Узкополосные гауссовские случайные процессы.

 

          Рис.25 – Пример узкополосного гауссовского случайного процесса

 

Существуют достаточно широко используемые две математические модели таких случайных процессов:

1) .

Данная модель без изменения используется также для описания суммы узкополосного гауссовского случайного процесса и гармонического колебания, лежащего в пределах полного периода  случайного процесса.

3) Вторая математическая модель получается из первой:

.

В обоих моделях U(t), φ(t), A(t) и B(t) – низкочастотные по сравнению с  функции.

При этом ;   .

A(t) и B(t) ещё называется огибающими квадратурных составляющих узкополосного случайного процесса.

 

Корреляционная функция

 

Для узкополосных случайных процессов функция корреляции из общего вида

может быть преобразована к виду

,

где  – медленные функции аргумента ,

F(.) – односторонняя спектральная плотность мощности случайного процесса,

 – центральная частота спектра узкополосного случайного сигнала.

Если спектр  симметричен относительно , то , тогда

,

где  – огибающая корреляционной функции.

 

Корреляционные свойства амплитуд A(t) и B(t)

 

Можно показать, что

 ,

 – взаимная корреляционная функция.

При  имеем, что ,

где – дисперсия самого процесса x(t).

Если  – симметричен относительно , то  и , откуда следует, что огибающие A(t) и B(t) в совпадающие моменты времени независимы.

Тогда совместную ПРВ огибающих A(t) и B(t) можно записать

Если случайный процесс x(t) – гауссовский, то A(t) и B(t) являются тоже гауссовскими, при этом m_A=m_B=0. Тогда совместная ПРВ определяется выражением

.

Найдем совместную ПРВ p(U,φ) (во второй записи узкополосного случайного процесса).

Имеем:

Обратные функции однозначны ():

Якобиан преобразования от случайных величин A и B к случайным величинам U и  имеет вид

.

Тогда

 

.

Отсюда по условию согласованности получим:

.

Таким образом, ПРВ фаза узкополосного случайного процесса равномерна в интервале [-π,π] или [0, 2π]:

                            

 

       Рис.26 – Два вида ПРВ фазы узкополосного случайного процесса

 

С другой стороны

.

Это ПРВ огибающей случайного процесса. Мы вывели распределение Релея.

Если вместе с узкополосным шумом присутствует синусоидальный сигнал, , то суммарный случайный процесс записывается так:

а) по первой модели, по-прежнему:

    ,

б) по второй модели:

    .

Рассмотрим функциональное преобразование:

 ,

.

Обратные функции однозначны:

,

.

Якобиан преобразования от A, B к U,  тот же:

.

Тогда .

Отсюда можно получить одномерные ПРВ:

 – распределение не является равномерным.

.

Это распределение Райса.

При  имеем приближенно

,

т.е. при достаточно больших отношениях сигнал/шум ПРВ огибающей почти гауссовская.

 

Лекция 5