Учебно-методический комплекс. Учебно-методический комплекс

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

для студентов заочной формы обучения

Г. Набережные Челны

2011

1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.

Цель преподавания дисциплины «Линейная алгебра» -формирование системы базовых знаний по данной дисциплине, которая позволит будущим специалистам решать в своей повседневной деятельности актуальные задачи практики, понимать написанные на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки.

Основными задачами дисциплины являются:

- ознакомление студентов с ролью математики в современной жизни, с характерными чертами математического метода изучения реальных задач;

- обучение студентов теоретическим основам курса;

- привитие практических навыков математического моделирования реальных социально-экономических задач с использованием математического аппарата данного курса;

- развитие у студентов навыков творческого и логического мышления, повышение общего уровня математической культуры.

Данная дисциплина является основой при изучении таких дисциплин, как «Численные методы», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Многомерные статистические методы», «Методы оптимизации», «Исследование операций», «Эконометрика», а также других дисциплин, изучающих современные экономико-математические методы. В свою очередь, для изучения данной дисциплины необходимо знание элементарной математики.

В результате изучения данной дисциплины студент должен:

- знать теоретические основы линейной и векторной алгебры, алгебры многочленов, аналитической геометрии;

- уметь использовать полученные знания для решения практических задач.

Изучение дисциплины предусматривает проведение лекционных, практических занятий и самостоятельную работу студентов. В лекциях излагается содержание тем программы с учётом требований, установленных для специалиста в квалификационной характеристике. Практические занятия проводятся с целью закрепления теоретических основ курса, получения практических навыков решения математических задач. Контроль знаний осуществляется с помощью контрольной работы и итогового экзамена. 

2. Содержание и структура дисциплины.

2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).

Раздел I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

Тема 1. Определители.

Определители 2-ого, 3-его, порядков, порядка n. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Вычисление определителей.

Литература: [1] –C.142-154; [2] – C.22-26; [3] – C.426-431;  [4] – C.263-268.

Тема 2. Матрицы.

Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Линейная зависимость и независимость строк матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Обратная матрица, условие существования, основные способы её нахождения. Матричные уравнения, их решение.

Литература: [1] –C.136-142; 159-165;174-182; [2] – C.9-16; 26-29;    

                     [3] – C.416-426; 431-435;             [4] – C.259-263; 272-276.

Тема 3. Системы линейных уравнений.

Системы линейных уравнений (СЛУ). Основные понятия и определения. Матричная запись СЛУ. Теорема Кронеккера-Капелли. Формулы Крамера. Решение СЛУ методом обратной матрицы. Решение СЛУ методом Гаусса. Базисные и свободные неизвестные. Общее, базисное и опорное решения СЛУ. Однородные системы линейных уравнений, свойства их решений. Условия существования ненулевых решений однородных СЛУ. Фундаментальная система решений. Структура общего решения СЛУ.

Литература:    [1] –C.136-142; 154-159; 165-174;  [2] – C.38-53;     

                        [3] – C.436-457;                                 [4] – C.268-276.

 

Тема 5. Линейные операторы.

Линейный оператор, действия над ними. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов, их свойства и нахождение.      

Литература: [1] –C.202-221;                     [2] – C.78-86.

Тема 6. Квадратичные формы.

Квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы. Критерии знакоопределённости квадратичных форм.

Литература: [1] –C.251-261;             [2] – C.86-91.

Тема 7. Векторная алгебра.

Геометрические векторы на прямой, плоскости и в пространстве, действия над ними. Проекция вектора. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме. Длина и направляющие косинусы вектора. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их свойства, выражение в координатной форме, приложения для решения геометрических задач. Условия перпендикулярности, параллельности и компланарности векторов.

Литература: [1] –C.5-37; [2] – C.63-68; [3] – C.301-305; [4] – C.222-241.

Задания для контрольной работы.

 

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по  строке;

б) непосредственным разложением по  столбцу.

1.     2.      3.

                     

4.       5.        6.

                          

7.       8.     9.      

                           

                                     10.

                                      

11 – 20. Найтиматрицу , если .

11. ,   12. ,

13. ,     14. ,

15. ,    16. ,

17. ,    18. ,

19. ,   20. , .

21 – 30. Найтисобственные числа и собственные векторы матрицы .

21. .  22. .   23. .

24. .   25. .     26. .

27. .   28. . 29. .

                                       30. .

 

31 – 40. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:  а) найти решение системы методом Крамера;

б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы;    в) найти решение системы методом Гаусса.

31.                      32.

33.                     34.

35.                     36.

37.            38.

39.            40.

41–50. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:

41 а) б)

42 а) б)

43. а) б)

44. а) б)

45. а)    б)

46. а)   б)

47. а)      б)

48. а) б)

49. а) б)

50. а)     б)

51 – 60. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра).

51. .

52. .

53. .    

54. .

55. .

56. .

57. .

58. .

59. .

60. .

61 – 70. Даны векторы .  Требуется:                     

а) вычислить скалярное произведение векторов , если , ; б) вычислить векторное произведение векторов ;        в) показать, что векторы  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.

 

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71-80. Даны вершины треугольника . Требуется найти:

а) длину стороны ; б) уравнение стороны ;

в) уравнение медианы , проведённой из вершины ;

г) уравнение высоты , проведённой из вершины ;

д) длину  высоты ; е) площадь  треугольника . Сделать чертёж.

