Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления – это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от ее положения в числе.

Например, число 01 обозначает единицу, а число 10 – десять.

Наиболее распространенные позиционные системы счисления

К позиционным, наиболее используемым, относятся системы счисления, применяемые в повседневной жизни человека и работе ЭВМ.

К таким системам счисления, кроме десятичной, относятся системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления, содержащую только две цифры – 0 и 1.

В двоичной системе максимальная цифра 1.

Для вычислений также пользуются восьми- и шестнадцатеричной системами счисления.

Любая позиционная система характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе счисления.

За основание можно принять любое натуральное число – 2, 3, 4, 16 и т. д.

Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем. В десятичной системе основание равно 10, в двоичной системе – 2, а в восьмеричной и шестнадцатеричной – соответственно, 8 и 16, т. е. в р-ичной системе счисления количество цифр равно р и используются цифры от 0 до р – 1.

Место каждого символа в числе называют позицией, а номер позиции символа (за вычетом единицы) – разрядом.

Разряды увеличиваются, начиная с нулевого: нулевой, первый, второй и т. д., причем нулевой называют младшим разрядом, а последний – старшим разрядом.

Соответствие кодов чисел различных систем счисления

Десятичная (А10)	Восьмеричная (А8)	Двоичная (А2)	Шестнадцатеричная (А16)
0	0	00000000	0
1	1	00000001	1
2	2	00000010	2
3	3	00000011	3
4	4	00000100	4
5	5	00000101	5
6	6	00000110	6
7	7	00000111	7
8	10	00001000	8
9	11	00001001	9
10	12	00001010	A
11	13	00001011	B
12	14	00001100	C
13	15	00001101	D
14	16	00001110	E
15	17	00001111	F

 

Подтема №7 «Кодирование информации»

 

Термин «информация» (от лат. informatio) означает сведения, разъяснения, изложение.

В общем виде информацией называют любые передаваемые либо хранящиеся данные или сведения, например сообщение о каких-либо событиях, о чьей-либо деятельности и т. п.

Информация – сведения об объектах и явлениях окружающей среды, их параметрах, свойствах и состоянии, которые воспринимают информационные системы (живые организмы, управляющие машины и др.) в процессе жизнедеятельности и работы.

Содержание и передача информации

Информация может быть представлена в самых разнообразных формах:

ü в виде световых или звуковых сигналов;

ü текстов, рисунков, чертежей, фотографий;

ü радиоволн;

ü электрических и нервных импульсов;

ü магнитных записей;

ü жестов и мимики;

ü запахов и вкусовых ощущений;

ü хромосом, посредством которых передаются признаки и свойства организмов;

ü иных форм представления информации.

Предметы, процессы, явления материального или нематериального свойства, рассматриваемые с точки зрения их информационных свойств, называют информационными объектами.

Представление графической информации в ЭВМ

Вся информация в компьютере представляется как набор огромного (сотни тысяч и миллионы) числа нулей и единиц, сгруппированных в байты.

Байт – единица хранения и обработки цифровой информации, совокупность битов, обрабатываемая компьютером одномоментно.

В современных вычислительных системах байт состоит из 8 бит.

Иногда в компьютерных стандартах для однозначного обозначения группы из 8 битов используют термин «октет». Такое представление информации называют цифровым или двоичным. Обработку двоичных данных выполняют с помощью специальных правил, определяемых так называемой двоичной арифметикой.

Всякая информация представлена в виде последовательности байтов.

Для того чтобы компьютер различал все виды информации, используют формат файла, определяющий принадлежность информации к определенному виду: текстовый, графический, звуковой и др.

Каждая группа байтов, представляющая определенную закодированную информацию и показанная пользователю в одном из форматов файловой системы, называется файлом.

Файл – единица хранения информации, может хранить десятки, сотни байтов.

Для измерения количества закодированной информации в виде двоичного кода используют единицы измерения емкости информации компьютера (килобайт, мегабайт, гигабайт, терабайт, петабайт).

Графическая информация может быть представлена в аналоговой и дискретной формах.

Примером аналогового представления графической информации может служить живописное полотно, цвет которого изменяется непрерывно, а дискретного – изображение, напечатанное с помощью принтера и состоящее из отдельных точек разного цвета.

Графические изображения из аналоговой (непрерывной) формы в цифровую (дискретную) преобразуются путем пространственной дискретизации.

Пространственную дискретизацию изображения можно сравнить с построением мозаики.

Изображение разбивается на отдельные маленькие элементы (точки, или пиксели), где каждый элемент может иметь свой цвет.

Пиксель – минимальный участок изображения, для которого независимым образом можно задать цвет.

В результате пространственной дискретизации графическая информация представляется в виде растрового изображения, которое формируется из определенного количества строк, содержащих в свою очередь определенное количество точек.

Для кодирования графических данных применяют такой метод кодирования, как растр.

Координаты точек и их свойства описывают с помощью целых чисел, которые кодируются с помощью двоичного кода.

Графические объекты серых оттенков могут быть описаны комбинацией точек с 256 градациями серого цвета, т. е. для кодирования яркости любой точки достаточно 8-битного двоичного числа.

Меры информации в вычислительной технике

В качестве единицы измерения информации условно принимают один бит.

Бит – это минимальная единица информации, описывающая только два возможных состояния.

Один бит, т. е. двоичный разряд, может принимать значение 0 или 1.

Восемь последовательных битов составляют байт: 00101011, 00000000, 11111111, 10101010.

Бит – слишком мелкая единица измерения.

На практике чаще применяют более крупную единицу – байт.

Байт – основная единица представления информации в вычислительной технике, равная 8 битам.

Именно 8 битов требуется для того, чтобы закодировать любой из 256 символов алфавита клавиатуры компьютера (256 = 28).

