Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.

Системы линейных неравенств. Решение линейных неравенств в . Постановка задачи линейного программирования, графический метод её решения.  

Литература: [5] – C.271-293.

3. Рекомендуемая литература.

Основная литература:

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М: Наука, 1998.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов. Учеб. пособие для вузов. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1997.

3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 1998.

4. Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. -М. Высшая школа, 2002.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Часть 1. Учеб. пособие для втузов. -М: Высшая школа, 1997.

6. Сборник задач по математике для втузов. Часть1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. -М: Наука, 1993.

 

Дополнительная литература:

 

7. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: В 2-х частях. Ч.1. –М.: Финансы и статистика, 2000.

8. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник / Под ред. В.И.Ермакова. М: ИНФРА-М, 1999.

9. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. М.: Физматлит, 2001.

10. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб.пособие для вузов/ Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др. Под ред.проф.Н.Ш.Кремера. –М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

11. Сборник задач по математике для вузов. Под ред. Котляра Л.М., Углова А.Н. -Наб. Челны: Изд-во КамПИ, 2004, 2006, 2007.

 

 

4. Методические указания по изучению дисциплины.

В процессе изучения данной дисциплины студенты должны сначала изучить теоретический материал и выработать навыки решения типовых задач, используя рекомендованную литературу, а затем выполнить одну контрольную работу (задания для контрольной работы приведены в разделе 5.1).

При выполнении контрольной работы необходимо придерживаться указанных ниже правил:

1. Контрольная работа должна быть выполнена студентом в отдельной ученической тетради с полями не менее 3 см для замечаний преподавателя.

2. На обложке тетради указываются: название дисциплины; номер варианта и номера решаемых задач; Ф.И.О. студента, выполнившего работу, его номер группы и номер зачетной книжки; Ф.И.О. преподавателя, проверяющего работу (образец оформления обложки приведён в Приложении 3).

3. Номер варианта соответствует номеру студента в списке группы.

4. Номера решаемых задач выбираются из ТАБЛИЦЫ НОМЕРОВ ВЫПОЛНЯЕМЫХ ЗАДАНИЙ (Приложение 4).

5. Условия задач переписываются полностью, без сокращения слов, после чего приводится их подробное решение (чертежи можно выполнять аккуратно от руки). В конце решения приводится ответ.

6. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по порядку номеров. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

7. Если в работе имеются ошибки, студент должен выполнить все требования преподавателя, изложенные в рецензии, и сдать работу с исправлениями на повторную проверку.

8. Никакие исправления в тексте уже проверенной работы не допускаются, все исправления записываются после рецензии преподавателя с указанием номера задачи, к которой относятся дополнения и исправления.

9. Работа может быть выполнена заново в случае выявления серьёзных замечаний и ошибок.

10. В конце тетради рекомендуется оставлять несколько чистых страниц для дополнений и исправлений.

После проверки контрольная работа предъявляется к защите. На защите студент должен показать свое умение решать задачи, подобные тем, что имеются в его контрольной работе.

Образец решения типового варианта контрольной работы приведён в Приложении 1.

5. Материалы для контроля знаний студентов.

Итоговой формой контроля знаний является экзамен в конце семестра обучения. На экзамене студент должен показать знание теоретических основ курса в объёме вопросов, приведённых в разделе 5.2 и умение решать задачи, подобные тем, что имеются в его контрольной работе.

Задания для контрольной работы.

 

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по  строке;

б) непосредственным разложением по  столбцу.

1.     2.      3.

                     

4.       5.        6.

                          

7.       8.     9.      

                           

                                     10.

                                      

11 – 20. Найтиматрицу , если .

11. ,   12. ,

13. ,     14. ,

15. ,    16. ,

17. ,    18. ,

19. ,   20. , .

21 – 30. Найтисобственные числа и собственные векторы матрицы .

21. .  22. .   23. .

24. .   25. .     26. .

27. .   28. . 29. .

                                       30. .

