Значения количества единиц допуска, a ср

 

Номер квалитета    5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Количество единиц 7 10 16 25 40 64 100 160 250 400

Допуска

 

Расчёт размерных цепей вероятностным методом

 

Для расчёта размерных цепей методом максимума-минимума предполагали, что в процессе работы обработки или сборки возможно одновременное сочетание наибольших увеличивающих и наименьших уменьшающих размеров или обратное их сочетание. Любое из этих сочетаний позволяет обеспечить наименьшую точность замыкающего звена, но они мало вероятны, так как отклонения размеров в основном группируются около середины поля допуска и соединения деталей с такими отклонениями встречаются наиболее часто.

Вероятностный метод расчёта основан на допущении, что отклонения звеньев подчиняются закону нормального распределения и центры группирования отклонений совпадают с серединой поля допуска, т. е.

;

где  - среднее квадратичное отклонение составляющего и исходного звеньев.

Уравнение для определения допуска замыкающего звена при условии, что случайные погрешности размеров деталей распределяются по закону Гаусса следующее

                                               (4.8)

Координата середины поля допуска замыкающего звена -

           (4.9)

Уравнения для определения предельных отклонений замыкающего звена

          (4.10)

Применение теории вероятности при расчёте размерных цепей позволяет при одном и том же допуске замыкающего звена расширить допуск составляющих звеньев в два раза, при этом только у 0,27% изделий (т. е. у трёх из тысячи) предельные размеры замыкающего размера (при законе нормального распределения) могут быть выдержаны.

При решении задач второго типа (проектировочных) применяются те же способы, что и при расчётах методом полной взаимозаменяемости, т. е. способ равноточных допусков и способ равных допусков с изменением расчётных формул.

При способе равных допусков принимают, что величины  для всех составляющих размеров одинаковы. По заданному допуску  определяют средние допуски T_срA_i.

                                   (4.11)

Найденные значения T_срA_i; E_c(A_i) корректируют, учитывая требования конструкции и возможность применения процессов изготовления деталей, экономическая точность которых близка к требуемой размеров. Правильность решения проверяют по формуле (56).

При применении способа равноточных допусков, учитывая изменения соотношения между допусками составляющих и замыкающего звена получаем

                                       (4.12)

Примеры расчета сборочной и детальной размерной цепи

 

Согласно задания выписываем исходные данные для расчёта сборочной или подетальной размерной цепи.

Пример 1.

В редукторе величина зазора S должна быть в пределах 1,0 – 1,4 мм. Требуется назначить допуски и предельные отклонения на составляющие размеры при условии обеспечения полной взаимозаменяемости, если А1=200 мм; А2=20 мм; А3=35 мм; А4=35 мм; А5=60 мм; А6=50 мм.

 

 

Решение.

1. Составляем схему размерной цепи (рис. 4.3) и определяем увеличивающие и уменьшающие звенья.

А₁ – увеличивающее звено; А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ – уменьшающие звенья.

 - исходное звено, так как согласно ГОСТ 16319-81 исходное звено – это звено, возникающее в результате постановки задачи при проектировании, для решения которой используется размерная цепь.

2.Определяем номинальное значение исходного звена по уравнению (4.1).

Предельные размеры исходного звена согласно задания

3. Предельные отклонения исходного звена определяем по уравнениям

Среднее отклонение исходного звена

Допуск исходного звена

Выполняем расчёт допусков составляющих звеньев способом равноточных допусков, так как размеры цепи не входят в один интервал размеров.

Среднее число единиц допуска в размерной цепи определяем по формуле (4.7). Значение i выбираем из рядов, приведённых в табл. 4.2

 

Таблица 4.2.

Значения единиц допуска, i

Интервал размеров, мм	До 3	3-6	6-10	10-18	18-30	30-50	50-80	80-120	120-180	180-250	250-315	315-400
Значение единицы допуска, мкм	0,55	0,73	0,90	1,08	1,31	1,56	1,86	2,17	2,52	2,90	3,23	3,54

 

Решение оформляем в виде таблицы 4.3.