Широко используют также еще более крупные производные единицы информации:

ü 1 килобайт (Кбайт) = 1024 байт = 210 байт;

ü 1 мегабайт (Мбайт) = 1024 Кбайт = 220 байт;

ü 1 гигабайт (Гбайт) = 1024 Мбайт = 230 байт;

ü 1 терабайт (Тбайт) = 1024 Гбайт = 240 байт;

ü 1 петабайт (Пбайт) = 1024 Тбайт = 250 байт.

Представить соизмеримость единиц измерения информации можно так: если на условной шкале изобразить 1 бит как 1,25 мм, то 1 байт в этом масштабе будет представлен 1 см, 1 Кбайт – 10 м, 1 Мбайт – 10 км, а 1 Гбайт – 10 000 км, что соответствует расстоянию от Москвы до Владивостока.

Кодирование информации

Для преобразования числовой, текстовой, графической, звуковой информации в цифровую форму необходимо применить кодирование.

Кодирование информации – это преобразование данных одного типа через данные другого типа, т. е. представление сообщений в конкретном виде при помощи некоторой последовательности знаков.

Правило отображения одного набора знаков в другой называют кодом.

Способ представления информации с помощью двух символов (0 и 1) называют двоичным кодом.

В ЭВМ применяют систему двоичного кодирования, основанную на представлении данных последовательностью двух знаков: 1 и 0, которые называют двоичными цифрами.

Компьютер может обрабатывать данные, которые представлены в специальном виде – только с помощью нулей и единиц.

Каждый 0 или 1 называют битом, т. е. единицей информации в ЭВМ.

Бит – это одна двоичная цифра: 0 или 1.

Одним битом можно закодировать два значения: 1 или 0.

Двумя битами можно закодировать уже четыре значения: 00, 01, 10, 11.

Тремя битами кодируют 8 разных значений.

Добавление одного бита удваивает количество значений, которое можно закодировать:

биты... 1 2 3 4 5 6 …... n

количество

кодируемых значений... 2 4 8 16 32 64 …... 2n.

Кодирование целых и действительных чисел

Целые числа кодируют просто переводом чисел из одной системы счисления в другую.

Для кодирования доступно несколько способов представления действительных чисел: 4, 8 и 10-байтное (32, 64 и 80-разрядное соответственно).

При этом число преобразуют в стандартный вид.

Простейшим и исторически первым является кодирование целых чисел.

Целые числа представляют в двоичном виде следующим образом:

00000000₂ = 0₁₀;

00000001₂ = 1₁₀;

11111111₂ = 255₁₀.

Диапазон целых чисел, кодируемых одним байтом, определяется числом возможных комбинаций из восьми нулей и единиц. Это число равно 28, т. е. 256.

Если надо закодировать число больше 255, то два байта объединяют вместе и используется 16 бит. Это дает 2¹⁶, т. е. 65 536 комбинаций.

Еще большие целые числа можно представить с помощью 8 байт.

Более сложное представление существует для вещественных (не целых) чисел, и обработка таких чисел значительно сложнее для компьютера.

В ЭВМ используют три вида чисел:

ü с фиксированной точкой (запятой);

ü с плавающей точкой (запятой);

ü двоично-десятичные.

У чисел с фиксированной точкой в двоичном формате предполагается строго определенное место точки (запятой).

Другой формой представления чисел является представление их в виде чисел с плавающей точкой (запятой). Например, число A₁₀ = 373 можно представить в виде 0,373 ∙ 10³.

Третья форма представления двоичных чисел – двоично-десятичная.

Например:

A₁₀ = 3759;

A_2-10 = 0011 0111 0101 1001.

Все возможные значения кодируемой информации нумеруются и эти номера кодируются с помощью двоичного кода.

Кодирование символьной и текстовой информации в ЭВМ

Для кодирования символьной или текстовой информации применяют различные специальные системы.

При вводе информации с клавиатуры кодирование происходит при нажатии клавиши, на которой изображен требуемый символ.

При этом в клавиатуре вырабатывается так называемый скан-код, представляющий собой двоичное число, равное порядковому номеру клавиши.

Номер нажатой клавиши никак не связан с формой символа, нанесенного на клавише.

Для кодирования одного символа клавиатуры используют 8 бит – 1 байт (с помощью одного байта можно закодировать 2⁸ = 256 символов, т. е. восемь двоиных разрядов могут закодировать 256 различных символов).

Для представления текстовой информации используют таблицу нумерации символов, или таблицу кодировки символов, в которой каждому символу соответствует целое число (порядковый номер).

Так, в таблицах стандарта Unicode и UTF-8/16/32 есть символы практически всех алфавитов (включая устаревшие), а также способы представления этой таблицы в виде переменного числа байт.

Данный стандарт используют в настоящее время.

Кодирование текстовой информации:

256 СИМВОЛОВ = 66 + 52 + 10 + 129

· 33 строчные + 33 прописные = 66 букв русского алфавита

· 26 строчных + 26 прописных = 52 буквы латинского алфавита

· Цифры от 0 до 9 (10 цифр)

· 129 знаков препинания, арифметических знаков и т. д.

 

Пример. Для записи текста использовался 256-символьный алфавит.

Каждая страница содержит 30 строк по 70 символов в строке.

Пример. Какой объем информации содержат пять страниц текста?

Решение. 256 = 2¹ (1 = 8 бит – информационный вес одного символа).

Подсчитываем общее количество символов в тексте

30 ∙ 70 ∙ 5 = 10 500 символов.

Находим объем информации в тексте

10 500 ∙ 8 = 84 000 бит = 10 500 байт = 10,25 Кбайт.

 

 

Подтема №8 «Перевод чисел в системах счисления»