Уравнение сил  и  моментов для общего случая движения

Для анализа наиболее общего случая рассмотрим ускоренное движение автомобиля-тягача на подъем с углом крутизны a (рис. 20). Принято допущение, что автомобиль симметричен относительно продольной оси и дорожное покрытие под всеми колесами одинаковое. Это позволяет анализировать ситуацию на плоской расчетной схеме.    

Рис.20. Силы и моменты, действующие на автомобиль-тягач

                 при прямолинейном ускоренном движении на подъем

 

Всю совокупность силовых факторов в рассматриваемой ситуации можно разделить на такие основные группы:

1) движущие автомобиль;

2) создающие сопротивление движению; 

3) нормальные к направлению движения.

Первую группу силовых факторов представляет окружная сила на ведущих колесах, условно реализованная на рис.20 в виде суммарной продольной реакции дороги S R_{x 2} на колеса задней оси.

Вторую группу представляют: F_wx – cила сопротивления воздуха;             F _a - продольная составляющая силы тяжести автомобиля; F_jx – cила сопротивления поступательному разгону автомобиля; F _{c x} – продольная сила на сцепном устройстве; S R_{x 1} – суммарная продольная реакция дороги на колеса передней ведомой оси; S T_{f 1} и S Т _{f 2} – cуммарные моменты сопротивления качению колес соответственно передней и задней осей; S Т _{j 1} и S Т _{j 2} – суммарные инерционные моменты колес передней и задней осей.

Третью группу представляют такие вертикальные силы: S R_{z 1} и S R_{z 2} – суммарные вертикальные реакции дороги на колеса соответственно передней и задней осей; G _н = G_a сosa- нормальная составляющая силы тяжести автомобиля; F_wz – нормальная к плоскости дороги составляющая полной аэродинамической силы; F _{c z} – вертикальная нагрузка на сцепном устройстве.       

     Нормальные реакции опорной поверхности. Для нахождения нормаль- ных реакций дороги на колеса передней (S R _z1) и задней (S R _z2)осей используются уравнения моментов относительно опорных точек О ₁ и О ₂ (см. рис. 20). Считаем, что автомобиль не теряет контакта с дорогой, поэтому суммы моментов относительно указанных опорных точек равны нулю:

                                               S T _{о 2} = 0;

S R_{z 1} l – G _н b + F_wz b_w + S T_{f 1} + S T_{f 2} + S T_{j 1} + S T_{j 2} + (F _a + F_jx) h_g + F_wxh _w + F _{c x} h _c + F _{c z} b _c= 0;

                                                      S Т _{о 1} = 0;

- S R_{z 2} l + G _н а – F_wza_w + S Т _{f 1} + S T_{f 2} + S T_{j 1} + S T_{j 2} +(F _a+ F_jx) h_g + F_wxh_w + F _{c x} h _c+ F _{c z} (l + b _c) = 0.

Отсюда после небольших упрощений (подставим S Т _{f 1} + S T_{f 2} = S Т _f и S Т _{j 1} + S T_{j 2} = = S T_j) получим величины нормальных осевых реакций

S R_{z 1} = [ G _н b – F_wz b_w - S T_f - S T_j – (F _a + F_jx) h_g – F_wx h_w - F _{c x} h _c – F _{c z} b _c ] / l  

                                                                                                                   (54)

                                                                                                                                               

S R_{z 2} = [ G _н а – F_wz a_w + S T_f + S T_j +(F _a+ F_j) h_g + F_wx h_w + F _{c x} h _c + F _{c z} (l + b _c)] / l

                                                                                                                     (55)                                                                                                                                                                                                     Частные случаи:

1. Одиночный автомобиль движется в гору с постоянной скоростью. (Cилой F_wz ввиду ее малости при скоростях движения, меньших 100 км/ч, пренебрегаем).

                           S R_{z 1} = (G _н b - S Т _f   - F _a h_g – F_wx h_w) / l =

          = (G_a сosa b – G_a  сosa f r _д – G_a sina h_g – W _в   V_a ² h_w) / l @

                            @ [ G_a (b – f   r _д - a h_g) – W _в V_a ² h_w ] / l.

По аналогии (если a < 7-8^о)

                       S R_z2 @ [ G_a (a + f   r _д + a h_g) + W _в V_a ² h_w ] / l.

