Раздел I . Линейная алгебра.

1. Понятие матрицы. Частные виды матриц (квадратная, треугольная, диагональная, нулевая, единичная). Элементарные преобразования матриц. Понятие эквивалентности и равенства матриц.

2. Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) и их свойства. Линейная комбинация матриц.

3. Определители 2-ого и 3-егопорядка, их вычисление. Основные свойства определителей.

4. Понятие определителя n-ого порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

5. Понятие системы линейных уравнений (СЛУ). Частные виды СЛУ (квадратная, однородная, неоднородная). Матрица, расширенная матрица, определитель СЛУ.

6. Решение, множество решений, совместность, несовместность, определённость, неопределённость, эквивалентность СЛУ. Элементарные преобразования СЛУ, их основное свойство.

7. Теорема Крамера (о разрешимости СЛУ порядка ). Формулы Крамера для решения СЛУ, условия их применимости.

8. Метод Гаусса решения СЛУ, условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛУ по методу Гаусса.

9. Преобразования СЛУ, выполняемые при выполнении прямого и обратного ходов метода Гаусса. Базисные и свободные переменные. Нахождение общего решения СЛУ. Частные решения СЛУ.

10. Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.

11. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛУ и условия его применимости.

12. Однородные СЛУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛУ.

13. Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронеккера-Капелли).

14. Понятие -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). Линейная комбинация векторов.

15. Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

16. Система векторов и её линейная комбинация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.

17. Понятие векторного пространства , евклидова пространства . Базис, канонический базис, ранг . Разложение вектора в  по векторам его базиса, координаты вектора. Теорема о единственности разложения вектора в данном базисе.

18. Понятие оператора, линейного оператора. Матрица линейного оператора. Сумма (разность) операторов, произведение оператора на число, произведение оператора на оператор, обратный оператор.

19. Понятие собственного числа и собственного вектора оператора. Характеристическое уравнение. Нахождение собственных чисел и векторов оператора.

20. Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Вырожденная, невырожденная, каноническая квадратичная форма. Закон инерции квадратичных форм.

21. Понятие знакоопределённости квадратичной формы. Главные миноры. Критерии знакоопределённости квадратичной формы.

 

Раздел II. Векторная алгебра.

22. Понятие геометрического вектора. Равенство векторов. Противоположный вектор. Орт вектора. Графические правила сложения, вычитания, умножения вектора на число. Проекция вектора на вектор.

23. Коллинеарность и компланарность векторов. Базис и канонический базис плоскости ; базис и канонический базис пространства . Координаты вектора.

24. Понятие декартовой системы координат в . Радиус-вектор, координаты точки. Вычисление длины и направляющих косинусов вектора; координат вектора, заданного двумя точками; расстояния между точками.

25. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Вычисление угла между векторами. Условие ортогональности векторов.

26. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Условие коллинеарности векторов.

27. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности векторов.

Раздел III. Аналитическая геометрия.

28. Понятие линии на плоскости. Общее уравнение линии и его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Окружность и её уравнение.

29. Прямая линия на плоскости и её общее уравнение. Нормальный и направляющий векторы прямой. Нахождение уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение прямой.

30. Каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в отрезках. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости и его вычисление, условия  и ½½ прямых.

31. Понятие поверхности. Общее уравнение поверхности, его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Сфера и её уравнение.

32. Плоскость и её общее уравнение. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение плоскости.

33. Уравнение плоскости, проходящей через три точки; уравнение плоскости в отрезках. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, условия перпендикулярности и параллельности плоскостей.

34. Понятие линии в пространстве и её общее уравнение. Прямая линия в пространстве и её общее уравнение. Направляющий вектор прямой.

35. Уравнения прямой в пространстве: каноническое, проходящей через две точки; параметрическое. Приведение общего уравнения к каноническому.

36. Угол между двумя прямыми в пространстве, между прямой и плоскостью и их вычисление, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых, прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

37. Кривая 2-ого порядка на плоскости и её общее уравнение. Классификация кривых 2-ого порядка.

38. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Построение эллипса. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, общее геометрическое свойство точек эллипса.

39. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Построение гиперболы. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, асимптоты, общее геометрическое свойство точек гиперболы.

40. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Построение параболы. Вершина, фокус, эксцентриситет, директриса, общее геометрическое свойство точек параболы.

41. Область решений линейного неравенства, системы линейных неравенств в . Графическое изображение области решений системы линейных неравенств в .

Приложения.

6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по  строке;

б) непосредственным разложением по  столбцу;

Решение. а) вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: = .

                                            

                                       

                                               

Тогда = =

б) вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам второго столбца: = .

                                       

                                          

                                               

Тогда = = .

Ответ: .

11-20. Найти матрицу , если:

,      .

Решение:

1) Транспонируем матрицу : .

2) Вычисляем произведение матриц :       

.

3) Находим матрицу :       

.

4) Находим матрицу :   

.

Ответ: .

21-30. Найти собственные числа и векторы матрицы .

Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы : , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: , определяемым методом Гаусса.

Решение:

1) Составляем характеристическое уравнение матрицы :

.

Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):

, .

Таким образом, собственными числами матрицы  являются:  и .

2) Находим собственные векторы матрицы , отвечающие различным собственным числам  и .

