Основные теоретические положения

 

Последовательный колебательный контур(рис. 4.1, а) удобно рассматривать как четырехполюсник. На резонансной частоте  он обладает низким входным сопротивлением и для обеспечения колебательного режима должен подключаться к источнику сигнала с достаточно малым выходным сопротивлением  таким, чтобы выполнялось условие , где — волновое, или характеристическое, сопротивление контура.

а                                                                 б
Рис. 4.1

 

Пренебрегая сопротивлением нагрузки (полагая его достаточно боль­шим, >> r), запишем дифференциальное уравнение для выходного напряжения четырехполюсника :

                             ,                         (4.1)

где в качестве входного воздействия взята взвешенная функция включения  (функция Хевисайда). Однородному дифференциальному уравнению

                     (4.2)

соответствует характеристическое уравнение

                                        

с корнями ; здесь a = r/(2L),  («собственная» резонансная частота контура). Решение неоднородного дифференциального уравнения (4.1) ищут в виде суммы решения однородного уравнения (4.2) и так называемого частного решения уравнения (4.1), которое при выбранном входном воздействии оказывается просто константой U:

                                 .

Используя очевидные начальные условия , i(0) = 0, находят константы  и  и записывают решение:

                       ,

которое при нормировке к U = 1 В становится безразмерной переходной характеристикой четырехполюсника g(t). Так как импульсная характеристика h(t) = dg/dt, получают

     , t ³ 0. (4.3)

График h(t) приведен на рис. 4.1, б. В выражении (4.3) приближение сделано в предположении малых потерь α и ω_р=ω₀, а также введена постоянная времени  последовательного колебательного контура. Здесь — нагруженная добротность контура, определяемая соотношением

                       .                   (4.4)

Комплексный коэффициент передачи последовательного колебательного контура в так называемом приближении малых расстроек рассчитывается просто:

  =

    

         = .      (4.5)

Здесь принято , — в приближении малых расстроек.

Комплексный коэффициент передачи может быть также получен в результате применения к импульсной характеристике h (t) прямого преобразования Фурье:

                                     .                                  (4.6)

Нижним пределом интеграла в выражении (4.6) берут 0, так как импульсная характеристика физически реализуемого четырехполюсника существует только при t ³ 0. С использованием введенной постоянной времени  результат (4.5) записывается в виде

                   .

АЧХ и ФЧХ цепи определяются выражениями

              , .          (4.7)

Входное сопротивление последовательного колебательного контура на резонансной частоте мало и равно эквивалентному сопротивлению потерь, = r. Поэтому последовательные контуры часто используют как режекторные фильтры для подавления сигнала на резонансной частоте.

 

Параллельный колебательный контур представляет собой параллельное соединение L и C элементов (рис. 4.2, а). Используют высокодобротные катушки индуктивности и конденсаторы с малыми потерями, причем потерями в конденсаторе в большинстве случаев пренебрегают и собственные потери контура представляют сопротивлением , отнесенным к индуктивности. Для удобства анализа схемы последовательное соединение  и L пересчитывают в параллельное соединение эквивалентного сопротивления  и L, пренебрегая квадратом сопротивления потерь  по сравнению с квадратом индуктивного сопротивления, ( L)² >> . На резонансной частоте параллельный контур имеет достаточно высокое эквивалентное сопротивление , где r, как и для последовательного контура, — волновое, или характеристическое, сопротивление, равное сопротивлению одной ветви контура на резонансной частоте, ; — собственная (ненагруженная) добротность колебательной системы. Для сохранения в контуре колебательного режима добротность должна быть достаточно велика, следовательно, подключаемые к нему сопротивления источника сигнала (генератора)  и нагрузки  должны быть большими (, ³ ).

     

а                                                          б
Рис. 4.2

 

Для исследования временных характеристик параллельного контура источник напряжения u(t) (рис. 4.2, а) заменяют источником тока , а параллельно подключенные к контуру сопротивления  и  пересчитывают с учетом  в эквивалентное сопротивление  (рис. 4.2, б) в соответствии с равенством , где , — нагруженная добротность параллельного контура. Иногда используют понятие внешней добротности , которая связывает собственную и нагруженную добротности .

