Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Спектральное представление сигналов
Спектры непериодических сигналов
Комплексный ряд Фурье сигнала S(t) преобразованного таким образом, запишем в виде . Устремим к ∞ период повторения Т. При этом следует отметить два момента: 1) Частоты соседних гармоник nΩ и (n+1)Ω станут как угодно близкими, что дает возможность дискретную частоту nΩ заменить на непрерывную переменную “ω”, т.е. nΩ→ ω. 2) Амплитуды коэффициентов С n станут неограниченно малыми (из-за Т в знаменателе). Таким образом при Т→∞ имеет место следующий переход: 1) 2) . Тогда выражение для коэффициента С n преобразуются к виду , где функция носит название спектральной плотности непериодического сигнала или прямое преобразование Фурье. Используя полученное предельное уравнение для коэффициента С n и понятие спектральной плотности сигнала , преобразуем комплексный ряд Фурье к виду . Таким образом, есть обратное преобразование Фурье. Пара преобразования Фурье представляют собой зависимость между временной и частотной областями.
Самостоятельно проработать все основные теоремы о спектрах. Их всего семь: 1. Спектральная плотность суммы сигналов. 2. Спектральная плотность сигнала, смещённого во времени. 3. Спектральная плотность производной сигнала. 4. Спектральная плотность интеграла от сигнала. 5. Спектральная плотность сигнала с изменённым масштабом времени. 6. Спектральная плотность произведения двух сигналов. 7. Смещение спектра сигнала (частный, но очень важный случай п.6, когда один из сигналов низкочастотный, а другой – высокочастотный).
Замечание. Если , то операция справедлива только для сигналов, у которых модуль спектральной плотности в нуле = 0, т.е. S1(0)=0 (модуль спектральной плотности). Это имеет место у сигналов с нулевой площадью: . В остальных случаях: .
Условие существования спектральной плотности сигнала Спектральная плотность определена выше только для абсолютно интегрируемых сигналов, т.е. сигналов, удовлетворяющих условию: . Такое условие существенно сужает класс сигналов, для которых существует . В этом смысле нельзя говорить о спектральной плотности гармонического сигнала S(t)=Umcosω0t, если на него не наложено условие ограниченности во времени.
Математики нашли выход: предложили использовать понятие обобщенных функций и их теорию. К таким обобщенным функциям относится дельта-функция δ(ω). С её использованием можно говорить о спектральной плотности гармонического колебания. Например: – постоянная составляющая. Требуется найти спектр такого сигнала. В соответствии с общей формулой .
Обобщенная формула Релея Рассмотрим понятие "скалярное произведение двух сигналов" в виде . Таким образом, нижнее выражение является наиболее общим. Из выражения следует . Последнее выражение подставим в выражение для скалярного произведения двух комплексных сигналов: . Таким образом, имеем . Это и есть обобщенная формула Релея. Она справедлива как для вещественных, так и для комплексных сигналов. При S1(t)=S2(t) имеем выражение для энергии сигнала . Величина называется энергетическим спектром сигнала, а величина – взаимный энергетический спектр сигналов, поэтому . Справедливы следующие соотношения сигналов: , . В последнем выражении функции отличаются только знаком мнимой части, причём реальные части есть чётные функции, а мнимые части – нечётные, поэтому предыдущее выражение можно записать в виде . Относительная доля энергии сигнала S(t) содержится в некоторой полосе Δω, определяется по формуле: .
Критерии бывают разные: 1) К=0,9 или К=90%, 2) К-0,95 или К=95%, 3) К=0,97 или К=97% и т.д. В зависимости от требуемой задачи выбирают тот или иной критерий и определяют требуемую полосу частот для сигнала.
Спектр прямоугольного видеоимпульса Математическая модель:
Спектральная плотность: = . , .
Спектр прямоугольного радиоимпульса Математическая модель:
Спектральная плотность:
Аналитический сигнал и преобразование Гильберта
Любой вещественный сигнал S(t) c известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих: одна с отрицательными, а другая с положительными частотами:
. Функция
названа аналитическим сигналом, который соответствует вещественному сигналу S(t). Первый из интегралов при замене –ω=ξ преобразуется к виду . Удвоив это выражение, получим: – сигнал, комплексно сопряженный аналитическому. Из выведенных выражений следует, что . Можно показать, что . Мнимая часть аналитического сигнала называется сигналом, сопряженным по Гильберту по отношению к исходному сигналу:
т.е. , а . Спектральная плотность аналитического сигнала может быть определена по общей формуле: (1) Это видно из определения аналитического сигнала (умножить и разделить на 2): . Пусть – спектральная плотность . Так как , то в силу линейности преобразования Фурье имеем . (2) Но тогда с учетом (1) и (2) имеем:
и . Способ получения сигнала : устройство (квадратурный фильтр) поворачивает на +900 фазы всех составляющих спектра сигнала при <0 и на угол φ= – 900 при >0 (см Баскаков, 88, стр.128):
Рис.5. Формирование сигнала, сопряжённого по Гильберту
есть произведение и ” ”, следовательно, сигнал есть свертка исходного сигнала S(t) и функции f(t), которая определяется выражением: Тогда . Или – это и есть прямое преобразование Гильберта. Обратное преобразование Гильберта имеет вид , т.е. они отличаются знаком. Символическая запись такова: Интегралы, входящие в преобразование Гильберта, следует понимать в смысле «главного значения»: , т.к. функция «» имеет разрыв при t=τ. Модуль аналитического сигнала, т.е. | Z S(t)|, определяет огибающую сигнала S(t): . Аргумент аналитического сигнала есть полная фаза колебания S(t): . Мгновенная частота сигнала S(t) есть производная от полной фазы: . Введение понятий аналитического сигнала и преобразований Гильберта дало возможность, в отличие то метода комплексных амплитуд, дать строгие определения понятий “огибающая” и “мгновенная частота” произвольного сигнала S(t).
Лекция 3
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 90; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.139.240.142 (0.022 с.) |