Улучшенная сортировка простыми вставками

Алгоритм можно слегка улучшить. Заметим, что на каждом шаге внутреннего цикла проверяются 2 условия. Можно объединить их в одно, поставив в начало массива специальный сторожевой элемент. Он должен быть заведомо меньше всех остальных элементов массива (рис. 9).

3 4 2 1 0 7 9

®

min 4 2 1 0 7 9

Рис. 9

Тогда при j = 0 будет заведомо верно a[0] <= x. Цикл остановится на нулевом элементе, что и было целью условия j >= 0.

Таким образом, сортировка будет происходить правильным образом, а во внутреннем цикле станет на одно сравнение меньше. С учетом того, что оно производилось О(n²) раз, это - реальное преимущество. Однако отсортированный массив будет неполон, так как из него исчезло первое число. Для окончания сортировки это число следует вернуть назад, а затем вставить в отсортированную последовательность a[1]...a[n] (рис. 10).

min 0 1 2 4 7 9

®

3 0 1 2 4 7 9

®

0 1 2 3 4 7 9

Рис. 10

// сортировка вставками со сторожевым элементомtemplate<class T>inline void insertSortGuarded(T a[], long size) { T x; long i, j; T backup = a[0];                                         // сохранить старый первый элемент setMin(a[0]);                                          // заменить на минимальный for (i=1; i < size; i++) {                             // отсортировать массив x = a[i]; for (j=i-1; a[j] > x; j--)          a[j+1] = a[j];          a[j+1] = x; }   for (j=1; j<size && a[j] < backup; j++)     // вставить backup на правильное место a[j-1] = a[j]; a[j-1] = backup;                           // вставка элемента}

Функция setmin(T& x) должна быть создана пользователем. Она заменяет x на элемент, заведомо меньший (меньший или равный, если говорить точнее) всех элементов массива.

Сортировка Шелла

Сортировка Шелла является довольно интересной модификацией алгоритма сортировки простыми вставками.

Рассмотрим следующий алгоритм сортировки массива a[0].. a[15] (рис. 11).

12

8

14

6

4

9

1

8

13

5

11

3

18

3

10

9

Рис. 11

1. Вначале сортируем простыми вставками каждые 8 групп из двух элементов (a[0], a[8]), (a[1], a[9]),..., (a[7], a[15]) (рис.12).

12

5

11

3

4

3

1

8

13

8

14

6

18

9

10

9

 

Рис. 12

2. Потом сортируем каждую из четырех групп по четыре элемента (a[0], a[4], a[8], a[12]),..., (a[3], a[7], a[11], a[15]) (рис. 13).

Номер группы
0	1	2	3	0	1	2	3	0	1	2	3	0	1	2	3
4	3	1	3	12	5	10	6	13	8	11	8	18	9	14	9

Рис.13

В нулевой группе будут элементы 4, 12, 13, 18, в первой - 3, 5, 8, 9 и т.п.

3. Далее сортируем 2 группы по 8 элементов, начиная с (a[0], a[2], a[4], a[6], a[8], a[10], a[12], a[14]) (рис. 14).

1		3		4		3		10		5		11		6		12		8		13		8		14		9		18		9

Рис. 14

 

4. В конце сортируем вставками все 16 элементов (рис. 15).

1

3

3

4

5

6

8

8

9

9

10

11

12

13

14

18

Рис. 15

Очевидно, лишь последняя сортировка необходима, чтобы расположить все элементы по своим местам. Так зачем нужны остальные?

Они продвигают элементы максимально близко к соответствующим позициям, так что в последней стадии число перемещений будет весьма невелико. Последовательность и так почти отсортирована. Ускорение подтверждено многочисленными исследованиями и на практике оказывается довольно существенным.

Единственной характеристикой сортировки Шелла является приращение - расстояние между сортируемыми элементами, в зависимости от прохода. В конце приращение всегда равно единице - метод завершается обычной сортировкой вставками, но именно последовательность приращений определяет рост эффективности.

Использованный в примере набор - 8, 4, 2, 1 – является обычным выбором в тех случаях, когда количество элементов представляет собой степень двойки. Однако гораздо лучший вариант предложил Р.Седжвик. Его последовательность имеет вид:

inc[s] =	9*2^s-9*2^s/2+1, если s четно
	8*2^s-6*2^(s+1)/2+1, если s нечетно

 

При использовании таких приращений среднее количество операций: O(n^7/6), в худшем случае - порядка O(n^4/3).

Обратим внимание на то, что последовательность вычисляется в порядке, противоположном используемому: inc[0] = 1, inc[1] = 5,... Формула дает сначала меньшие числа, затем все большие и большие, в то время как расстояние между сортируемыми элементами, наоборот, должно уменьшаться. Поэтому массив приращений inc вычисляется перед запуском собственно сортировки до максимального расстояния между элементами, которое будет первым шагом в сортировке Шелла. Потом его значения используются в обратном порядке. При использовании формулы Седжвика следует остановиться на значении inc[s-1], если 3*inc[s] > size.

