Характеристики (особенности) сигналов

 

Cреди сигналов, участвующих в определении электромагнитной обстановки в настоящее время, принимают участие три вида:

1. Аналоговые непрерывные сигналы.

2. Цифровые (дискретные) сигналы.

3. Случайные сигналы (чаще всего – это помехи).

 

Аналоговые сигналы

  Математические модели сообщений, сигналов и помех

Общая теория ортогональных разложений

 

Что такое сигнал: математическая модель сигнала представляет собой функциональную зависимость, в котором аргументом является время.

Знание математических моделей сигналов даёт возможность сравнивать их между собой, устанавливать тождество и различие и, в конечном счёте, проводить их классификацию.

Рассмотрим понятие линейного пространства сигналов

Пусть M={S₀(t), S₁(t), … } есть множество (в общем случае бесконечное) сигналов. Сигналы принято объединять в множество, если они обладают некоторым общим свойством (примеры:

1) всевозможные аналоговые сигналы, отличные от 0 на интервале (t₁, t₂),

2) прямоугольные импульсы всевозможных амплитуд и одинаковой длительности τ_и.

Задача теории сигналов состоит в исследовании их свойств.

Исследование свойств сигналов множества М становится особенно плодотворным, когда удается выражать одни элементы множества, через другие.

Но чтобы это делать, следует руководствоваться определенными правилами. Эти правила (аксиомы) нужно ввести.

Говорят, что множество М образует вещественное линейное пространство, если для него справедливы следующие аксиомы:

1) любой сигнал S(t) M при любых t принимает вещественные значения;

2) для любых S_i(t) M и S_j M существует их сумма S_i(t)+S_j(t)= (t) M, причем

а) S_j(t)+S_i(t)=S_i(t)+S_j(t) – свойство коммутативности,

б) (S_i(t)+S_j(t))+S_k(t)=S_i(t)+(S_j(t)+S_k(t)) – свойство ассоциативности;

3) для любого S(t) M и любого вещественого числа а, определен сигнал

S_l(t)=a×S(t) M;

4) Множество М имеет один особый нулевой элемент 0, такой, что S(t)+0=S(t) для всех S(t) M.

Если допустить в аксиоме 3 умножение на комплексное число, то мы приходим к понятию комплексного линейного пространства.

 

Координатный базис

В линейном пространстве сигналов можно выделить некоторое подмножество сигналов {e₀, e₁, …}, в котором каждый элемент олицетворяет собой некоторую координатную ось, играя при этом роль некоторой единицы измерения или единичного вектора, вдоль этой координатной оси.

Выделенное подмножество {е₀, е₁, …}, является весьма полезным, когда входящие в него элементы (векторы) линейно независимы, т.е. равенство  справедливо лишь в том случае, когда одновременно все a_j=0.

Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве.

Рассматривая сигнал S(t) как вектор в линейном пространстве, его можно представить в виде суммы

,                                                                                                              

где числа {c₀, c₁, …} являются проекциями оси координат или проекциями S(t) относительно выбранного базиса.

 

Нормированное линейное пространство

Пусть L есть линейное вещественное пространство сигналов. Говорят, что пространство сигналов L является нормированным, если каждому сигналу S(t) L однозначно поставлено в соответствие некоторое число ||S||, которое называется нормой этого вектора. При этом должны выполнятся следующие аксиомы:

1) норма неотрицательна: ||S||≥0, ||S||=0, когда S=0;

2) для любого числа “а” (оно может быть комплексным) справедливо равенство ||a×S||=|a|×||S||;

3) если S_i L и S_j L, то выполняется неравенство треугольника: ||S_i+S_j|| ≤ ||S_i||+||S_j||.

Норму вещественных сигналов определяют как

 или  ,

для комплексных сигналов

        ,

здесь (-∞, +∞) – область существования сигнала, но можно и интервал (t₁, t₂).

Квадрат нормы сигнала носит название энергии сигнала: .

Физическая трактовка: именно такая энергия выделяется в резисторе сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах действует напряжение S(t).

