Случайные сигналы (процессы)

 

Среди огромного множества сигналов особое место занимают случайные сигналы, изменение которых во времени непредсказуемы (случайны).

Изучение класса случайных сигналов важно тем, что некоторые задачи теории связи вообще невозможно решить без учета влияния случайных сигналов, которые часто фигурируют в качестве мешающих сигналов (искажающих полезные сигналы).

Наиболее часто мы будем встречать в этой области такие термины как:

1) случайное событие,

2) случайная величина,

3) случайный процесс.

Случайным процессом называют некоторую случайную функцию, зависящую от текущего аргумента, чаще всего – времени, мгновенные значения которой в любые моменты времени сами являются случайными величинами.

Бесконечный ансамбль случайных величин также можно назвать случайным процессом.

Наиболее часто случайный процесс принято определять множеством .

Наиболее важными характеристиками являются:

1) функция распределения ,

2) плотность распределения вероятностей,

3) энергетический спектр .

Функция распределения

Она определяется так:

.

Её свойства:

1) ,                     2) .

 

Плотность распределения вероятностей

Она определяется через  соотношением

                              ,

и удовлетворяет условию:

.

Очевидно, что

.

В приведённых соотношениях опущены аргументы времени для упрощения.

Свойства плотности распределения вероятностей:

1) условие положительной определённости:

    ,

2) условие нормировки

    ,

3) условие симметрии:

 не изменяется при произвольной перестановке своих аргументов:

                                 ,

 4) условие согласованности

.

 

                                   Рис.19 – Осциллограммы случайного процесса

Совместный центральный момент второго порядка двух случайных величин служит мерой статистической связи этих случайных величин и называется корреляционной функцией:

.

Если в этом выражении m_i и m_j не вычитать (опустить, т.е. использовать не центрированные случайные величины), то такая функция называется ковариационной:

.

В западной литературе и в некоторых наших источниках эти функции принято менять

на противоположные (корреляционная функция называется ковариационной, а ковариационная – корреляционной).

Применение в теории случайных процессов известной пары преобразований Фурье позволяет ввести понятие спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса (спектра мощности):

– пара преобразования Винера-Хинчина.

.

W(ω) – чётная функция частоты (как и R(τ)).

Тогда мы приходим к наиболее употребительным формулам:

,

,

.

F(ω) и N(f) – односторонние спектры мощности случайного процесса.

Очень часто используется понятие белый шум. Это обобщенный случайный процесс, у которого W(ω)=const.

Тогда   

есть дельта-коррелированный случайный процесс.

Реально такой случайный процесс не существует, но часто его используют в случаях, когда ширина спектра реального случайного процесса >> ширины пропускания избирательной цепи.

Известны также понятия:

1) квазибелый шум (он двух видов: низкочастотный и высокочастотный), рисунки,

2) окрашенный шум (с неравномерной спектральной плотностью мощности: низкочастотный и высокочастотный), рисунки,

3) зелёный шум, рисунок.

                                               

 

                                                             

 

                                                                             

  Рис.20 – Спектральная плотность мощности “белого” шума (

  Спектральную плотность мощности квазибелого шума принято задавать в виде

               .

 

                                                      

 

 

                                                                

 

                                                                           

 

       Рис.21 – Спектральная плотность мощности высокочастотного квазибелого шума

 Шум, не являющийся белым или квазибелым, принято называть окрашенным. Один из большого числа возможных вариантов спектральной плотности мощности окрашенного шума приведён на рисунке

                                                      

 

 

                                                                

 

                                                                    

 

                          Рис.22 – “Окрашенный” шум

 

Частным случаем окрашенного шума является “зелёный” шум, для которого . Один из многочисленных вариантов спектральной плотности мощности этого шума приведён ниже на рисунке:

 

                                                           

                                         Рис.23 – Пример “зелёного” шума

 

Если случайный процесс x(t) не является белым шумом, то W(ω)→0 при |ω|→∞ и в этом случае вводят понятие эффективной ширины спектра случайного процесса:

.

 

Рис.24 – Определение эффективной ширины спектра “окрашенного” низкочастотного шума

 

При этом интервал корреляции

 .

Этот шум принято называть “окрашенным” (двух видов: низкочастотный и высокочастотный).

 

Ширина спектра таких сигналов может быть различной.

Различают:

1) узкополосный (),

2) широкополосный (),

3) сверхширокополосный ().