Импульсной реакцией, или импульсной характеристикой, параллельного колебательного контура принято называть напряжение  при воздействии на контур дельта-импульса тока  (при экспериментальном определении импульсной характеристики используют достаточно короткий импульс). Импульсная реакция параллельного контура имеет колебательный характер и может быть записана как

                .            (4.8)

Здесь . Приближение (4.8) с учетом того, что α - мало и ω_р≈ω₀ (напомним, что , где — «собственная» резонансная частота контура), принимают для высокодобротного контура. Вводят также понятие постоянной времени  нагруженного параллельного контура и записывают выражение (4.8) в форме

                               , .                           (4.9)

Из выражений (4.3) и (4.9) следует, что  является интервалом времени между точками, соответствующими спаду огибающей импульсной характеристики в e = 2,72… (основание натуральных логарифмов) раз.

а                                                        б
Рис. 4.3

 

Из выражения (4.6) следует, что при безразмерном  размерностью h (t) является 1/с. При определении импульсной характеристики параллельного колебательного контура было принято воздействие в виде дельта-импульса тока, а в качестве реакции — напряжение на контуре, поэтому размерностью  здесь будет Ом — размерность отношения , — а размерностью h (t) будет Ом/с = 1/Ф, что поясняет присутствие в выражениях (4.8) и (4.9) множителя 1/ С. Комплексный коэффициент передачи параллельного колебательного контура записывается как

             ,        (4.10)

где — абсолютная расстройка, как и для последовательного колебательного контура. Можно показать, что если — полоса заграждения контура на уровне 0,707 от максимума АЧХ, то — добротность контура, практически совпадающая с нагруженной добротностью контура, определенной через временные характеристики. Из выражения (4.10) определяют АЧХ и ФЧХ цепи (рис. 4.3, б):

                ,  .          (4.11)

Рис. 4.4

Снизить влияние сопротивлений  и  на колебательный контур можно, используя  так называемое частичное включение контура: генератор и нагрузка подключаются к отводу катушки индуктивности и к части емкостной ветви (рис. 4.4) контура. Используют коэффициенты включения:

          , .

При подключении источника напряжения u(t) к части индуктивной ветви контура он может быть заменен генератором тока , под­клю­чен­ным к контуру вида рис. 4.2, б. В этом случае комплексная частотная характеристика приобретает вид

                                      ,

где — эквивалентная нагруженная добротность, — эквивалентное сопротивление контура с учетом собственных и внешних потерь, — собственные потери контура (от коэффициентов включения не зависят), , — пересчитанные с учетом частичного включения сопротивления генератора и нагрузки. Подбором коэффициентов включения удается обеспечить требуемую полосу пропускания контура и расчетное эквивалентное сопротивление. Это особенно важно при использовании параллельного контура в качестве нагрузки в резонансных усилителях и генераторах.

 

   3. Описание лабораторной установки

 

Макет установки (рис. 4.5) включает в себя исследуемые частотно-избирательные цепи с согласующими каскадами и коммутирующие элементы.

 

Рис. 4.5

 

На вход макета подают прямоугольные видеоимпульсы — для исследования временных функций и гармонические сигналы — для исследования АЧХ. Поскольку выходное сопротивление используемых генераторов довольно большое (десятки или сотни Ом), они подключаются к исследуемым цепям через согласующий каскад с низким выходным сопротивлением. На параллельный контур сигнал подается через большое сопротивление , что реализует эквивалентный источник тока.

Выходной каскад имеет высокое входное и низкое выходное сопротивления при коэффициенте передачи, равном единице. Этот каскад исключает влияние измерительных приборов на исследуемые цепи.

В макете предусмотрены переключатель вида контура (последовательный — параллельный) и два активных сопротивления нагрузки. Одно () предназначено для включения в последовательный контур. Второе (переменный резистор ) может подключаться как к полному контуру, так и к его части с коэффициентом включения p_L = 0,7 (отвод от индуктивности) или с коэффициентом включения p_C = 0,5 (частичное включение в емкостную ветвь). Выходное напряжение снимается с емкостной ветви контура.

4. Методика выполнения работы

 

Включить питание макета и используемых приборов. Установить конденсатор переменной емкости в среднее положение, нагрузочный резистор отключить от контура.

Для исследования импульсных характеристик к входу макета подключить выход генератора импульсов, к выходу — вход «Y» осциллографа. Для измерения частотных характеристик использовать высокочастотный генератор синусоидальных сигналов и вольтметр переменного тока.

Исследование импульсных характеристик колебательных контуров

1. Установить генератор прямоугольных импульсов в положение внутреннего запуска, нажав клавишу «Запуск». Длительность импульса возбуждения цепи t = 0,1…0,3 мкс, частота повторения импульсов 3×10⁵ Гц, амплитуда импульсовоколо 10 В (выход генератора 1:1, множитель — 0,3).