Таблица 4.3

Номинальные размеры звеньев Ai, мм	Значение единицы допуска i, мкм	Допуск TAi, мкм	Предельные отклонения звеньев, мкм
			ES (Ai)	EI (Ai)
А2 =35	1,56	62	0	-62
А5 =60	1,86	74	0	-46
А4 =20	1,31	52	0	-52
А3 =50	1,56	62	0	-62
А6 =35	1,56	62	0	-62
А1 =200	2,90	115	+115	0
=0		400	+1400	+1000

 

4. Среднее число единиц допуска

5. По значению  выбираем ближайший квалитет по табл.4. 1. Найденному среднему числу единиц допуска подходит 9-й квалитет, для которого а =40. Все звенья размерной цепи не могут быть изготовлены по одному квалитету IT 9, так как не выполняется условие . Поэтому вытекает необходимость корректировать допуски составляющих звеньев, а именно уменьшение допуска одного из звеньев. Это звено называют зависимым и выбирают его с учётом конструкторских и технологических требований. Выбираем для этой цели звено А₅, так как втулку по этому размеру легко обработать с большой точностью.

6. По табл. 6 ГОСТ 25346-89 (1, т. 1, табл. 1.8) находим допуски для размеров А₁, А₂, А₃, А₄, А₆. Результаты заносим в графу 3 табл. 4.3.

7. Определяем допуск зависимого звена TA ₅

.

Целесообразно принять его стандартным по 8 квалитету – 46 мкм.

7. Назначаем предельные отклонения на все составляющие звенья, кроме размера А₁, как на основные валы, так как все размеры являются охватываемыми, а размер А₁ может иметь отклонения любого знака. Отклонения А₁ определяем из уравнения (4.3-4.4)

    

 

8. Выполняем проверку

;   

Проверка показывает, что допуск замыкающего звена равен сумме допусков составляющих звеньев, т.е. задача решена правильно и выполнены конструктивно-эксплуатационные требования.

Задачи второго типа (проектировочные) могут быть различных вариантов. Допуски части составляющих звеньев могут быть стандартизованы или заданы, исходя из каких-либо требований. Поэтому формула (4.7) примет вид                

 

;

где f – сумма допусков составляющих звеньев, допуски которых заданы. Поэтому между остальными составляющими звеньями распределяется только часть допуска замыкающего звена. В частности может быть неизвестен допуск только одного звена. В этом случае задача будет решаться чисто алгебраически.

Пример 2.

Рассчитать размерную цепьредуктора вероятностным методом. Исходные данные - пример 1.

     Решение.

Пункты 1 - 3 см. решение примера 1.

Результаты расчетов оформляем в виде таблицы.

 

 

                                                                            Таблица 4.4

 

Номинальные размеры звеньев А i, мм	Значение единицы допуска i, мкм	i^2	Допуск TAi, мкм расчётн.	(TAi)^2	Допуск TAi, мкм принятый	Предельные отклонения звеньев, мкм
						ES(Ai)	EI(Ai)
A1 =200	2.90	8.41	290	84100	290	+1040	+750
A2 =35	1.56	2.43	160	25600	100	0	-100
A3 =50	1.56	2.43	160	25600	160	0	-160
A4 =20	1.31	1.76	130	16900	130	0	-130
A5 =60	1.86	3.42	190	36100	120	0	-120
A6 =35	1.56	2.43	160	25600	100	0	-100
A S =0			400		400	+1400	+1000
S			2088	213900

 

4. Среднее число единиц допуска при расчёте размерных цепей вероятностным методом определяется по формуле (4.12)

                            ;

                  .

5. По значению а_ср выбираем ближайший квалитет (табл. 4.1). Допуски 10-го квалитета содержат 64 единицы допуска, а допуски 11-го квалитета – 100 единиц допуска. Проставляем допуски 11 квалитета в графу 4 таблицы 4.4. По формуле (4.8) определяем выполняется ли условие

                  .