 

31 – 40. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:  а) найти решение системы методом Крамера;

б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы;    в) найти решение системы методом Гаусса.

31.                      32.

33.                     34.

35.                     36.

37.            38.

39.            40.

41–50. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:

41 а) б)

42 а) б)

43. а) б)

44. а) б)

45. а)    б)

46. а)   б)

47. а)      б)

48. а) б)

49. а) б)

50. а)     б)

51 – 60. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра).

51. .

52. .

53. .    

54. .

55. .

56. .

57. .

58. .

59. .

60. .

61 – 70. Даны векторы .  Требуется:                     

а) вычислить скалярное произведение векторов , если , ; б) вычислить векторное произведение векторов ;        в) показать, что векторы  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.

 

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71-80. Даны вершины треугольника . Требуется найти:

а) длину стороны ; б) уравнение стороны ;

в) уравнение медианы , проведённой из вершины ;

г) уравнение высоты , проведённой из вершины ;

д) длину  высоты ; е) площадь  треугольника . Сделать чертёж.

71. .     72.

73.       74.

75.          76.

77.         78.

79.   80.

81 – 90. Даны вершины пирамиды . Требуется найти:

а) длины ребер  и ;                     б) угол между ребрами  и ;

в) площадь грани ;                       г) объем пирамиды ;

д) уравнение плоскости грани ;

е) длину  высоты  пирамиды .

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91–100. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её.

91.                   92.

93.              94.         

95.             96.

97.          98.      

99.                    100.

101-110. Требуется: а) изобразить графически область допустимых решений системы неравенств; б) найти графическим способом решение задачи линейного программирования.

101.   102.  103.  

104.     105.     106.

107.                           108.    

109.                      110.

111-120. Имеются данные о работе трёх отраслей экономики в отчётном периоде и план выпуска конечной продукции  в следующем периоде (в усл. ден. ед.). Требуется, используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, найти: а) матрицы коэффициентов прямых и полных затрат; б) плановые объёмы выпуска валовой продукции каждой из отраслей, межотраслевые поставки и объёмы выпуска чистой продукции. В ответе записать данные межотраслевого баланса планового периода. (Указание: значения коэффициентов прямых и полных затрат вычислить с точностью до 0.01; значения плановых объёмов выпуска валовой и чистой продукции, межотраслевых поставок округлить до целых значений).

111.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	20	10	60	100
II	20	30	20	30	100
III	60	10	20	10	100
Чистый продукт	10	40	50
Валовой продукт	100	100	100

112.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	20	20	25	35	100
II	50	10	10	30	100
III	15	20	40	25	100
Чистый продукт	15	50	25
Валовой продукт	100	100	100

113.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	40	10	40	100
II	10	20	40	30	100
III	20	30	30	20	100
Чистый продукт	60	10	20
Валовой продукт	100	100	100

114.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	40	20	30	100
II	50	20	25	5	100
III	30	20	20	30	100
Чистый продукт	10	20	35
Валовой продукт	100	100	100

115.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	40	30	20	100
II	40	30	20	10	100
III	30	20	40	10	100
Чистый продукт	20	10	10
Валовой продукт	100	100	100

116.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	15	25	30	30	100
II	10	40	20	30	100
III	30	30	30	10	100
Чистый продукт	45	5	20
Валовой продукт	100	100	100

117.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	15	15	25	45	100
II	15	20	30	35	100
III	10	25	20	45	100
Чистый продукт	60	40	25
Валовой продукт	100	100	100

118.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	20	20	50	100
II	20	25	25	30	100
III	25	25	30	20	100
Чистый продукт	45	30	25
Валовой продукт	100	100	100

119.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	25	10	20	45	100
II	25	20	50	5	100
III	10	30	20	40	100
Чистый продукт	40	40	10
Валовой продукт	100	100	100

120.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	15	20	30	35	100
II	30	15	20	35	100
III	10	20	30	40	100
Чистый продукт	45	45	20
Валовой продукт	100	100	100

Вопросы к экзамену.