Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона.

И снова, начнём с общей формулы. Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через .

На практике отрезков может быть:
два:
четыре:
восемь:
десять:
двадцать:
Внимание! Число понимается как ЕДИНОЕ ЧИСЛО. То есть, НЕЛЬЗЯ сокращать, например, на два, получая . Запись лишь обозначает, что количество отрезков чётно. И ни о каких сокращениях речи не идёт

Итак, наше разбиение имеет следующий вид:

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг;
– значения подынтегральной функции в точках .

– сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;
– сумма членов с чётными индексами умножается на 2;
– сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

Пример. Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков

Решение: Начинаем решать. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше: . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:
Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.

В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Найдём абсолютное значение разности между приближениями:

Так как больше требуемой точности: , то необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .

Формула Симпсона:

Вычислим шаг:

И снова заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Заметьте, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздкаОцениваем погрешность:

Погрешность меньше требуемой точности: . Осталось взять наиболее точное приближение , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:

Ответ: с точностью до 0,001

Метод прямоугольников.

Вычислить определённый интеграл приближённо:
а) методом левых прямоугольников;
б) методом правых прямоугольников.
Промежуток интегрирования разделить на равных отрезков, результаты вычислений округлять до 0,001

Решение: Вычислим шаг разбиения (длину каждого промежуточного отрезка):

Метод левых прямоугольников получил своё называние из-за того,

что высОты прямоугольников на промежуточных отрезках равны значениям функции в левых концах данных отрезков:
Ни в коем случае не забываем, что округление следует проводить до трёх знаков после запятой – это существенное требование условия.

Вычислим площадь ступенчатой фигуры, которая равна сумме площадей прямоугольников:

Таким образом, площадь криволинейной трапеции: . Совершенно понятно, что, рассмотрев бОльшее количество промежуточных отрезков (измельчив разбиение), ступенчатая фигура будет гораздо больше похожа на криволинейную трапецию, и мы получим лучший результат.

При использовании «правого» метода высОты прямоугольников равны значениям функции в правых концах промежуточных отрезков:

Вычислим недостающее значение и площадь ступенчатой фигуры:

– тут, что и следовало ожидать, приближение сильно занижено:

Запишем формулы в общем виде. Если функция непрерывна на отрезке , и он разбит на равных частей: , то определённый интеграл можно вычислить приближенно по формулам:
– левых прямоугольников;
– правых прямоугольников;
(формула в следующей задаче) – средних прямоугольников,
где – шаг разбиения.

В чём их формальное различие? В первой формуле нет слагаемого , а во второй -

На практике рассчитываемые значения удобно заносить в таблицу:

ПР№8. «Приближенное вычисление по формулам прямоугольников, трапеции, Симпсона»

 

 

ТЕМА 9

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Обыкновенным дифференциальным уравнением 1 -го порядка называется выражение вида , т.е. уравнение, содержащее неизвестную, искомую функцию y=y(x) и ее производную.

  Решением дифференциального уравнения называется такая функция у=у(х), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в верное тождество.

Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной х и произвольной независимой постоянной С. (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними).

Определение:  Задача нахождения решения уравнения                     , удовлетворяющего

                     условию                                       (4)                                                                                            

где числа  – заданные числа, называется задачей Коши. Условие (4) называется начальным условием.

Решение уравнения  , удовлетворяющее начальному  

условию (4), называется решением задачи Коши и записывается в виде

                                      .                                    (5)

  Решить задачу Коши (5) означает найти интегральную кривую дифференциального уравнения, которая проходит через заданную точку .

Примеры.

Пример№1: Решить дифференциальные уравнения:

а) ; б) .

Решение:

а) Приведём уравнение к виду ;          .

Интегрируем обе части уравнения: ; .

Ответ: .

б) Приведём уравнение к виду: ;    .

разделим обе части уравнения на : .

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:

; .

Применим основное логарифмическое тождество  или ,

получим

или .

  При делении на могли быть потеряны решения . Очевидно, что  является решением данного уравнения при C=0, а  – нет. Таким образом, формула , где С – произвольная постоянная, задаёт все решения данного уравнения.

Ответ: .      

Пример №2: Найдите решения задачи Коши: а)                 б)

Решение:

а)  Найдём общее решение дифференциального уравнения.

;          .

Интегрируем обе части уравнения: ; .

– общее решение дифференциального уравнения.

Подставим начальное условие в общее решение, получим

.

Так как по условию , то С=1. Тогда частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид .

Ответ: .

б)  Найдём общее и частное решение дифференциального уравнения.

;          .

Интегрируем обе части уравнения: ; .

– общее решение дифференциального уравнения. Подставим начальное условие в общее решение, получим .

Так как по условию , то –1+С=3, С=4.   Тогда частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид   .

Ответ: .

 

Решите следующие задачи.

1. Решите дифференциальные уравнения:

а) ;     б) ;             в) ;

г) ;              д) ;                        е) .

2. Найдите решения задачи Коши:

а)                            в)                        д)

б)                              г)       

 

Дифференциальное уравнение второго порядка, содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую и вторую производную функции

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

2.Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

, где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:
вместо второй производной записываем ;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции ничего не записываем.

– это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Существуют три варианта развития событий.
Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:

, где – константы.

Пример. Решить дифференциальное уравнение

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

,

Ответ: общее решение: