Источники и классификация погрешностей результата

Получить точное значение при решении задачи на машине практически невозможно. Получаемое решение всегда содержит погрешность и является приближенным. Источники погрешности:

Погрешность математической модели определяется выбором математической модели.

Погрешность в исходных данных определяется: погрешностью измерения или погрешностью вычислений, с помощью которых они были получены.

Погрешность численного метода определяется точностью выбранного числено метода и вычислительного средства.

Абсолютная и относительная погрешности.

Пусть α^* — точное (и никогда неизвестное) значение некоторой величины, а α — известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения α называется величина:

Относительной погрешностью приближенного значения α называется величина:

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числах α = 0.0 3045, α = 0.0 304500 значащими цифрами являются подчеркнутые цифры. Число значащих цифр в первом случае равно 4, во втором 6.

Значащую цифру называют верной   в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре или верной   в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре. Примеры: α = 0.0304500. Верные цифры подчеркнуты (Табл.2.2.1).

	Верные цифры в числе
	В широком смысле		В узком смысле
0.001	2	0.0 30 4500		1	0.0 3 04500
0.005	1	0.0 3 04500		1	0.0 3 04500
0.0003	2	0.0 30 4500		2	0.0 30 4500
0.00007	3	0.0 304 500		2	0.0 30 4500

Табл.2.2.1. Верные цифры в числе в широком и узком смысле.

Правила округления известны. Обратить внимание, что если первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра остается неизменной, если она четная (правило четной цифры), и увеличивается на единицу, если она нечетная. При этом погрешность не превышает пяти единиц отброшенного разряда. Пример: 6.71 - 6.7; 6.77 - 6.8; 6.75 - 6.8; 6.65 - 6.6

Особенности машинной арифметики

В ЭВМ происходит отбрасывание или усечение. В некоторых языках программирования реализованы общепринятые правила округления. Вещественные числа в ЭВМ представляются  (Табл.2.2.2) в экспоненциальном виде (с плавающей точкой):  где m – мантисса, b – основание системы счисления, n - порядок. В десятичной системе счисления:

5	0.05·10^2, 0.5·10^1
172	17.2·10^1, 0.172·10^3
0.8157	0.008157·10^2 0.8157·10^0
521.45	52145·10^-2,  5.2145·10^2  и 0.52145·10^3

Табл.2.2.2. Примеры записи чисел.

Если представить мантиссу в виде m = 0.d1 d2 d3 d4...... dk, то при d1≠0 получаем нормализованную форму числа, где к – количество цифр в мантиссе, называют разрядной сеткой (Табл.2.2.3). Примеры:

0.512 * 10⁴ разр.сетка = 3;

0.5200 * 10⁴ разр.сетка = 4

Если к = 3 то, следующие числа представим как:

5	0.500*10^1
172	0.172*10^3
0.008157	0.815*10^-2
521.45	0.521*10^3

Табл.2.2.3. Нормализованная форма числа.

В последних двух примерах цифры, выходящие за разрядную сетку отброшены. При этом погрешность округления не превышает единицы последнего оставленного разряда.

Выполнение операций над вещественными числами начинается и заканчивается выравниванием порядков. Если порядки различны – погрешность возрастает и может привести к потере точности.

По возможности надо избегать работать с числами, порядки которых отличаются на величину, близкую к длине разрядной сетки, а также вычитания близких по значению величин

Сложить слева направо и наоборот следующие числа:

0.522·100, 0.157·10-1, 0.186·10-1, 0.239·10-1

0.522 * 10^0	0.239 * 10^-1
+0.015 * 10^0	+ 0.186 * 10^-1
0.537 * 10^0	0.425 * 10^-1
+0.018 * 10^0	+ 0.157 * 10^-1
0.555 * 10^0	0.582 * 10^-1
+0.023 * 10^0	0.058 * 10^0
0.578 * 10^0	+ 0.522 * 10^0
	0.580 * 10^0

Погрешности вычислений

Абсолютная погрешность суммы или разности нескольких чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

Относительная погрешность суммы:

Относительная погрешность разности:

Относительная погрешность произведения

Относительная погрешность частного:

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих переменных:

Пример. Для заданной функции: определить y, при x₁= -1.5, x₂= 1.0, x₃= 2.0. Все цифры в данных верные для x₁ в широком смысле, а для x₂ и x₃ в узком смысле.

Вычисляем значение функции.

Вычисляем погрешности: тогда  или  следовательно  Отсюда получаем