Производные критерии в играх с природой

Критерий Гурвица.

  (Принцип, сочетающий оптимистический и пессимистический подходы).

В рассмотрение вводится некая константа  (), называемая показателем пессимизма-оптимизма (коэффициент доверия). Значение  принимается из личного опыта ЛПР или на основе результатов статистических исследований.

ЛПР принимает гипотезу: наихудший вариант состояния природы реализуется с вероятностью , а наилучший - с вероятностью .

В качестве оценки стратегии  берется величина . Оптимальная по данному критерию стратегия  находится из условия .

Замечание. При  данный критерий превращается в критерий крайнего пессимизма (то есть в критерий Вальда), а при     в критерий крайнего оптимизма.          

Замечание. Если матрица результатов представлена матрицей проигрышей (затрат) , то в качестве оценки стратегии  берется величина . Оптимальная по данному критерию стратегия  находится из условия .

Критерий Ходжа – Лемана.

  (Опирается одновременно на ММ-критерий и критерий Байеса-Лапласа).

ЛПР оперирует коэффициентом  (коэффициент достоверности информации) (), выражая численно степень доверия к используемому ряду распределения вероятностей: при   (доверие велико) критерий Ходжа-Лемана переходит в критерий Байеса-Лапласа; при  (доверия нет) становится минимаксным. Выбор коэффициента  производится ЛПР по субъективным параметрам.

ЛПР принимает гипотезу: степень доверия к используемому распределению  вероятностей равна . В качестве оценки стратегии  берется величина.

Оптимальная по данному критерию стратегия  находится из условия .

Замечание.   Здесь величина    –  это математическое ожидание выигрыша при стратегии ,  а величина    –  наименьшее значение выигрыша при стратегии .   Формула для оценки стратегии  может быть записана и так , а оптимальная по данному критерию стратегия  найдена из условия .

 

Критерий Гермейера.

Этот критерий обычно применяют при решении задач, в которых речь идет о затратах, то есть анализируется матрица выигрышей, значения в которой взяты с обратными знаками . Если среди значений «» встречаются  положительные,  то, подобрав подходящим образом некое число  (), переходят  к строго отрицательным значениям с помощью преобразования (),  при подходящем образом подобранном   a > 0.

ЛПР принимает гипотезу: число  выбрано верно.

(ЛПР относится к выбору   весьма ответственно, хорошо понимая,  что оптимальный вариант решения зависит именно от данного выбора).

В качестве оценки стратегии  берется величина . Оптимальная по данному критерию стратегия  находится из условия .

Замечание. В случае, когда все состояния природы  – равновероятны (наступают с вероятностями ), критерий   Гермейера обобщает ММ-критерий.

Замечание. В некоторых случаях, применяя критерий Гермейера, ЛПР достаточно серьезно рискует. Это касается тех ситуаций, в которых нет надежной информации о функции распределения, а также в случае малых чисел реализации.

 

Критерий произведений.

ЛПР анализирует матрицу выигрышей и, если она содержит отрицательные элементы, вводит в рассмотрение константу , так что все значения матрицы выигрышей «сдвигаются» на величину указанной константы.

Тогда далее рассматривается матрица . Чаще всего принимают .

Применение этого критерия обусловлено тем, что вероятности появления состояния  неизвестны; с появлением каждого из состояний по отдельности необходимо считаться; критерий применим и при малом числе реализаций решения; некоторый риск допускается.

В качестве оценки стратегии  берется величина .

Оптимальная по данному критерию стратегия  находится из условия .

Замечание. Поскольку различные критерии связаны с различными условиями, в которых принимается решение, лучшее всего для сравнительной оценки рекомендации тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации.

Как правило, критерии применимы только для идеализированных практических решений, вследствие их жёстких исходных позиций. Практикуется применение поочерёдно различных критериев. После этого среди нескольких вариантов ЛПР волевым методом выбирает окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.

 

Вопросы для контроля

1. Дайте определение платежной матрицы игры.

2. Сформулируйте определения нижней и верхней цены игры.

3. Опишите суть принципа минимакса.

4. Дайте определение игры с седловой точкой.

5. Сформулируйте определение седловой точки.

6. Дайте определение цены игры.

7. Дайте определения чистых и смешанных стратегий игроков.

8. Сформулируйте основную теорему теории игр.

9. Сформулируйте теорему об активных стратегиях.

  10. Опишите аналитический метод решения игры   2  2.

  11. Опишите графический метод решения игры 2   n.

  12. Опишите графический метод решения игры   m  2.

        16. Опишите общую схему решения парных игр с нулевой суммой.

17. Поясните, в каком случае возникает биматричная игра, чем она задается?

18. Как можно задать функции выигрыша игроков?

19. Как определяется ситуация равновесия в биматричной игре?

20. В чем содержательный смысл ситуации равновесия?

21. Поясните, в каком смысле седловая точка является частным случаем ситуации равновесия?

22. Всегда ли в биматричной игре есть ситуация равновесия?

23. Что понимается под возможной в игре неустойчивостью ситуации равновесия?

24. Всегда ли в биматричной игре есть чистая ситуация равновесия?

25. Опишите алгоритм поиска ситуации равновесия в биматричных играх размерности 2×2.

26. Как определяются смешанные стратегии игроков и функции выигрыша игроков в смешанных стратегиях?

27. Какая пара стратегий игроков называется оптимальной по Парето?

28. Что означает оптимальность по Парето?

29. Оъясните, что подразумевается под термином "природа" в теории игр.

30.Поясните постановку задачи принятия решения в условиях неопределенности.

31. Приведите примеры факторов, определяющих состояния системы.

32. Сформулируйте постановку задачи принятия решения в условиях неопределенности.

33. Объясните, как задается функция выигрыша в задачах принятия решения в условиях неопределенности.

34. Поясните, в чем заключается основная цель задачи принятия решения в условиях неопределенности.

35. Объясните, что понимается под оптимальными стратегиями игроков.

36. Приведите способы сравнения двух стратегий.

37. Сформулируйте принцип доминирования. 

38. Перечислите основные методы, позволяющие найти оптимальную стратегию в ЗПР в условиях неопределенности.

39. Разъясните, в чем заключается суть анализа доминирования стратегий.

40. Сформулируйте основные критерии принятия решений в условиях неопределенности.

41. Объясните, на каких гипотезах основаны критерии принятия решений в условиях неопределенности.

42. Поясните, как задается вероятностная мера на множестве состояний природы, если множество конечно.

43. Сформулируйте постановку задачи принятия решения в условиях риска.

44. Сформулируйте основные критерии принятия решений в условиях риска.

45. Поясните, каким параметром численно оценивается степень доверия игрока к априори заданным вероятностям наступления различных состояний природы.

46. Сформулируйте производные критерии в играх с природой.

 

Библиографический список

      Основная литература:

1. Конюховский, В.П. Теория игр: учебник для бакалавров / П.В. Конюховский, А.С. Малова. - М.: Издательство Юрайт, 2013. - 252 с. - Серия: Бакалавр. Базовый курс. – ЭБС «Юрайт»

 

Дополнительная литература:

 

1. Сапронов И. В. Теория игр [Текст]: учеб. пособие: для студентов по направлению подгот. 080100 – Экономика / И. В. Сапронов, Е. О. Уточкина. Е. В. Раецкая; ВГЛТА. - Воронеж, 2013. - 204 с. - Электронная версия в ЭБС ВГЛТА.