 

2. Одиночный автомобиль на горизонтальной площадке (т.е. статические нормальные реакции на колеса)

                                       S R_z1 ^cт = G_a b / l = G₁;

                                       S R_z2 ^ст = G_a a / l = G_{2 .}

 

     Вводится понятие коэффициент изменения нормальных реакций m_{R 1} и m_{R 2}

                    m_R1 = S R_z1 / S R_z1 ^ст  ;          m_R2 = S R_z2 / S R_z2 ^ст.

На подъеме и при разгоне m_{R 1} < 1;    m_{R 2} > 1.

           

     Тяговый баланс автомобиля. Это уравнение, показывающее распределение тяговой силы по видам сопротивления движению и являющееся для представленного на рис. 20 общего случая движения автомобиля уравнением равновесия параллельных опорной поверхности сил. Для суммы всех сил, направленных по оси Х, должно выполняться условие S F_x = 0, т.е.

                 S R_{x 2} - S R_{x 1} - F _a - F_wx - F_jx - F _{c x} = 0.                    (56)

Используя ранее выведенное соотношение (9¢¢), можно написать, что

                S R_{x 2} = T _т / r _д – f ₂ S R_{z 2} – (S J _{к 2} Е _{к 2} ) / r _д.

Из выражения (33) следует, что

                     Т _т = [ T_e – (µ _e T_e + J_e) E_e ] u _тр h_тр,

и соответственно получаем S R_{x 2}  в развернутом виде

S R_{x 2} = T_e u _тр h_тр / r _д – (µ _е Т_е + J_e) E_e u _тр h_тр / r _д – f ₂ S R_{z 2} - (S J _{к 2} Е _{к 2} ) / r _д.

                                                                                                                   (57)

     Для ведомого колеса (см. п. 1.2) можно написать

                          S R_{x 1} = f ₁ S R_{z 1} + (S J _{к 1} Е _{к 1} ) / r _д.                                (58)

     Таким образом, после подстановки в уравнение (56) выражений (57) и (58) и раскрывая составляющую F_jx = m_a a_x, получим

Т_е u _трh_тр / r _д -(µ _е Т_е + J_e) Е_е u _трh_тр / r _д– f ₂ S R_{z 2} -(S J _{к 2} Е _{к 2} ) / r _д - f ₁ S R_{z 1} -(S J _{к 1} Е _{к 1} ) / r _д – - m_a a_x - F _a  - F_wx – F _{c x}  = 0.

                                                                                                                   (59)

     Для последующих преобразований используем известные зависимости

              Е _{к 1} @ Е _{к 2} = Е _к = а_х / r _к; Е_е = Е _к u _тр = а_х u _тр / r _к;        

                         f ₁ S R_{z 1} + f ₂ S R_{z 2} = f _ср G _н = f G_a сosa;                         (60)

                   (S J _{к 1} Е _{к 1} ) / r _д + (S J _{к 2} Е _{к 2} ) / r _д = (S J _к Е _к) / r _д.

    

     Из уравнения (59) соберем вместе все члены, описывающие инерционные свойства элементов системы, причем одновременно заменим в них ряд параметров, воспользовавшись выражениями (60)

          m_a a_x + (µ _e T_e + J_e) E_e u _тр h_тр / r _д + (S J _к Е _к) / r _д =

        = m_a a_x + (µ _e T_e + J_e) a_x u _тр ² h_тр / r _д r _к + S J _к а_х / r _д r _к =           (61)

        = m_a a_x [ 1 + (µ _e T_e + J_e) u _тр ² h_тр / r _д r _к m _a + S J _к / r _д r _к m _a ] =

                                              = m_a a_x d _j.                                        

     В окончательной формуле описания инерционных свойств автомобиля присутствует коэффициент d _j, который называется коэффициентом учета вращающихся масс

             d _j = 1 + (µ _e T_e + J_e) u _тр ² h_тр / r _д r _к m_a + S J _к / r _д r _к m_a.        (62)

Помня, что u _тр = u _кп u _o,введем обозначения

                             s ₁ = (µ _е Т_е + J_e) u _o ² h_тр / r _д r _к m_a;

                                                     s ₂ = S J _к / r _д   r _к m_a.

Получим новую интерпретацию для d _j

                                      d _j = 1 + s ₁ u _кп ² + s ₂.                                       (63)

     Поскольку, как показали расчеты и исследования, для большинства автомобилей s ₁ = 0,03 ¸ 0,05 и s ₂ = 0,04 ¸ 0,06  при проектировочных расчетах тягово-скоростных свойств вновь создаваемых автомобилей использование выражения (63) значительно упрощает эту процедуру.

