Математическое ожидание дискретной случайной величины

Одна из самых важных числовых характеристик случайной величины есть математическое ожидание.

Если известна дискретная случайная величина , закон распределения которой имеет вид

Значения			…
Вероятности			…

то математическим ожиданием (или средним значением) дискретной величины  называется число

.

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины  равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины , зная закон ее распределения

	-1	0	1	2	3
	0,2	0,1	0,25	0,15	0,3

Решение.

.

Свойства математического ожидания.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

2. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой этой величине:

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

.

Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины.

Пример 2. Найдем математическое ожидание случайных величин  и , зная законы их распределения

1)

	-8	-4	-1	1	3	7

2)

	-2	-1	0	1	2	3

Решение:

,

.

a)

Получили любопытный результат: законы распределения величин и разные, а их математические ожидания одинаковы.

 

                                                            

б)

 

 

Из рисунка б видно, что значение величины более сосредоточены около математического ожидания , чем значения величины , которые разбросаны (рассеяны) относительно ее математического ожидания (рисунок а).

Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины  относительно ее математического ожидания является дисперсия, которая обозначается через .

Определение. Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием , т.е. .

Отклонение и его квадрат также являются случайными величинами.

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

.

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины С равна 0:

.

2. Если - случайная величина, а С – постоянная, то

.

3. Если  и - независимые случайные величины, то

.

Для вычисления дисперсий более удобной является формула

.

Пример 3. Дискретная случайная величина распределена по закону:

 

	-1	0	1	2
	0,2	0,1	0,3	0,4

 

Найти .

Решение. Сначала находим .

,

а затем .

.

По формуле  имеем

.

Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

 

Практическая работа №10 «Решение простейших задач теории вероятностей и математической статистики»