Краткие теоретические сведения.

Тема 1. Определители.

Квадратной матрицей порядка  называется квадратная таблица из чисел  (, ): , состоящая из  строк и  столбцов. У квадратной матрицы различают главную диагональ:  и побочную диагональ: . Любой квадратной матрице  порядка  можно поставить в соответствие число , равное алгебраической сумме  слагаемых, составленных определённым образом из элементов  матрицы , называемое определителем матрицы. Кратко обозначается , .

Определителем 1-ого порядка называется число .

Определителем 2-ого порядка называется число

.

Определителем 3-его порядка называется число

.

Минором элемента  называется определитель , полученный из определителя  вычёркиванием -ой строки и -ого столбца.

Алгебраическим дополнением   элемента  называется его минор , взятый со знаком :

.

Определителем порядка  называется число

Разложением определителя  по -ой строке () называется соотношение:   .

Разложением определителя  по -ому столбцу () называется соотношение:

Определители обладают следующими свойствами:

1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;

2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;

3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);

5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;

6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов:   .    

Тема 2. Матрицы.

Матрицей размера   называется прямоугольная таблица из чисел  (, ): , состоящая из  строк и  столбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут .

Если , то матрица  называется квадратной.

Нулевой называется матрица , все элементы которой равны нулю, например: . Единичной называется квадратная матрица , на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например: . Треугольной называется квадратная матрица , все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например: . Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица , все элементы которой, расположенные ниже элементов  равны нулю, например: .

Матрицы  и  называются равными и пишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны: , , .

Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.

Транспонированной к матрице  называется матрица , столбцами которой являются соответствующие строки матрицы .

Суммой (разностью) матриц  и  одного размера , называется матрица   того же размера, для которой:

, , .

Произведением матрицы  размера  на число  называется матрица  того же размера, для которой: , , .

Линейной комбинацией матриц   и  одного размера , называется матрица  того же размера (  и  - произвольные числа), для которой:            , , ,

Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица , каждый элемент которой  вычисляется по правилу:  

 , , .

Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы  равно числу строк правой матрицы . Такие матрицы называются согласованнымидля умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): . Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае: , т.е. переместительное свойство места не имеет.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

4) вычёркивание нулевой строки (столбца).

Матрицы  и , полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентными и пишут .

Обратной к квадратной матрице  порядка , называется матрица  того же порядка, если: , где - единичная матрица порядка .

Квадратная матрица  называется невырожденной, если её определитель . Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.

Основными методами вычисления обратной матрицы являются:

Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то , где  - присоединённая матрица, для которой: . Здесь  - алгебраические дополнения элементов  матрицы .

В частности, если , то

Метод элементарных преобразований. Для данной квадратной матрицы  порядка  строится прямоугольная матрица  размера  приписыванием к  справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица  приводится к виду , что всегда возможно, если  - невырожденная.

Матричными называются уравнения вида: , , ,

где матрицы  - известны, матрица - неизвестна. Если квадратные матрицы  и  - невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде: , , .

Минором -ого порядка матрицы   размера  называется определитель  квадратной матрицы порядка , образованной элементами матрицы , стоящими на пересечении произвольно выбранных её  строк и  столбцов . Максимальный порядок  отличных от нуля миноров матрицы , называется её рангом и обозначается  или , а любой минор порядка , отличный от нуля – базисным  минором.

Тема 3. Системы линейных уравнений. Модель Леонтьева.

…Система уравнений вида:  называется системой  линейных уравнений с  неизвестными. Числа  называются коэффициентами системы,  - свободными членами системы,  - неизвестными системы.

В матричной форме система имеет вид: , где , , .Здесь -матрица системы, -матрица-столбец неизвестных, -матрица-столбец свободных членов.

Если , то система называется однородной, в противном случае неоднородной.

Система, матрица  которой является треугольной с диагональными элементами , называется треугольной. Система, матрица  которой является трапециевидной, называется трапециевидной.  

Решением системы называется всякий упорядоченный набор чисел , обращающий каждое уравнение системы в равенство. Совокупность всех решений называется множеством решений системы.

