Тема: Моделирование случайных событий и случайных величин



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Тема: Моделирование случайных событий и случайных величин



Тема: Моделирование случайных событий и случайных величин

План лекции:

1. Моделирование независимых случайных событий.

2. Моделирование группы несовместных событий.

3. Моделирование условного события.

4. Моделирование дискретной случайной величины.

5. Моделирование дискретной случайной величины с геометрическим распределением.

6. Моделирование дискретной случайной величины с биномиальным распределением.

7. Моделирование дискретной случайной величины с распределением Пуассона.

8. Метод обратной функции.

9. Моделирование непрерывной случайной величины с равномерным распределением.

10. Моделирование непрерывной случайной величины с экспоненциальным законом распределения.

11. Моделирование пуассоновского потока.

12. Моделирование непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения.

13. Моделирование непрерывной случайной величины с логарифмически-нормальным законом распределения.

14. Моделирование распределения и потоков Эрланга.

15. Моделирование непрерывной случайной величины с гамма - распределением.

16. Моделирование непрерывной случайной величины с бета - распределением.

17. Моделирование непрерывной случайной величины с распределением Вейбулла.

18. Моделирование непрерывной случайной величины с гипер - и гипоэкспоненциальным распределением.

19. Моделирование случайных процессов.

20. Моделирование случайных векторов.

Моделирование независимых случайных событий

Допустим, что вероятность наступления некоторого элементарного случайного события  в одном испытании равна . Считается, что условия проведения каждого испытания одинаковые и его можно повторить бесконечное количество раз. Если  – это значения равномерно распределенной величины на , то можно утверждать, что при условии  (рис.1) наступит событие , а если , то произойдет событие .

Рис.1. Моделирование наступления случайных событий

Действительно, если  – функция плотности равномерно распределенной непрерывной случайной величины , то .

Эта модель хорошо описывает такие события, как обслуживание требования в устройстве СМО, которое может быть свободным или занятым, успешную или нет попытку выполнения некоторого задания, попадание или нет в цель, разветвление потоков информации в двух и более направлениях. В некоторых языках для моделирования случайного события используется специальный блок (например, в языке  – блок  который работает в статистическом режиме).

Моделирование дискретной случайной величины

С распределением Пуассона

Случайную величину с распределением Пуассона можно получить, если допустить, что число независимых испытаний  в биномиальном распределении стремится к бесконечности, а вероятность успешного испытания  — к нулю, причем произведение  остается неизменным и равным :  Функция плотности распределения Пуассона задаётся выражением

.

Распределение Пуассона является граничным случаем биномиального распределения и описывает случайные события, которые имеют место очень редко. На практике по биномиальному закону распределяются: количество дефектов в готовом изделии, количество аварий на транспорте за некоторый продолжительный промежуток времени, количество звонков в телефонной сети в единицу времени и др.

Чтобы получить случайную величину  с распределением Пуассона, генерируем последовательность равномерно распределенных случайнных чисел  и находим их произведение, проверяя неравенство

                   (2)

В случае выполнения условия (2) число  является случайной величиной, которая принадлежит совокупности, распределенной по закону Пуассона с математическим ожиданием . Если условию (2) соответствует первое из чисел , то значение случайной величины  равно 0.

Метод обратной функции

Рассмотрис метод моделирования случайной величины, которая имеет функцию плотности распределения  и монотонно возрастающую функцию распределения . Суть метода заключается в следующем. С помощью генератора случайных чисел генерируем значение случайной величины , которому соответствует точка на оси ординат. Значение случайной величины  с функцией распределения  можем получить из уравнения .

Действительно, если на оси ординат отметить значение  случайной величины, распределенной равномерно в промежутке , и на оси абсцисс найти значение  случайной величины (рис. 1), при котором , то случайная величина  будет иметь функцию распределения . По определению функция распределения  случайной величини  равна вероятности

Рис. 1. Применение метода обратной функции

для генерирования непрерывной случайной величины

Таким образом, последовательность случайных чисел  превращается в последовательность , которая имеет заданную функцию плотности распределения . Откуда следует общий алгоритм моделирования непрерывных случайных величин, имеющих заданную функцию распределения вероятностей:

- генерируются случайные числа ;

- вычисляется случайное число , которое является решением уравнения:

С гамма - распределением

Случайная величина  имеет гамма-распределение с параметрами α (параметр формы распределения) и β (масштабный коэффициент), если его плотность описывается выражением:

 

,                        .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X с гамма - распределением определяются по формулам: ;               

Свойство гамма -распределения: Сумма любого количества независимых гамма-распределенных случайных величин m с одинаковым значением параметра β также подчиняется гамма-распределению, но с параметрами 1 + а2 +... + ат) и β.

