Тема: Моделирование случайных событий и случайных величин

Тема: Моделирование случайных событий и случайных величин

План лекции:

1. Моделирование независимых случайных событий.

2. Моделирование группы несовместных событий.

3. Моделирование условного события.

4. Моделирование дискретной случайной величины.

5. Моделирование дискретной случайной величины с геометрическим распределением.

6. Моделирование дискретной случайной величины с биномиальным распределением.

7. Моделирование дискретной случайной величины с распределением Пуассона.

8. Метод обратной функции.

9. Моделирование непрерывной случайной величины с равномерным распределением.

10. Моделирование непрерывной случайной величины с экспоненциальным законом распределения.

11. Моделирование пуассоновского потока.

12. Моделирование непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения.

13. Моделирование непрерывной случайной величины с логарифмически-нормальным законом распределения.

14. Моделирование распределения и потоков Эрланга.

15. Моделирование непрерывной случайной величины с гамма - распределением.

16. Моделирование непрерывной случайной величины с бета - распределением.

17. Моделирование непрерывной случайной величины с распределением Вейбулла.

18. Моделирование непрерывной случайной величины с гипер - и гипоэкспоненциальным распределением.

19. Моделирование случайных процессов.

20. Моделирование случайных векторов.

Моделирование независимых случайных событий

Допустим, что вероятность наступления некоторого элементарного случайного события  в одном испытании равна . Считается, что условия проведения каждого испытания одинаковые и его можно повторить бесконечное количество раз. Если  – это значения равномерно распределенной величины на , то можно утверждать, что при условии  (рис.1) наступит событие , а если , то произойдет событие .

Рис.1. Моделирование наступления случайных событий

Действительно, если  – функция плотности равномерно распределенной непрерывной случайной величины , то .

Эта модель хорошо описывает такие события, как обслуживание требования в устройстве СМО, которое может быть свободным или занятым, успешную или нет попытку выполнения некоторого задания, попадание или нет в цель, разветвление потоков информации в двух и более направлениях. В некоторых языках для моделирования случайного события используется специальный блок (например, в языке  – блок  который работает в статистическом режиме).

Моделирование дискретной случайной величины

С распределением Пуассона

Случайную величину с распределением Пуассона можно получить, если допустить, что число независимых испытаний  в биномиальном распределении стремится к бесконечности, а вероятность успешного испытания  — к нулю, причем произведение   остается неизменным и равным :  Функция плотности распределения Пуассона задаётся выражением

.

Распределение Пуассона является граничным случаем биномиального распределения и описывает случайные события, которые имеют место очень редко. На практике по биномиальному закону распределяются: количество дефектов в готовом изделии, количество аварий на транспорте за некоторый продолжительный промежуток времени, количество звонков в телефонной сети в единицу времени и др.

Чтобы получить случайную величину  с распределением Пуассона, генерируем последовательность равномерно распределенных случайнных чисел  и находим их произведение, проверяя неравенство

                   (2)

В случае выполнения условия (2) число  является случайной величиной, которая принадлежит совокупности, распределенной по закону Пуассона с математическим ожиданием . Если условию (2) соответствует первое из чисел , то значение случайной величины  равно 0.

Метод обратной функции

Рассмотрис метод моделирования случайной величины, которая имеет функцию плотности распределения  и монотонно возрастающую функцию распределения . Суть метода заключается в следующем. С помощью генератора случайных чисел генерируем значение случайной величины , которому соответствует точка на оси ординат. Значение случайной величины  с функцией распределения  можем получить из уравнения .

Действительно, если на оси ординат отметить значение  случайной величины, распределенной равномерно в промежутке , и на оси абсцисс найти значение  случайной величины (рис. 1), при котором , то случайная величина  будет иметь функцию распределения . По определению функция распределения  случайной величини  равна вероятности

Рис. 1. Применение метода обратной функции

для генерирования непрерывной случайной величины

Таким образом, последовательность случайных чисел  превращается в последовательность , которая имеет заданную функцию плотности распределения . Откуда следует общий алгоритм моделирования непрерывных случайных величин, имеющих заданную функцию распределения вероятностей:

- генерируются случайные числа ;

- вычисляется случайное число , которое является решением уравнения:

С гамма - распределением

Случайная величина  имеет гамма-распределение с параметрами α (параметр формы распределения) и β (масштабный коэффициент), если его плотность описывается выражением:

 

,                        .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X с гамма - распределением определяются по формулам: ;               

Свойство гамма -распределения: Сумма любого количества независимых гамма-распределенных случайных величин m с одинаковым значением параметра β также подчиняется гамма-распределению, но с параметрами (α₁ + а₂ +... + а_т) и β.