 

Метрическое линейное пространство

Линейное пространство сигналов L является метрическим, если каждой паре сигналов S_i(t) L, S_j(t) L сопоставлено некоторое неотрицательное число d(S_i,S_j), называемое метрикой или расстоянием между этими сигналами.

При этом должны выполнятся следующие аксиомы:

1) d(S_i, S_j)>0, d(, )=0 для любого S_i(t) L,

2) d(S_i, S_j) = d(S_j, S_i) – рефлексивность метрики,

3) для любых 3-х сигналов S_i(t) L, S_j(t) L, S_l(t) L, имеет место неравенство (неравенство треугольника) d(S_i, S_j) ≤ d(S_i, S_l) + d(S_j, S_l).

Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов: d(S_i, S_j)=||S_i-S_j||.

 

Скалярное произведение сигналов

Скалярное произведение двух вещественных сигналов определяется выражениями

 

(норма сигнала уподобляется модулю вектора), а косинус угла между ними

          .

Свойства скалярного произведения:

1) (, ) ≥ 0,

2) (S_i, S_j) = (S_j, S_i), 

3) (a×S_i, S_j) = a×(S_i, S_j), где а – вещественное число,

4) (S_i+Sj, S_l) = (S_i, S_l)+ (S_j, S_l).

 

Линейное нормированное метрическое пространство с введенным скалярным произведением называется вещественным пространством сигналов Гильберта.

Если сигналы комплексные, то введя скалярное произведение сигналов как

,

мы определяем комплексное гильбертово пространство, при этом (S_i, S_j) = (S_i, S_j)^*.

 

Ортогональные сигналы и обобщенный ряд Фурье

Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение, а следовательно, и их взаимная энергия = 0:

 – ортогональность с весом (t).

Если во введенном ранее нами координатном базисе {e₀, e₁, …} все векторы ортогональны друг другу, то

В этом случае говорят, что в линейном нормированном метрическом пространстве задан ортогональный базис.

Если при этом подмножество {e₀, e₁, …} бесконечно, то введенные нами ранее представления сигнала в виде суммы  принимает вид: .

Последнее представление сигнала в виде бесконечного ряда называется обобщенным рядом Фурье.

Для нахождения коэффициентов этого ряда обе части умножим на произвольную базисную функцию e_j(t) и проинтегрируем по области определения множества сигналов:

,

так как

Тогда для вещественных сигналов

 

Для комплексных сигналов

 .

Если множество векторов, образующих ортогональный базис {e₀, e₁, …}, таково, что эти векторы имеют единичные нормы, т.е.

 то говорят, что задан ортонормированный базис.

Если ортогональный базис не бесконечен, то говорят не об обобщенном ряде Фурье, а о разложении сигнала S(t) в ряд в заданном ортогональном базисе.

 

Примеры ортогорнальных базисов

 

1. Ортогональная система экспоненциальных функций:

…, e^-j2Ωt, e^{- jΩt}, 1, e ^jΩt, e ^j2Ωt, …

Функции ортогональны на периоде сигнала Т, при этом .

Ряд Фурье имеет вид

      

и называется комплексным рядом Фурье.

Норма базисных функций имеет вид

 для всех n.

Базисные функции ортогональны:

=0,

.

Коэффициенты ряда Фурье:

.

При этом .

С использованием этих формул ряд Фурье приводится к виду

.

Для коэффициентов ряда и фазовых углов имеют место соотношения:

| C _-n|=| C _n|;    Ө_-n=-Ө_n.

Можно показать (проверить самим), что любая пара слагаемых комплексного ряда Фурье, симметрично расположенных относительно n=0, с использованием этих свойств в сумме дает одно вещественное колебание.

При этом из комплексного ряда Фурье следует тригонометрический ряд Фурье в виде

.

Известна другая форма записи тригонометрического ряда Фурье:

где .

Сравнивая оба ряда видим, что

;

или

;        ,     для всех n≥0.