Так , что превышает допуск замыкающего звена, назначаем допуски по 10 квалитету на длины втулок А₂, А₆ и А₅, учитывая конструкторские и технологические требования.

6. Выписываем допуски А₂, А₆ и А₅ по 10 квалитету из табл. 6 ГОСТа 25346-89 и проверяем выполнения равенства (4.8)

Разность допусков . Ввиду малого значения разности допусков корректировку допусков считаем законченной.

6. Назначаем предельные отклонения на все составляющие звенья, кроме размера А₁, как на основные валы, результаты заносим в табл. 4.4

7. Определяем предельные отклонения размера А₁, применяя понятие координаты середины поля допуска, обозначаемое Е_с.

Координата середины поля допуска Е_с (А _i) звена А _i:

;  (4.13)

или

; (4.14)

.(4.15)

Координаты середины поля допуска Е_с (А _S) замыкающего звена

(4.16)

где    - координата середины поля допуска i -го увеличивающего звена;  - координата середины поля допуска i -го уменьшающего звена, поэтому

        

Согласно уравнений (70, 71) определяем

8. Выполняем проверку правильности решения задачи по формулам (4.14-4.15).

Сравнивая полученные результаты с техническими требованиями заключаем,что расширенные допуски назначены правильно, так как предельные размеры замыкающего звена выдержаны с небольшими отклонениями.

Пример 3.

При сборке редуктора согласно техническим требованиям величина зазора должна быть в пределах 0-0,3 мм. Размеры деталей, подлежащих сборке следующие (рис. 4.2): А₁ =200^+0,115; А₂ =35^-0,039; А₃ =50_-0,039; А₄ =20_-0,033; А₅ =60_-0,046; А₆ =35_-0,039. Выполнить расчёт размерной цепи методом полной взаимозаменяемости и убедиться, что заданный зазор будет обеспечен после сборки деталей.

Решение.

1. Размеры деталей, подлежащих сборке, образуют размерную цепь А (рис. 4.2). Определяем увеличивающие и уменьшающие звенья (см. пример 1).

2. Звено А _S -зазор, получающийся при сборке последним, является замыкающим. Его номинальный размер определяем по уравнению (4.1)

3. При решении задачи 1 типа (проверочной) находим верхнее ES (A _S) и нижнее EI (A _S) отклонения замыкающего звена по уравнениям (4.3-4.4):

4. Допуск замыкающего звена:

5. Определим наибольший А _{S max} и наименьший А _{S max} предельные размеры замыкающего звена, используя уравнения:

Следовательно, при сборке деталей не будет обеспечено выполнение заданного зазора 0-0,3 мм, так как этот зазор может достигать значений 0-0,311 мм.

Пример 4.

Решить методом неполной взаимозаменяемости задачу 1 типа (проверочную), условие которой дано в примере 3, приняв, что рассеяние размеров звеньев близко к  нормальному закону (закон Гаусса). Решение.

     1. Вычисляем допуск замыкающего звена  по формуле (4.8)

2. Находим координату Е_с (А _S) середины поля допуска замыкающего звена (уравнение 4.16) при координатах середин полей допусков составляющих звеньев:

Е_с (А₁)=+57,5 мкм;

Е_с (А₂)=-19,5 мкм;

Е_с (А₃)=-19,5 мкм;

Е_с (А₄)=-16,5 мкм;

Е_с (А₅)=-23 мкм;

Е_с (А₆)=-19,5 мкм;

3. Верхнее ES (A _S) и нижнее EI (A _S) отклонения замыкающего звена определяем по уравнениям (4.14-4.15):

;                 

4. Наибольшее и наименьшее значения замыкающего звена при расчёте размерной цепи вероятностным методом:

При расчёте размерной цепи вероятностным методом предельные размеры замыкающего звена удовлетворяют заданным техническим требованиям, следовательно, изделие является годным. При расчёте этой цепи методом полной взаимозаменяемости сборочная единица должна быть забракована.