Методы моделирования случайной величины с гамма - распределением

α β Распределения
1 1 экспоненциальное распределение
целое - распределение Эрланга
0,5 - распределение ξ2

От случайной величины , которая имеет гамма - распределение с любым значением параметра α и значением β=1, достаточно легко можно перейти к случайной величине X’ с параметрами α и β > 1. Для этого используется преобразование вида

.

Основная проблема, которая возникает при моделировании гамма - распределения, - это вычисление гамма - функции.

Чтобы получить значения гамма - функции можно воспользоваться следующей формулой:

i ai i ai i ai
1 -0,422784335092 5 -0,017645242118 9 0,000145624324
2 -0,233093736365 6 0,008023278113 10 -0,000017527917
3 0,191091101162 7 -0,000804341335 11 -0,000002625721
4 0,024552490887 8 -0,000360851496 12 0,000001328554
        13 -0,00000018122

Вычисление гамма - функции для разных значений ещё усложняется тем, что она зависит от трёх аргументов (x,α,β).Поэтому при моделировании на практике в формуле функции плотности используется неполная гамма-функция

.,

для вычисления которой при условии, что α < 1 можно воспользоваться таким выражением:

.

Для α > 1 интеграл можно легко вычислить с помощью любых формул численного интегрирования.

Полученная функция плотности гамма - распределения используется для преобразования случайных независимых равномерно распределенных величин. Для этого область возможных значений случайной величины X разбивается на n одинаковых интервалов, количество которых зависит от заданной точности аппроксимации функции f(х). Потом с помощью значения , (методом розыгрыша по жребию) выбирается один из n интервалов, в котором получают случайные числа с функцией плотности распределения f(х).

Для оценивания близкости функции плотности распределения вероятностей полученных значений случайной величины к функции плотности распределения используют метод наименьших квадратов.

С распределением Вейбулла

Случайная величина X имеет нормальное распределение Вейбулла, если его плотность и функция распределения вероятностей описываются выражениями:

,                            .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X определяются по формулам:

;                          .

Распределению Вейбула подчиняются значения случайной величины, которые определяют протяженность безотказной работы сложной системы из нескольких объектов, при условии, что из строя могут выходить отдельные объекты.

Для моделирования случайных величин wi, распределенных по закону Вейбулла, используются независимые равномерно распределенные на промежутке [0,1] случайные величины, которые преобразуются методом обратной функции:

.

где 1/λ0 — параметр масштаба; α – параметр крутизны.

Тема: Моделирование случайных событий и случайных величин

План лекции:

1. Моделирование независимых случайных событий.

2. Моделирование группы несовместных событий.

3. Моделирование условного события.

4. Моделирование дискретной случайной величины.

5. Моделирование дискретной случайной величины с геометрическим распределением.

6. Моделирование дискретной случайной величины с биномиальным распределением.

7. Моделирование дискретной случайной величины с распределением Пуассона.

8. Метод обратной функции.

9. Моделирование непрерывной случайной величины с равномерным распределением.

10. Моделирование непрерывной случайной величины с экспоненциальным законом распределения.

11. Моделирование пуассоновского потока.

12. Моделирование непрерывной случайной величины с нормальным законом распределения.

13. Моделирование непрерывной случайной величины с логарифмически-нормальным законом распределения.

14. Моделирование распределения и потоков Эрланга.

15. Моделирование непрерывной случайной величины с гамма - распределением.

16. Моделирование непрерывной случайной величины с бета - распределением.

17. Моделирование непрерывной случайной величины с распределением Вейбулла.

18. Моделирование непрерывной случайной величины с гипер - и гипоэкспоненциальным распределением.

19. Моделирование случайных процессов.

20. Моделирование случайных векторов.



Последнее изменение этой страницы: 2021-04-04; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.204.180.223 (0.026 с.)