2.1) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :  

или

,

записываем его в виде системы линейных уравнений:  и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Такая система имеет бесконечно много решений, которые записывают в виде общего решения. Для записи общего решения этой системы указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисными являются неизвестные, столбцы коэффициентов системы при которых образуют базисный минор матрицы этой системы. Такой минор образует, например, столбец коэффициентов при неизвестной : . Поэтому выбираем в качестве базисной – неизвестную , тогда свободными будут неизвестные  и . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , где , , одновременно, и выражаем через них значение базисной неизвестной из уравнения системы: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу  будет иметь вид: .

2.2) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :    

или

,

записываем его в виде системы линейных уравнений:  и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно,  эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных  и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные  и , тогда свободной будет неизвестная . Свободной неизвестной придаём произвольное постоянное значение: , где  и выражаем через неё значения базисных неизвестных  и  из уравнений системы специального (трапециевидного) вида, начиная с последнего уравнения: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу , будет иметь вид: , .

Ответ: , , , ;

             , , .

31 – 40. Дана система уравнений: .         Требуется:

а) найти решение системы методом Крамера;  б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.

Решение.

А) Метод Крамера.

1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

                                             .

2а) Так как , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:          

3а) Вычисляем определители :

,

,

.

4а) Находим решение: .

5а) Выполняем проверку: .

Ответ: .

Б) Метод обратной матрицы.

1б) Записываем систему уравнений в матричном виде:

или

2б) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

3б) Так как , то матрица системы  имеет обратную матрицу  и единственное решение системы определяется формулой:                              

или

4б) Находим обратную матрицу  (методом присоединённой матрицы):

.

      

      

Тогда .

5б) Находим решение:

.

6б) Выполняем проверку: .

Ответ: .

В) Метод Гаусса.

1в) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

В результате прямого хода матрица системы  должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице  треугольного или трапециевидного вида с элементами . Система уравнений, матрица которой  является треугольной с элементами , имеет единственное решение, а система уравнений, матрица которой  является трапециевидной с элементами , имеет бесконечно много решений.

. В результате элементарных преобразований матрица  системы преобразована к специальному виду . Система уравнений, матрица которой , является треугольной с ненулевыми диагональными элементами , имеет всегда единственное решение, которое находим, выполняя обратный ход.

Замечание. Если при выполнение преобразования расширенной матрицы  в преобразованной матрице  появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.

3в) Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода:  и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех неизвестных: .

4в) Выполняем проверку: .

Ответ: .

 

 

41-50. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:

а) .

Решение.

1а) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

.

Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных  и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные  и , тогда свободными будут неизвестные  и .

3а) Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: .

Тогда общее решение системы запишется в виде: .

4а) Выполняем проверку:

.

Ответ: .

б) .

Решение.

1а) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

Замечание. В результате прямого хода матрица системы  должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице  треугольного или трапециевидного вида с элементами .

 Если, при выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице  появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.

Для выполнения условия может потребоваться перестановка местами столбцов матрицы системы. Если при выполнении преобразований прямого хода в матрице системы переставлялись местами столбцы коэффициентов при неизвестных, то в дальнейшем, при записи системы уравнений, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода, это следует учесть.

.

Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы, с учётом перестановки местами столбцов, образуют первый и второй столбцы коэффициентов при неизвестных  и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные  и , тогда свободными будут неизвестные  и .

3б) Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: .      

Тогда общее решение системы запишется в виде:

4б) Выполняем проверку:

Ответ: .

в) .

Решение.

1в) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

.

При выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице  появилась строка , соответствующая уравнению , которому не удовлетворяет ни один набор значений неизвестных , что говорит о несовместности исходной системы уравнений.

Ответ:  Система несовместна.

51 – 60. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра).

а) ; б)

Решение.

1а) Записываем матрицу квадратичной формы: .

2а) Проверяем является ли матрица  невырожденной. Для этого вычисляем её определитель  и проверяем, равен ли он нулю: . Так как , то матрица  - невырожденная и, следовательно, для исследования квадратичной формы на знакоопределённость можно применить критерий Сильвестра.

3а) Вычисляем угловые миноры матрицы  и делаем вывод о знакоопределённости квадратичной формы: , , . Так как выполняется условие: , , , то по критерию Сильвестра квадратичная форма положительно определена.

Ответ: Квадратичная форма положительно определена.

1б) Записываем матрицу квадратичной формы: .

2б) Вычисляем её определитель  и проверяем, равен ли он нулю: . Так как , то матрица  - невырожденная и, следовательно, для исследования квадратичной формы на знакоопределённость можно применить критерий Сильвестра.

3б) Вычисляем угловые миноры матрицы  и делаем вывод о знакоопределённости квадратичной формы: , , . Так как два угловых минора нечётного порядка имеют разные знаки: , , то по критерию Сильвестра квадратичная форма знакопеременна.

Ответ: Квадратичная форма знакопеременна.

 

61 – 70. Даны векторы : ; ; ; . Требуется: а) вычислить скалярное произведение векторов , если , ; б) вычислить векторное произведение векторов ;       в) показать, что векторы  образуют базис  и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение.

1 a). Находимвектор

= .

2а) Находимвектор

= .

3а) Вычисляем скалярное произведениевекторов :