны, элемент у Î Y   может быть образом нескольких элементов из X.

Например, значение -6 служит для функции образом значений -3, 1, 2. Множество элементов х Î X, име­ющих в качестве образа при отображении f один и тот же элемент у Î Y, называется множеством прообразов элемен­та у и обозначается :

Пусть В Í Y, Тогда через  обозначается множест­во всех прообразов элементов, принадлежащих множеству В,

1. Отображение f: X ® Y называется сюръективным, или сюръекцией, или отображением, на множество Y, если каждый элемент у Î Y из области его значений имеет хотя бы один прообраз, т.е. множество  не пусто для всякого элемента у Î Y.

Очевидно, что отображение f: X ® Y является сюръек­цией тогда и только тогда, когда f(X) = Y. Заметим, что в этом утверждении равенство f(X) = Y можно заменить рав­носильным ему равенством: .

Примеры:

а)    Пусть X = У = R. Отображение f, определяемое формулой , задает сюръективное отображение множества X на множество Y.

б)    Пусть X = У = R. Отображение f, определяемое фор­мулой , есть отображение R на R, поскольку любое действительное число является кубом некоторого действи­тельного числа. Напротив, если X = У = Z, то отображение множества Z в Z уже не будет сюръекцией, поскольку целое число может не быть кубом целого числа. На­пример, Æ.

в) Пусть снова X = У = R. Отображение f, определяемое формулой , есть отображение в Y. Это отображе­ние не сюръективно, т.к. отрицательные числа из Y не имеют прообразов при отображении f.

2. Говорят, что отображение f: X ® Y является взаим­нооднозначным или инъективным, если образы любых двух различных элементов различны, т.е. из неравенст­ва  вытекает .

3. Отображение f: X ® Y называют биективным или биекцией, если оно одновременно инъективно и сюръектив­но, т.е. если каждый элемент Y является образом некоторого единственного элемента из X.

Примеры:

Отображение, заданное на рисунках:

7 а) - сюръективно, но не инъективно;

7 б) - инъективно, но не является сюръекцией;

7 в) - биекция;

7 г) - не обладает ни одним из указанных свойств.

Отображение f: X ® Y, определенное равенством f(x) = х, называется тождественным, и обозначается: . Если X Í Y, то отображение f: X ® Y, определенное равенством f(x) = х, называют канонической инъекцией.

§ 5. Композиция отображений, обратимые отображения

Пусть X, Y, Z - множества f: X ® Y и g: Y ® Z - ото­бражения. Отображение h: X ® Z, определяемое формулой h(x) = g(f(x)) называется композицией, или суперпозицией, или произведением отображений f и g и обозначается через .

В том случае, когда f и g именуются функциями, называется сложной функцией.

Теорема 1. Композиция отображений обладает следую­щими свойствами:

1) если f: X ® Y, g: Y ® Z и h: Z ® W - отображе­ния, то  (ассоциатив