Методы моделирования случайной величины с гамма - распределением

α	β	Распределения
1	1	экспоненциальное распределение
целое	-	распределение Эрланга
0,5	-	распределение ξ^2

От случайной величины , которая имеет гамма - распределение с любым значением параметра α и значением β=1, достаточно легко можно перейти к случайной величине X’ с параметрами α и β > 1. Для этого используется преобразование вида

.

Основная проблема, которая возникает при моделировании гамма - распределения, - это вычисление гамма - функции.

Чтобы получить значения гамма - функции можно воспользоваться следующей формулой:

i	ai	i	ai	i	ai
1	-0,422784335092	5	-0,017645242118	9	0,000145624324
2	-0,233093736365	6	0,008023278113	10	-0,000017527917
3	0,191091101162	7	-0,000804341335	11	-0,000002625721
4	0,024552490887	8	-0,000360851496	12	0,000001328554
				13	-0,00000018122

Вычисление гамма - функции для разных значений ещё усложняется тем, что она зависит от трёх аргументов (x,α,β). Поэтому при моделировании на практике в формуле функции плотности используется неполная гамма-функция

.,

для вычисления которой при условии, что α < 1 можно воспользоваться таким выражением:

.

Для α > 1 интеграл можно легко вычислить с помощью любых формул численного интегрирования.

Полученная функция плотности гамма - распределения используется для преобразования случайных независимых равномерно распределенных величин. Для этого область возможных значений случайной величины X разбивается на n одинаковых интервалов, количество которых зависит от заданной точности аппроксимации функции f(х). Потом с помощью значения , (методом розыгрыша по жребию) выбирается один из n интервалов, в котором получают случайные числа с функцией плотности распределения f(х).

Для оценивания близкости функции плотности распределения вероятностей полученных значений случайной величины к функции плотности распределения используют метод наименьших квадратов.

С распределением Вейбулла

Случайная величина X имеет нормальное распределение Вейбулла, если его плотность и функция распределения вероятностей описываются выражениями:

,                            .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X определяются по формулам:

;                          .

Распределению Вейбула подчиняются значения случайной величины, которые определяют протяженность безотказной работы сложной системы из нескольких объектов, при условии, что из строя могут выходить отдельные объекты.

Для моделирования случайных величин w_i, распределенных по закону Вейбулла, используются независимые равномерно распределенные на промежутке [0,1] случайные величины, которые преобразуются методом обратной функции:

.

где 1/λ₀ — параметр масштаба; α – параметр крутизны.

Тема: Моделирование случайных событий и случайных величин

План лекции:

1. Моделирование независимых случайных событий.

2. Моделирование группы несовместных событий.

3. Моделирование условного события.

4. Моделирование дискретной случайной величины.

5. Моделирование дискретной случайной величины с геометрическим распределением.

6. Моделирование дискретной случайной величины с биномиальным распределением.

7. Моделирование дискретной случайной величины с распределением Пуассона.

8. Метод обратной функции.

9. Моделирование непрерывной случайной величины с равномерным распределением.

10. Моделирование непрерывной случайной величины с экспоненциальным законом распределения.

11. Моделирование пуассоновского потока.

12. Моделирование непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения.

13. Моделирование непрерывной случайной величины с логарифмически-нормальным законом распределения.

14. Моделирование распределения и потоков Эрланга.

15. Моделирование непрерывной случайной величины с гамма - распределением.

16. Моделирование непрерывной случайной величины с бета - распределением.

17. Моделирование непрерывной случайной величины с распределением Вейбулла.

18. Моделирование непрерывной случайной величины с гипер - и гипоэкспоненциальным распределением.

19. Моделирование случайных процессов.

20. Моделирование случайных векторов.