71. .     72.

73.       74.

75.          76.

77.         78.

79.   80.

81 – 90. Даны вершины пирамиды . Требуется найти:

а) длины ребер  и ;                     б) угол между ребрами  и ;

в) площадь грани ;                       г) объем пирамиды ;

д) уравнение плоскости грани ;

е) длину  высоты  пирамиды .

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91–100. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её.

91.                   92.

93.              94.         

95.             96.

97.          98.      

99.                    100.

101-110. Требуется: а) изобразить графически область допустимых решений системы неравенств; б) найти графическим способом решение задачи линейного программирования.

101.   102.  103.  

104.     105.     106.

107.                           108.    

109.                      110.

111-120. Имеются данные о работе трёх отраслей экономики в отчётном периоде и план выпуска конечной продукции  в следующем периоде (в усл. ден. ед.). Требуется, используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, найти: а) матрицы коэффициентов прямых и полных затрат; б) плановые объёмы выпуска валовой продукции каждой из отраслей, межотраслевые поставки и объёмы выпуска чистой продукции. В ответе записать данные межотраслевого баланса планового периода. (Указание: значения коэффициентов прямых и полных затрат вычислить с точностью до 0.01; значения плановых объёмов выпуска валовой и чистой продукции, межотраслевых поставок округлить до целых значений).

111.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	20	10	60	100
II	20	30	20	30	100
III	60	10	20	10	100
Чистый продукт	10	40	50
Валовой продукт	100	100	100

112.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	20	20	25	35	100
II	50	10	10	30	100
III	15	20	40	25	100
Чистый продукт	15	50	25
Валовой продукт	100	100	100

113.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	40	10	40	100
II	10	20	40	30	100
III	20	30	30	20	100
Чистый продукт	60	10	20
Валовой продукт	100	100	100

114.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	40	20	30	100
II	50	20	25	5	100
III	30	20	20	30	100
Чистый продукт	10	20	35
Валовой продукт	100	100	100

115.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	40	30	20	100
II	40	30	20	10	100
III	30	20	40	10	100
Чистый продукт	20	10	10
Валовой продукт	100	100	100

116.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	15	25	30	30	100
II	10	40	20	30	100
III	30	30	30	10	100
Чистый продукт	45	5	20
Валовой продукт	100	100	100

117.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	15	15	25	45	100
II	15	20	30	35	100
III	10	25	20	45	100
Чистый продукт	60	40	25
Валовой продукт	100	100	100

118.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	20	20	50	100
II	20	25	25	30	100
III	25	25	30	20	100
Чистый продукт	45	30	25
Валовой продукт	100	100	100

119.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	25	10	20	45	100
II	25	20	50	5	100
III	10	30	20	40	100
Чистый продукт	40	40	10
Валовой продукт	100	100	100

120.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	15	20	30	35	100
II	30	15	20	35	100
III	10	20	30	40	100
Чистый продукт	45	45	20
Валовой продукт	100	100	100

Вопросы к экзамену.

Приложения.

6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по  строке;

б) непосредственным разложением по  столбцу;

Решение. а) вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: = .

                                            

                                       

                                               

Тогда = =

б) вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам второго столбца: = .

                                       

                                          

                                               

Тогда = = .

Ответ: .

11-20. Найти матрицу , если:

,      .

Решение:

1) Транспонируем матрицу : .

2) Вычисляем произведение матриц :       

.

3) Находим матрицу :       

.

4) Находим матрицу :   

.

Ответ: .

21-30. Найти собственные числа и векторы матрицы .

Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы : , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: , определяемым методом Гаусса.

Решение:

1) Составляем характеристическое уравнение матрицы :

.

Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):

, .

Таким образом, собственными числами матрицы  являются:  и .

2) Находим собственные векторы матрицы , отвечающие различным собственным числам  и .

2.1) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :  

или

,

записываем его в виде системы линейных уравнений:  и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Такая система имеет бесконечно много решений, которые записывают в виде общего решения. Для записи общего решения этой системы указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисными являются неизвестные, столбцы коэффициентов системы при которых образуют базисный минор матрицы этой системы. Такой минор образует, например, столбец коэффициентов при неизвестной : . Поэтому выбираем в качестве базисной – неизвестную , тогда свободными будут неизвестные  и . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , где , , одновременно, и выражаем через них значение базисной неизвестной из уравнения системы: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу  будет иметь вид: .

2.2) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :    

или

,

записываем его в виде системы линейных уравнений:  и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно,  эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных  и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные  и , тогда свободной будет неизвестная . Свободной неизвестной придаём произвольное постоянное значение: , где  и выражаем через неё значения базисных неизвестных  и  из уравнений системы специального (трапециевидного) вида, начиная с последнего уравнения: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу , будет иметь вид: , .

Ответ: , , , ;

             , , .

31 – 40. Дана система уравнений: .         Требуется:

а) найти решение системы методом Крамера;  б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.

Решение.

А) Метод Крамера.

1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

                                             .

2а) Так как , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:          

3а) Вычисляем определители :

,

,

.

4а) Находим решение: .

5а) Выполняем проверку: .

Ответ: .

Б) Метод обратной матрицы.

1б) Записываем систему уравнений в матричном виде:

или

2б) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

3б) Так как , то матрица системы  имеет обратную матрицу  и единственное решение системы определяется формулой:                              

или

4б) Находим обратную матрицу  (методом присоединённой матрицы):