     Окончательно уравнение (59) после подстановки в него выражений (40), (45), (49), (50),(60) и (61) приобретает вид

Т_е u _тр h_тр / r _д – m_a a_x d _j - f G_a сosa - G_a sina - 0,5 с_х r_в А_х V_wx ² – F _{c x} = 0     (64)                                                                                                                                   

или

                 d _j m_a a_x = T_e u _тр h_тр / r _д - y G_a – W _в V_wx ² - F _{c x}  .                (65)

     Необходимые условия обеспечения движения автомобиля. Из уравнений (64) и (65) следует, что предельным состоянием cистемы, при котором ее движение с постоянной скоростью еще продолжается, является                        а_х = dV_a / dt = 0.

1. Условие движения по преодолению сил сопротивления

                       Т_е   u _тр h_тр / r _д³ y G_a + W _в V_wx ² + F _{c x} .

2. Условие движения по сцеплению ведущих колес с дорогой

              y G_a + W _в V_wx ² + F _{c x} £ T _е u _тр h_тр / r _д   £ S R_{z 2} j _х

  

 

    1.10. Построение тяговой характеристики автомобиля   

 

Тяговой характеристикой автомобиля называется графическое изобра- жение уравнения тягового баланса в координатах тяговая сила F _т  (F _к) – скорость автомобиля V _а.  Левая часть уравнения тягового баланса включает в себя движущую автомобиль тяговую силу на колесах F _т, а правая часть- все силы сопротивления его движению(F_f, F _a, F_wx, F_jx, F _{c x} )      

                F _т  = F_f + F _a + F_wx + F_jx + F _{c x} .                              (66)

     В развернутом виде это уравнение, согласно выражению (65), может быть представлено как

        Т_е u _тр h_тр / r _д = f G_a  сosa + G_a   sina + W _в V_wx ² + d _j   m _a a_x + F _{c x} .

Его левую часть можно представить еще более подробно, если выразить передаточное число трансмиссии  через ее составляющие (u _тр = u _кп u _дк u _o, где       u _дк - передаточное число дополнительной коробки)

                                    F _т  = Т_е u _кп u _дк   u _o h_тр / r _д.                                  (67)

     Из соотношения (67) видно, что для получения всего многообразия значений тяговой силы на колесах F _т при построении тяговой характеристики автомобиля необходимо располагать предварительно полученной по замерам на испытательном стенде или построенной теоретическим путем (см. п. 1.4) внешней скоростной характеристикой его двигателя, знать коэффициент коррекции стендовых характеристик k _c  и коэффициент учета подкапотных потерь k _п. Поскольку тяговая характеристика строится для всех ступеней коробки передач и на высшей передаче дополнительной коробки (если она имеется в трансмиссии), а также при наибольшем общем передаточном числе трансмиссии, необходимо знать передаточные числа коробки передач u _кп, дополнительной коробки u _дк и главной передачи u _о. Кроме того, необходимо иметь данные по КПД трансмиссии h_тр или уметь его определить расчетным путем, а также определить динамический радиус колес r _дведущей оси автомобиля.

     Для привязки полученных при расчетах значений F _т к скорости движения автомобиля используется формула

                                     V _a = w _e r _к   / u _кп   u _дк u _o.                                     (68)

     Обычно тяговую характеристику автомобиля строят для условий движения с постоянной скоростью по дорогам без подъемов и спусков. Условно также считается, что воздушная среда неподвижна, т.е. ветер отсутствует. Если использование автомобиля не предполагает его постоянную работу с прицепом, сила на крюке F_cx также приравнивается нулю.

     Таким образом, в правой части уравнения тягового баланса (66) остаются только два члена, а именно:

                   F_f + F_wx = f G_a + W _в V_a ² = f   G_a + 0,5 с_х r_в А_х V_a ²               (69)

      Следовательно, чтобы определить расчетным путем значения cилы сопротивления качению автомобиля F_f  и силы сопротивления воздуха F_wx   в зависимости от скорости его движения V_a, необходимо знать полную массу m _a или cилу тяжести G_a автомобиля, коэффициент сопротивления качению его шин f при движении по асфальтовому или бетонному шоссе, фактор обтекаемости W _в или коэффициент обтекаемости с_х и габаритные размеры для вычисления площади миделева сечения А_х.              