Система называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение; определённой, если она имеет только одно решение; неопределённой, если она имеет бесконечно много решений; несовместной, если она не имеет решений.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение . Треугольная система является определённой, трапециевидная система – неопределённой.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Элементарными преобразованиями систем уравнений называются:

1) перестановка уравнений;

2) перестановка местами слагаемых  в каждом из уравнений системы;

3) умножение уравнения на число, отличное от нуля;

4) прибавление к уравнению другого, умноженного на любое число;

5) вычёркивание уравнения вида: .

Основными точными методами решения систем линейных уравнений являются методы: Крамера, обратной матрицы и Гаусса.

Если число уравнений в системе  совпадает с числом неизвестных  и определитель матрицы системы , то система имеет единственное решение, которое можно найти:

а) методом Крамера по формулам: , , где - определитель, получаемый из определителя матрицы системы  заменой -ого столбца на столбец свободных членов;

б ) методом обратной матрицы по формуле .

Методом Гаусса находят решение произвольной системы линейных уравнений. Метод состоит в приведении системы уравнений, с помощью элементарных преобразований, к системе специального вида, эквивалентной исходной, решение которой очевидно. Преобразования по методу Гаусса выполняют в два этапа. Первый этап называют прямым ходом, второй - обратным.

В результате прямого хода выясняют: совместна или нет система и если совместна то, сколько имеет решений - одно или бесконечно много, а также, в случае бесконечного множества решений, указывают базисные и свободные неизвестные для записи общего решения системы. Преобразования прямого хода выполняют, как правило, над расширенной матрицей системы , которую получают, приписывая справа к матрице системы  столбец свободных членов . В результате элементарных преобразований строк и перестановкой столбцов, матрица системы  должна быть приведена к матрице  треугольного или трапециевидного вида с элементами . При этом, система уравнений, матрица которой , является треугольной с диагональными элементами   , будет иметь единственное решение; система уравнений, матрица которой , является трапециевидной с элементами , будет иметь бесконечно много решений. Если, при выполнении преобразований расширенной матрицы , в преобразованной матрице  появится строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений. Базисные неизвестные указывают, выписывая базисный минор преобразованной матрицы системы . Базисными являются неизвестные преобразованной системы, столбцы коэффициентов  при которых образуют базисный минор (определитель максимального порядка, отличный от нуля). Свободными являются неизвестные, не являющиеся базисными.

В результате обратного хода находят решение системы, записывая его в виде общего решения, если их бесконечно много. Преобразования обратного хода часто выполняют, над уравнениями системы, соответствующей последней расширенной матрице  прямого хода. В случае единственного решения, его получают, находя последовательно значения всех неизвестных из уравнений системы, начиная с последнего. В случае, когда решений бесконечно много, их записывают в виде общего решения. Для этого свободным неизвестным придают разные произвольные постоянные значения: , ,…, , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находят значения всех базисных неизвестных. Полученное решение называют общим. Придавая произвольным постоянным, конкретные значения, находят частные решения системы уравнений.

Уравнениямимежотраслевого баланса, описывающими процесс производства и потребления продукции -отраслевой экономикой, называют уравнения  (), где - объём выпуска валовой продукции -ой отраслью, - объём продукции -ой отрасли, потребляемый -ой отраслью для производства своей продукции,  - объём выпуска конечной продукции -ой отраслью, предназначенной для реализации в непроизводственной сфере.

Если предположить, что  (гипотеза линейности), где  - постоянные числа, характеризующие технологию производства (показывают затраты продукции -ой отрасли на производство 1 единицы продукции -ой отрасли) и называемые коэффициентами прямых затрат, то уравнения межотраслевого баланса запишутся в виде:  (). Их называют уравнениями линейного межотраслевого баланса или линейной моделью Леонтьева многоотраслевой экономики и записывают, как правило, в матричном виде: , где - единичная матрица; - матрица коэффициентов прямых затрат;  и  - векторы (матрицы-столбцы) валового и конечного продукта, соответственно.

