Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Исследование функции при помощи производных
Возрастание и убывание функций Теорема 1. (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (а;b) функция возрастает (убывает), то для любого . Теорема 2. (достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале (a;b) и для любого , то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b). Теоремы 1 и 2 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность (функция, убывающая или возрастающая, называется монотонной). Пример. Исследовать функцию =x3-3x-4 на монотонность. Решение: + - + Х -1 1 при , при Ответ: даннаяфункция возрастает при и убывает Максимум и минимум функций Теорема (необходимое условие). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: =0. Теорема (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева на право) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума, с минуса на плюс, то - точка минимума. Удобно использовать другой достаточный признак существования экстремума основанный на определении знака второй производной. Выпуклость графика функции. Точки перегиба Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба. Теорема. Если функция во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же для любого - график выпуклый вниз. Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба. Общая схема исследования функции и построения Графика функции Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности. 1. Найти область определения функции. 2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат. 3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых >0 или <0).
4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида. 5. Найти асимптоты графика функции. 6. Найти интервалы монотонности функции. 7. Найти экстремумы функции. 8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. Пример. Исследовать функцию и построить ее график. 1. 2. Точка (0;0)- точка пересечения графика с осями ОХ и ОУ. 3. Функция знакоположительна (у>0) в интервалах и , знакоотрицательна – в и 4. Функция является нечетной т.к. . Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при . 5. Прямые х = 1 и х = -1 являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты.
Следовательно, есть горизонтальная асимптота ее уравнение у=0. Наклонных асимптот нет. Прямая у=0 является асимптотой и при , и при . 6. . Так как у’>0 в области определения, то функции является возрастающей на каждом интервале области определения. 7. Т.к. , то критическими точками является точки х1 = -1 и х2 = 1. Данные точки не принадлежат области определения функции, значит, функция экстремумов не имеет. 8. Найдем Точка (0;0) – точка перегиба графика функции. График выпуклый вверх на интервалах и ; выпуклый вниз на интервалах и Практическая работа №3. «Исследование функции и построение графика» ТЕМА 4.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-02-07; просмотров: 145; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.12.14 (0.008 с.) |