Составление двойственной задачи

Рассмотрим две задачи линейного программирования:

 

1. Максимизировать функцию	2. Минимизировать функцию
(5.1.1)  F = c1x1 + c2x2 +... + cnxn  при ограничениях	Z = b1y1 +b2y2 +... + bmym  при ограничениях	(2.14)

Эти задачи обладают следующими свойствами:

1. В одной задаче ищется максимум линейной формы, а в другой - минимум.

2. Коэффициенты при переменных в линейной форме одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи и, наоборот, свободные члены системы ограничений одной задачи являются коэффициентами при переменных в линейной форме другой задачи.

3. В каждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, причем все они одного смысла, а именно: в задаче, в которой ищется максимум линейной формы, все неравенства вида «», а в задаче, в которой находится минимум линейной формы,^_ противоположного смысла, т. е. «».

4. Коэффициенты при переменных систем ограничений описываются матрицами транспонированными относительно друг друга:

	a11	a12	...	a1n		a11	a21	...	am1
А=	a21	a22	...	a2n	А’=	a12	a22	...	am2
	...	...	...	...		...	...	...	...
	am1	am2	...	am,n		a1n	a2n	...	am,n

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.

6. Условия неотрицательности переменных сохраняются в обеих задачах.

Две задачи линейного программирования, удовлетворяющие указанным выше шести условиям, называются взаимно двойственными задачами.

Первоначальную задачу будем называть исходной, или прямой, при этом любую из взаимно двойственных задач можно рассматривать как исходную.

Отсюда вытекают следующие правила составления задачи, двойственной исходной (данной):

1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному виду, а именно: если в исходной задаче ищется максимум линейной формы, то все неравенства системы ограничений привести к виду «», а если минимум ^_ то к виду «». Для этого неравенства, в которых это требование не выполняется, умножить на (-1).

2. Выписать матрицу А коэффициентов при переменных исходной задачи, полученных после преобразований, указанных в пункте 1, и транспонировать ее.

3. Составить систему ограничений двойственной задачи, для чего коэффициентами при переменных взять элементы транспонированной матрицы А^’, неравенствам придать противоположный по сравнению с неравенствами пункта 1 смысл, а в качестве свободных членов взять коэффициенты при переменных линейной формы исходной задачи.

4. Составить линейную форму двойственной задачи, взяв коэффициентами при переменных свободные члены системы ограничений исходной задачи, полученные после преобразований пункта 1.

5. Указать, что необходимо найти при решении задачи, а именно: минимум линейной формы, если в исходной задаче ищется максимум, и максимум, если в исходной задаче ищется минимум.

6. Записать условие неотрицательности переменных двойственной задачи.