Основная задача линейного межотраслевого баланса состоит в отыскании вектора , который при известной матрице прямых затрат  обеспечивает заданный вектор конечного продукта . Вектор  находится по формуле , где - матрица коэффициентов полных затрат, элемент  которой показывает величину валового выпуска продукции -ой отрасли, необходимой для обеспечения выпуска 1 единицы конечного продукта -ой отрасли. Решение такой задачи существует только для продуктивных матриц .

Матрица  называется продуктивной, если для любого вектора  существует решение  уравнения Леонтьева: .

Матрица  будет продуктивной, если сумма элементов по каждому её столбцу (строке) не превосходит единицы: , причём хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство данной отрасли. Объёмы  выпуска чистой продукции -ой отрасли вычисляют по формулам:  ().

Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.

Арифметическим вектором называют упорядоченную совокупность из  чисел:  и обозначают . Числа  называют компонентами вектора , число компонент называют его размерностью.

Векторы  и  называют равными, если они одинаковой размерности и их соответствующие компоненты равны: , .

Суммой векторов  и  одной размерности, называют вектор  той же размерности, для которого: , .

Произведением вектора   на число  называют вектор  той же размерности, для которого: , .

Линейной комбинациейвекторов  и  одной размерности, называют вектор  той же размерности (  и  - произвольные числа), для которого: , .

Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называют векторнымпространством и обозначают .

Систему векторов  называют линейно зависимой, если найдутся числа ,  одновременно, такие, что  (где - нулевой вектор), в противном случае, систему называют линейно независимой.

Базисом системы векторов  называют упорядоченную систему векторов , удовлетворяющую условиям:

1) , ; 2) система  линейно независима; 3) для любого вектора  найдутся числа  такие, что . Коэффициенты , однозначно определяемые вектором , называют координатами вектора в базисе , а формулу называют разложениемвектора   по базису  и пишут: .

В пространстве  базисом является каждая упорядоченная система из  линейно независимых векторов: . Формулу  называют разложениемвектора   по базису , коэффициенты  - координатами вектора в базисе  и пишут . 

Всякая упорядоченная система из  векторов образует базис , если определитель, столбцами которого являются компоненты векторов , не равен нулю.

Пространство , в котором введено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определённым требованиям (аксиомам), называют евклидовым. Скалярным произведением двух векторов  и  называют число: .

Тема 5. Линейные операторы. Собственные числа и векторы.

Оператором называется закон (правило), по которому каждому вектору  ставится в соответствие единственный вектор , и пишут  или  В дальнейшем, рассматривается случай  (преобразование пространства ). Оператор  называется линейным, если для любых векторов  и действительных чисел  выполнено условие: .

Если  - базис пространства , то матрицей линейного оператора  в базисе  называется квадратная матрица  порядка , столбцами которой являются столбцы координат векторов . Между линейными операторами, действующими в  и квадратными матрицами порядка , существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет оператор  представить в матричном виде , где  - матрицы-столбцы координат векторов ,  - матрица оператора  в базисе  .

Для линейных операторов, действующих в  вводятся следующие операции: 1) сложение операторов: ; 2 ) умножение операторов на число: ; 3) умножение операторов: .

Обратным к оператору  называется оператор  такой, что , где  - единичный (тождественный) оператор, реализующий отображение . Обратный оператор  существует только для невырожденных операторов  (операторов, матрица которых является невырожденной). Все, рассмотренные выше, действия над линейными операторами выполняют, выполняя аналогичные действия над их матрицами.

Пусть число  и вектор , , таковы, что выполняются равенства:  или . Тогда число  называется собственным числом линейного оператора  (или матрицы ), а вектор  - собственным вектором этого оператора (или матрицы), соответствующим собственному числу . Равенство  может быть записано в виде , где  - единичная матрица порядка ,  - матрица-столбец координат собственного вектора , соответствующего собственному числу ,  - нулевая матрица-столбец.

Характеристическим уравнением оператора  (или матрицы ) называется уравнение: .

Множество собственных чисел оператора (или матрицы) совпадает с множеством корней его характеристического уравнения: , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: .

Тема 6. Квадратичные формы.

Квадратичной формой  (или кратко  ) от -переменных называется однородный многочлен второй степени с действительными коэффициентами: , где