Силовой расчет структурной группы II класса 2-го порядка второго вида

 

На рис. 4.1 показана группа Ассура, образованная шатуном 4, ползуном 5 и тремя кинематическими парами V класса, из которых две пары вращательные и однапара — поступательная. Шатун 4 вращательной парой А соединяется со звеном 3 промежуточной группы звеньев   и вращательной парой В — с ползуном 5; ползун 5 поступательной парой В соединяется со стойкой 0 (размерами ползуна пренебрегаем, поэтому две последние кинематические пары геометрически совпадают и имеют общее обозначение символом В). Предварительно определены силы веса, главные векторы сил инерции обоих звеньев (в дальнейшем просто силы инерции) и главный момент сил инерции шатуна (в дальнейшем просто момент сил инерции). Известна также сила производственного сопротивления, приложенная к ползуну (см. рис. 4.1).

Действие  на звенья группы  звена 3, принадлежащего предыдущей в порядке построения механизма структурной группе, и стойки 0заменяем силами  и — реакциями в концевых кинематических парах группы А и В (см. рис. 4.1).

Рассматриваем равновесие группы в целом и обращаемся к системе уравнений равновесия плоской произвольной системы сил:

 

, где       (4.1)

 

 

Рис. 4.1

 

  Записываем первое из  этих уравнений в развернутомвиде:

 

    (4.2)

 

В этом векторном уравнении три неизвестные: модули векторов  и , а также направление вектора . Направление вектора   известно (см. выше); точкой приложения этой реакции  является точка B в силу того, что все остальные силы, приложенные к ползуну, образуют систему сходящихся сил, так как размерами ползуна мы решили пренебречь (см. «теорему о трех силах» в курсе ТМ). 

    Графическое решение векторного уравнения (4.2) позволяет найти только две неизвестные, поэтому необходимо обратиться ко второму уравнению системы (4.1), при этом в целях минимизации неизвестных в этом уравнении моментной точкой выберем точку А. В развернутом виде имеем:

 

 

Отсюдаполучаеммодульреакции :

 

 

Теперь в векторном уравнении (4.2) остаются две неизвестные (модуль и направление реакции ), которые находим графическим способом, выполняя построение плана сил по этому уравнению (см. рис.4.2; неизвестная реакция   на плане обозначена штриховым вектором). Построение плана сил осуществляем в следующем порядке.

Отмечаем на плоскости произвольную точку — полюс плана сил и из этой точки как из начала в принятом масштабе последовательно строим известные векторыуравнения (4.2) — от вектора  до вектора , начало каждого последующего вектора присоединяя к концу предыдущего (согласно известному из курса Аналитической геометрии «правилу треугольников» сложения векторов). Последовательность построения известных векторов может быть произвольной, однако удобнее строить векторы в соответствии с записанным уравнением —уравнением (4.2).

   Равенство нуль-вектору суммы нескольких векторов означает, что план сил, соответствующий этой сумме, должен быть замкнутым, т.е. конец последнего  вектора  в ряде слагаемых векторов должен совпадать с началом первого. Отсюда получаем: неизвестный в уравнении (4.2) вектор   находим, выполняя построение вектора, началом которого является конец вектора, изображающего на плане реакцию (точка f), а концом — полюс плана сил  (см. рис. 4.2). 

 

 

Рис. 4.2

 

    Непосредственно из плана получаем направление искомой реакции и вычисляем её модуль: , где — масштаб построения плана сил ( =...  ).

    Реакцию в центральной кинематической паре рассматриваемой группы звеньев находим, исследуя равновесиекакого-либо из звеньев группы отдельно. Выделяем, например, из группы звено 5 (см. рис.4.3, а), прикладываем к нему все действующие на это звено силы, в том числе найденную реакцию   и неизвестную реакцию , и записываем уравнение равновесия звена в форме векторной суммы всех сил:

 

    В данном уравнении также две неизвестные — модуль и направление реакции , которые находим из его графического решения, выполняя по этому векторному уравнению   построение плана сил (рис. 4.3, б). Направление искомой реакции следует непосредственно из плана, а модуль вычисляем с использованием масштаба плана: .

  На этом силовой анализ группы завершен, можно переходить к следующей (в направлении входного звена) структурной группе.

 

 

а)                                                         б)

 

Рис.4.3

 

    Сделаем здесь, однако, некоторое отступление и рассмотрим другой важный частный случай группы рассматриваемого вида, когда ползун 5 имеет форму стержня и, соответственно, система сил, действующих наползун, может не являться системой сходящихся сил (рис. 4.4). 

 

 

    Рис.4.4

 

 

       Как и выше, рассматриваем векторное уравнение равновесия группы:

 

(4.3)

 

В уравнении (4.3) также три неизвестные: модуль и направление реакции , а также модуль реакции  (направлена эта реакция так же, как в предыдущем случае —перпендикулярно направляющей ползуна), поэтому опять необходимо обращаться к дополнительному уравнению — уравнению моментов сил. Такое уравнение актуально, когда известны направления и точки приложения искомых реакций. Вместе с тем, как указано выше, направление реакции   заранее не определено, неизвестна также точка приложения . Точку приложения найдем ниже, а неопределенность направления реакции   устраним разложением последней на две составляющие: нормальную составляющую , которую направим вдоль оси звена 4, и тангенциальную (касательную) составляющую , которую направим перпендикулярно оси звена. Отметим, что такое преобразование не меняет число неизвестных в уравнении (4.3). В результате появляется возможность вычисления модуля составляющей , используя уравнение моментов сил, приложенных к звену 4, относительно точки В — центральной кинематической пары группы 4–5.   

     Выделяем звено 4, прикладываем все действующие на звено силы, включая и составляющие реакции , и получаем (см. рис. 4.5):

 

. Отсюда ... Н.

 

 

 

Рис. 4.5

 

     Теперь снова обращаемся к уравнению (4.3) и обнаруживаем: с учетом разложения реакции   на составляющие и только что вычисленного модуля   данное уравнение имеет единственное решение, так как неизвестными остаются лишь модуль составляющей   и модуль реакции   (подчеркнем, что векторное уравнение инвариантно по отношению к точкам приложения слагаемых сил):

 

 

    Решаем уравнение графическим методом — строим по нему план сил, замыкающими векторами которого будут искомые реакции   и   (см. рис. 4.6, а).

 

 

а)                                                                                  б)

 

Рис. 4.6

 

     Полную реакцию в кинематической паре А находим элементарным суммированием ее составляющих:  (см. рис.4.6, б).

      Положение точки K приложения реакции   определим, рассматривая условие равновесие звена 5 в форме уравнения моментов сил, действующих на звено, относительно центра B (см. рис. 4.7):   

    Решая это уравнение относительно плеча ВК  реакции , найдем искомое положение.

 

 

 

Рис. 4.7

 

    Если задано положение поступательной пары С, реализующей подвижную  связь ползуна 5 со стойкой 0 (в курсе Теоретической механики такая связь называ-

ется скользящей заделкой), то, приводя реакцию   к центру С, получим пару силовых факторов, характеризующих реакцию в этой паре: силу     момент 

 (см. рис. 4.7).

    Реакцию  () в центральной паре B рассматриваемой группы определим аналогично предыдущему из условия равновесия одного из звеньев группы.