     Пример. Построить тяговую характеристику автомобиля КамАЗ-5510, оснащенного шинами 240/70R22,5.

Исходные данные.

1. Внешняя скоростная характеристика двигателя показана на рис. 21.

 Коэффициенты k _с = 0,96 и k _п = 0,96.

2. Полная масса автомобиля 14470 кг.

3. Передаточные числа трансмиссии:

коробка передач   u ₁ = 7,82;   u ₂ = 4,03;   u ₃ = 2,50;   u ₄ = 1,53;   u ₅ = 1,00;

главная передача   u _o = 5,40.

(Дополнительная коробка у данной модели автомобиля отсутствует).

4.Шины размерности 240/70R22,5. Коэффициент сопротивления качению

f _o = 0,015 (при скорости до 60 км/ч),    f = f _o (1 + 0,0005 V_a ²).

5.Коэффициент обтекаемости 0,95. Габариты поперечного сечения автомобиля 

В _г = 2,01 м; Н _г = 2,63 м.

1-й этап решения: определение постоянных величин

1. r _д= r _ст = 0,5 d + l _z D_ш В _ш = 0,43 м [cм. п. 1.1, формула (2)].

2. h_тр = 0,96 · (0,99) ⁴ · 0,92 = 0,85 (см. п. 1.5).

3. А_х = 0,85 · 2,01 · 2,63 = 4,49 м²  [см. п. 1.7, формула (51)].

  2-й этап: построение внешней скоростной характеристики двигателя,

 установленного на автомобиле

Для построения этой характеристики с внешней скоростной характеристики двигателя, полученной в стендовых условиях (рис. 21) берутся несколько значений стендовой мощности Р_е ^ст и стендового крутящего момента Т_е ^ст  при пяти-шести значениях угловой скорости вращения коленчатого вала w _е, охва-тывающих равномерными интервалами весь рабочий диапазон двигателя (от w_min до w_max). По формулам (19) и (20) определяется мощность Р_е и крутящий момент Т_е двигателя при установке его на автомобиль. Выбранные значения w _е, соответствующие им значения Р_е ^ст и Т_е ^ст и вычисленные величины Р_е и Т_е сводят в таблицу (см. табл. 4), по ним строят искомую характеристику двигателя.

3-й этап: построение тяговой характеристики КамАЗ –5510

         Необходимая для построения тяговой характеристики тяговая сила F _т  на ведущих колесах рассчитывается по формуле (67) при всех значениях передаточных чисел коробки передач u _кп (см. исходные данные). Значения подкапотного момента двигателя Т_е, соответст-вующие выбранным для расчетаугловым скоростям  w _е , берутся из табл. 4. Для каждой передачи по формуле (68) определяется соответствующая скорость движения автомобиля.

      Силы сопротивления движению F_f  и F_wx  рассчитываются с использованием составляющих формулы (69) при тех же скоростях движения V_a, при которых были произведены расчеты F _т на высшей передаче в коробке пе-                                                        редач.

 Результаты расчетов сводятся в таблицу (см. табл.4) и с их использованием строятся графические зависимости F _т от V_a на соответствующих передачах в коробке передач, а также зависимость суммарной силы сопротивления F_f  + F_wx  от скорости движения автомобиля на высшей передаче (рис. 22).

 

                                                                                                                      Таблица 4                                           

 Результаты расчетов внешней скоростной характеристики двигателя, установленного

         на автомобиль КамАЗ-5510, и тяговой характеристики этого автомобиля

 

w е, с^-1	100	140	180	220	273
Ре ^ст, кВт	55,0	77,5	99,0	117,0	133,0
Ре, кВт	50,7	71,4	91,2	107,8	122,5
Те ^ст, Н.м	528	564	555	531	485
Те, Н.м	487	520	511	489	447
Va1, м / с	1,02	1,43	1,84	2,24	2,78
F т 1 ,   к Н	40,65	43,40	42,65	40,82	37,31
Va2, м / с	1,98	2,77	3,56	4,35	5,40
F т 2 , кН	22,37	23,89	23,48	22,46	20,54
Va3, м / с	3,18	4,46	5,73	7,00	8,69
F т 3 , кН	12,98	13,86	13,62	13,03	11,91
Va4, м / с	5,02	7,29	9,38	11,45	14,21
F т 4 , кН	7,97	8,51	8,37	8,00	7,32
Va5, м /c	7,96	11,15	14,33	17,52	21,74
F т 5 , кН	5,20	5,55	5,45	5,22	4,77
f	0,015	0,015	0,0165	0,017	0,0185
Ff  , кН	2,13	2,13	2,34	2,41	2,63
Fwx, кН	0,16	0,32	0,54	0,80	1,23
Ff + Fwx, кН	2,29	2,45	2,88	3,21	3,86