2. Подать синхроимпульс положительной полярности от выхода синхронизации генератора импульсов на вход внешней синхронизации осциллографа. Установить на экране осциллографа, работающего в ждущем режиме, неподвижное изображение реакции цепи на входной импульс. Для этого отрегулировать уровень синхронизации.

3. Измерения начать с исследования импульсной реакции последовательного контура без добавочного резистора r (он должен быть замкнут переключателем). Резистор нагрузки R _н при этом должен быть отключен. Подобрать коэффициент отклонения K ₀, В/дел в канале «Y» и коэффициент развертки K _р, мкс/дел в канале «X» так, чтобы осциллограмма импульсной реакции занимала бы большую часть экрана.

4. Измерить параметры импульсной реакции (постоянную времени контура t_к и длительность квазипериода колебаний T). Постоянную времени t_к определить в виде интервала времени, в течение которого огибающая импульсной реакции уменьшится в е = 2,72… раз. Для этого:

а) найти сечение огибающей  по уровню 1/ е от максимума и подсчитать количество делений экрана, укладывающееся между максимумом и найденным сечением, умножив его на коэффициент развертки K _р, получить значение ;

б) оценить длительность квазипериода колебаний: выбрать на экране достаточно большой временной интервал и подсчитать количество квазипериодов, укладывающихся в него. Разделив интервал на полученное число, найти квазипериод Т и значение резонансной частоты f _р = 1/ Т.

5. Включить добавочный резистор r. При этом добротность контура снизится, и постоянная времени импульсной реакции уменьшится. Измерить  для этого случая. Частоту (или квазипериод) измерять не надо — в пределах погрешности измерений она изменяться не будет.

6. Переключить макет в режим параллельного контура и измерить постоянную времени аналогичным образом. Затем исследовать влияние сопротивления нагрузки R на постоянную времени контура. Для этого установить переменный резистор в среднее положение, подключить нагрузку к полному контуру и измерить t_к. Повторить измерения для частичного включения нагрузки в индуктивную и емкостную ветви контура.

7. Результаты измерений (6 значений постоянной времени) свести в таблицу.

Исследование частотных характеристик колебательных контуров

1. Подключить к входу макета высокочастотный генератор, выбрать диапазон частот в районе 200….600 кГц. Установить режим непрерывной генерации (отсутствие модуляции).

2. К выходу макета подключить вольтметр, установить шкалу вольтметра 1 В.

3. Измерить резонансную частоту и полосу пропускания контура по уровню 0,707 от максимума. Для этого:

а) определить максимум АЧХ и зафиксировать по шкале генератора значение резонансной частоты f _p;

б) подобрать амплитуду генератора так, чтобы выходное напряжение составило бы на резонансной частоте 1 В;

в) плавно перестраивая генератор в обе стороны от резонансной частоты, найти точки f _0,707, где выходное напряжение равняется 0,707 В, и зафиксировать эти частоты. Модуль их разности и есть полоса пропускания контура.

4. Измерить резонансные частоты и полосы пропускания последовательного и параллельного контуров для случаев, указанных в п. 3. Результаты свести в таблицу.

Расчет добротности колебательных контуров

1. Используя данные измерений постоянных времени и резонансных частот контуров, по формуле  рассчитать собственную и нагруженную добротности параллельного и последовательного контуров. Используя результаты измерений полос пропускания и резонансных частот контуров, по формуле  рассчитать эквивалентные добротности контуров. Сопоставить результаты расчетов.

2. По полученным данным рассчитать сопротивления нагрузки, подключенные к контуру. Для последовательного контура определить дополнительное сопротивление r _н, полагая, что в первом варианте (с закороченным r _н) найдена собственная добротность Q ₀, а во втором — нагруженная добротность контура Q _н.

3. Используя вытекающее из (4.4) соотношение

                    

и указанное на макете значение индуктивности, рассчитать значение добавочного сопротивления r _н.

4. Провести аналогичные расчеты сопротивления нагрузки для параллельного контура. Расчетные формулы для этого вывести, используя результаты первого измерения как данные о собственной, а второго — нагруженной добротности.

5. Содержание отчета

 

Отчет по лабораторной работе должен содержать схемы исследуемых цепей, таблицы с данными измерений постоянных времени, резонансных частот и полос пропускания контуров, а также результаты расчетов и графики импульсной и амплитудно-частотной характеристик для одного из контуров.

 

Литература: [1], с. 218-222; [2], с. 190-193

Лабораторная работа 5