 

2. Тригонометрическому ряду Фурье соответствует ортогональная система тригонометрических функций (эта система приведена в книге [1] И.С.Гоноровского “Радиотехнические цепи и сигналы”, 1986 г.):

1, cosΩt, sinΩt, cos2Ωt, sin2Ωt, …                   

Интервал ортогональности тот же: .

Квадраты нормы базисных функций имеют вид

;

.

Выбранную ортогональную систему тригонометрических функций можно сделать ортонормированной, если в сами функции ввести поправочные коэффициенты, чтобы нормы функций были = 1 (эта система приведена в книге [2] С.И. Баскакова “Радиотехнические цепи и сигналы”, 1983 г.):

 

Замечание:

1) Совокупность коэффициентов | C _n| комплексного ряда Фурье с учетом их зависимости от частоты есть амплитудно-частотный спектр сигнала (АЧС):

 

 

                                            Рис.1. Амлитудно-частотный спектр сигнала

 

2) Зависимость фазы членов ряда Фурье от частоты есть фазо-частотная характеристика сигнала (ФЧС). Строится для конкретного сигнала:

                  

                        Рис.2. Фазо-частотный спектр сигнала

 

3. Ортонормированная система функций Уолша.

Ниже на рисунке в колонке справа приведены 8 первых функций Уолша.

 

4. Мультипликативно-ортогональный базис.

Ниже на рисунке в колонке слева приведены 8 первых функций этого базиса.

 

Рис.3. Мультипликативно-ортогональный базис (слева) и базис функций УОЛША

 

Нетрудно убедиться в том, что все базисные функции ортогональны.

В настоящее время известно достаточно большое число ортогональных базисов.

Так, для представления непрерывных сигналов часто используются ортогональные полиномы и функции Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и т.д.

 

1. Полиномы Лежандра (первого рода) определяются по формуле:

 ,

Они ортогональны на интервале (-1, +1). При n-целом полиномы содержат конечное число членов.

 

2. Полиномы Чебышева (первого рода) определяются по формуле:

.

Полиномы Чебышева ортогональны с весом " " на интервале (-1, 1):

 

3. Полиномы и функции Лагерра определяются формулами:

Эти полиномы ортогональны на полуоси 0<x<∞ с весом “ ”.

Так как полиномы Лагерра расходящиеся, то удобно пользоваться функциями Лагерра , которые ортогональны свесом =1.

 

4. Полиномы Эрмита определяются формулой

.

Они ортогональны на всей оси (-∞,∞) с весом :

.

Более подробно см. [1] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы, 1986, гл.14.

 

Замечание.

1. Среди разнообразных систем ортогональных функций, используемых для представления сигналов, исключительно важное место занимают гармонические функции. Почему?

Дело в том, что есть два фактора, определяющие эти свойства.

1) Эти функции технически реализуются наиболее простым способом.

2) Они не изменяют свою форму при прохождении через линейные цепи, изменяются лишь амплитуда и начальная фаза.

Раздел теории сигналов, в котором для представления сигналов используются исключительно гармонические функции с различными частотами, называется спектральным представлением сигналов или спектральным разложением сигналов.

Представление сигналов в виде рядов по другим системам ортогональных функций носит название «временного представления сигналов».

 

 

В технической литературе можно встретить использование ряда Фурье для спектрального представления непериодического сигнала.

Суть здесь в следующем.

Пусть задан сигнал S(t) на интервале (t₁,t₂). Чтобы разложить его в ряд Фурье его следует сделать сначала периодическим с некоторым произвольно выбранным периодом Т, а затем разложить в ряд Фурье по уже известным правилам.

 

 

             Рис.4. Преобразование непериодического сигнала в периодический

 

 При этом следует помнить, что полученный ряд Фурье будет сходится к сигналу на интервале (t₁,t₂) и не будет сходиться к нему за пределами интервала (t₁,t₂), т.к. там S(t)=0.

От выбранного периода Т будет зависеть вид спектра.

Лекция 2