Краткое теоретическое введение.

В настоящей работе изучаются свободные угловые колебания спирального

маятника, который схематически изображен на рис.6.1.

    

Маятник движется под действием момента сил упругости спиральной

пружины М=- , где - коэффициент жесткости, и под действием момента

сил трения , где r- коэффициент трения и - угловая скорость.

Согласно основному закону динамики вращательного движения имеем

                                ,                                   (1)

где I- момент инерции маятника и  - его угловое ускорение. Обозначив

                                                 , ,                                (2)

уравнение (1) можно представить в виде

                                 ,                                             (3)

где - собственная циклическая частота и b-коэффициент затухания.

Общее решение этого дифференциального уравнения в случае малого трения, т.е. когда _, имеет вид:

                                 ,                                         (4)

 

где , а  и - начальная амплитуда и начальная фаза колебаний. График зависимости от времени угла смещения  представлен на рис. 6.1.

Из (4) следует, что амплитуда затухающих колебаний

                                       .                                                     (5)

Для характеристики колебательной системы вводят физические величины:

1. Декремент затухания , равный отношению двух соседних амплитуд, т.е.                          .                                        (6)

2. Логарифмический декремент затухания  

                                                                                      (7)

3. Время релаксации - время в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e 2, 72 раз. Из (5) при  имеем

                           =>    =>                      (8)

- За время  система успевает совершить N_e=t¤T колебаний. Из (7) и (8) имеем       

                                 N_e=t¤T = 1/ =>                            (9)

4. Добротность колебательной системы

                                   .                                   (10)

где E – полный запас энергии колебательной системы, - энергия, теряемая за время одного колебания. При малом трении добротность                                                                                            (11)

Постановка задач и проведение экспериментов.

Основными задачами данной работы являются:

-экспериментально подтвердить периодичность колебаний;

-экспериментально подтвердить экспоненциальный закон убывания амплитуды колебаний маятника;

 -определить характеристики маятника: Т, Q, , .

Для решения этих задач достаточно измерить амплитудные углы , ,…  маятника при совершении m =0, 1, 3, 5,… полных колебаний, а также промежутки времени t ₁, t ₃,,… t_m, за которые совершаются эти колебания. Измерения углов  проводят с помощью кругового лимба, а промежутков времени t _m - с помощью электронного секундомера. Результаты измерений заносят в таблицу. Последнюю строку таблицы заполняют путем расчета значений .

Таблица 1.

m	0	1	3	5	7	10	13	16	20	25	30	=
tm	0
j m
												1

Задание 1. Построить на миллиметровке график зависимости t_m =f(m). Для периодических колебаний величина t_m = Tm, где Т -период колебаний, т.е. график будет представлен прямой линией. Поэтому, выделяя из графика прямолинейный участок, можно найти такую область значений m, для которых движение маятника являются периодическим. По тангенсу угла наклона этого участка найти период колебания маятника Т.

Задание 2. Построить график зависимости =f(t_m). В явном виде она имеет вид , поэтому прямолинейный участок этого графика определяет область значений t _m,  и , для которых справедлив экспоненциальный закон убывания амплитуды(5). Коэффициент затухания  находят по тангенсу наклона этого участка.

В общей линейной области значений t _m,  и  колебания маятника достаточно хорошо описываются законом движения (4). Анализируют причины нарушения закона (4) и рассматривают способы их устранения.

Задание 3. Определить основные характеристики маятника с помощью формул (7-11) на основе найденных значений периода Т и коэффициента затухания . Результаты заносят в таблицу 2.

Таблица 2.

T

Задание 4. Измерить такое число колебаний m=  и время колебаний t = , для которых отношение  тогда

                              .                                                 (15)

Результаты измерений заносят в последний столбик таблицы 1.

Найденные различными способами значения  и  сравнивают друг с другом и анализируют результат.