           

                                                     

Баланс мощности автомобиля

Балансом мощности называется уравнение, показывающее распределение подводимой к ведущим колесам мощности Р _т по видам сопротивления. Уравнение мощностного баланса по своей структуре подобно уравнению тягового баланса (66), а получаем мы его путем умножения каждого члена уравнения тягового баланса на скорость движения автомобиля V_a

                       Р _т  = Р _f + Р _a + Р _wx + P_jx + P _{c x} ,                                (70)

где Р _т = F _т V_a – тяговая мощность на ведущих колесах; Р _f = F_f V_a – мощность, затрачиваемая на преодоление сопротивления качению; Р _a = F _a V_a – мощность, затрачиваемая на преодоление подъема; Р _wx = F_wxV_a – мощность, затрачиваемая на преодоление сопротивления воздуха; Р _jx = F_jxV_a – мощность, затрачиваемая на разгоны; Р_сх = F_cxV_a – мощность, затрачиваемая на буксирование прицепа.

Если, принимая во внимание формулы (67) и (68), подробно развернуть выражение тяговой мощности на колесах (Р _т  = F _т V_a), получим

        Р _т = (Т_е u _тр h_тр / r _д)(w _е r _к / u _тр) = Т_е w _е h_тр r _к / r _д = Р_е h_тр r _к / r _д.

     Но при установившемся движении (см. п. 1.5) Р_е h_тр = Р _к, тогда получаем соотношение между тяговой мощностью и мощностью, подводимой от двигателя к ведущим колесам автомобиля

                                           Р _т  = Р _к r _к / r _д.                                           (71)

Из формулы (71) видно, что при отсутствии буксования ведущих колес, т.е. при r _к = r _д, тяговая мощность (Р _т) и мощность, подводимая к ведущим колесам (Р _к) равны между собой. Таким образом, соотношение r _к / r _д£ 1, встречающееся во многих формулах этого учебника, учитывает потерю мощности на буксование ведущих колес автомобиля.

Так же, как и уравнение тягового баланса, уравнение мощностного баланса может быть представлено в виде графика в координатах тяговая мощность Р _т  (или Р_к) – скорость автомобиля V_a. Проще всего можно построить эти графические зависимости, используя расчеты и табличные данные, полученные при построении тяговой характеристики автомобиля.

Пример. Построить график мощностного баланса автомобиля                КамАЗ-5510 c шинами 240/70R22,5.

     Исходные данные. Все необходимые исходные для расчетов данные содержатся в табл. 4 (п. 1.10).

     Порядок действий.

     1. Производим вычисления   Р _к= Р _т = Р_е h_тр  для всех выбранных при построении тяговой характеристики значений w _е  в диапазоне от w_min до w_max (или w_огр) и заносим результаты в табл. 5 (КПД трансмиссии h_тр  определен в примере п. 1.10; поскольку специальных указаний нет, считаем, что буксование ведущих колес отсутствует, т.е.   r _к = r _д).

      2. Строим в координатах Р _к (Р _т) – V_a   графики Р _к  для всех вариантов передаточных чисел в трансмиссии (в данном случае – для всех значений передаточных чисел в коробке передач u _кп), используя данные табл. 4 о скоростях движения автомобиля на соответствующей передаче в коробке передач        (рис. 23).

      3. Вычисляем мощности, затрачиваемые на преодоление сопротивления качению Р _f = F_f V_a, мощности, затрачиваемые на преодоление сопротивления воздуха Р _wx = F_wx V_a  и определяем их суммы Р _f + Р _wx при тех же скоростях движения, при которых были произведены расчеты Р _к на высшей передаче в коробке передач. Результаты расчетов сводятся в табл. 5 и по ним строятся графические зависимости Р _f = f (V_a)  и Р _f + P_wx = f (V_a), которые показаны на рис. 23.   

 

                                                                                                                     Таблица 5