int increment(long inc[], long size) { int p1, p2, p3, s; p1 = p2 = p3 = 1; s = -1; do { if (++s % 2) { inc[s] = 8*p1 - 6*p2 + 1; } else { inc[s] = 9*p1 - 9*p3 + 1; p2 *= 2; p3 *= 2; }          p1 *= 2; } while(3*inc[s] < size); return s > 0? --s: 0;} template<class T>void shellSort(T a[], long size) { long inc, i, j, seq[40]; int s; // вычисление последовательности приращений s = increment(seq, size); while (s >= 0) {          // сортировка вставками с инкрементами inc[]           inc = seq[s--]; for (i = inc; i < size; i++) { T temp = a[i]; for (j = i-inc; (j >= 0) && (a[j] > temp); j -= inc)   a[j+inc] = a[j]; a[j+inc] = temp; } }}

Часто вместо вычисления последовательности во время каждого запуска процедуры, ее значения рассчитывают заранее и записывают в таблицу, которой пользуются, выбирая начальное приращение по тому же правилу: начинаем с inc[s-1], если 3*inc[s] > size.

Пирамидальная сортировка

Пирамидальная сортировка является первым из рассматриваемых методов, быстродействие которых оценивается как O(n log n).

В качестве вступления к основному методу рассмотрим перевернутую сортировку выбором. Во время прохода, вместо вставки наименьшего элемента в левый конец массива, будем выбирать наибольший элемент, а готовую последовательность строить в правом конце.

Пример действий для массива a[0]... a[7]:

     44 55 12 42 94 18 06 67 исходный массив     44 55 12 42 67 18 06 | 94  94 <-> 67     44 55 12 42 06 18 | 67 94  67 <-> 06     44 18 12 42 06 | 55 67 94  55 <-> 18     06 18 12 42 | 44 55 67 94  44 <-> 06     06 18 12 | 42 44 55 67 94  42 <-> 42     06 12 | 18 42 44 55 67 94  18 <-> 12     06 | 12 18 42 44 55 67 94  12 <-> 12

Вертикальной чертой отмечена левая граница уже отсортированной (правой) части массива.

Рассмотрим оценку количества операций подробнее. Всего выполняется n шагов, каждый из которых состоит в выборе наибольшего элемента из последовательности a[0]..a[i] и последующем обмене. Выбор происходит последовательным перебором элементов последовательности, поэтому необходимое на него время: O(n). Итак, n шагов по O(n) каждый - это O(n²).

Произведем усовершенствование: построим структуру данных, позволяющую выбирать максимальный элемент последовательности не за O(n), а за O(log n) времени. Тогда общее быстродействие сортировки будет n*O(log n) = O(n log n).

Эта структура также должна позволять быстро вставлять новые элементы (чтобы быстро ее построить из исходного массива) и удалять максимальный элемент (он будет помещаться в уже отсортированную часть массива - его правый конец).

Итак, назовем пирамидой (Heap) бинарное дерево высоты k, в котором:

· все узлы имеют глубину k или k-1, то есть дерево сбалансированное;

· при этом уровень k-1 полностью заполнен, а уровень k заполнен слева направо, т.е форма пирамиды имеет приблизительно такой вид, как на рис. 16:

 

 

Рис. 16

· выполняется "свойство пирамиды": каждый элемент меньше, либо равен родителю (рис. 17).

 

Рис. 17

 

Как хранить пирамиду? Наименее хлопотно - поместить ее в массив.

Соответствие между геометрической структурой пирамиды как

дерева и массивом устанавливается по следующей схеме:

• в a[0] хранится корень дерева;
• левый и правый сыновья элемента a[i] хранятся соответственно в a[2i+1] и a[2i+2].

Таким образом, для массива, хранящего в себе пирамиду, выполняется следующее характеристическое свойство: a[i] >= a[2i+1] и a[i] >= a[2i+2].

Плюсы такого хранения пирамиды очевидны:

· никаких дополнительных переменных, нужно лишь понимать схему;

· узлы хранятся от вершины и далее вниз, уровень за уровнем;

· узлы одного уровня хранятся в массиве слева направо.

Запишем в виде массива пирамиду, изображенную выше. Слева направо, сверху вниз: 94 67 18 44 55 12 06 42. На рисунке 17 место элемента пирамиды в массиве обозначено цифрой справа вверху от него.

Восстановить пирамиду из массива как геометрический объект легко - достаточно вспомнить схему хранения и нарисовать, начиная от корня.

Шаг 1: построение пирамиды

Начать построение пирамиды можно с a[k]...a[n], k = [size/2]. Эта часть массива удовлетворяет свойству пирамиды, так как не существует индексов i, j: i = 2i+1 (или j = 2i+2), потому что такие i, j находятся за границей массива.

Следует заметить, что a[k]...a[n] не является пирамидой как самостоятельный массив. Это, вообще говоря, неверно: его элементы могут быть любыми. Свойство пирамиды сохраняется лишь в рамках исходного, основного массива a[0]...a[n].

Далее будем расширять часть массива, обладающую столь полезным свойством, добавляя по одному элементу за шаг. Следующий элемент на каждом шаге добавления - тот, который стоит перед уже готовой частью.

Чтобы при добавлении элемента сохранялась пирамидальность, будем использовать следующую процедуру расширения пирамиды a[i+1]...a[n] на элемент a[i] влево:

1. Смотрим на сыновей слева и справа (в массиве это a[2i+1] и a[2i+2]) и выбираем наибольшего из них.

2. Если этот элемент больше a[i] - меняем его с a[i] местами и идем к шагу 2, имея в виду новое положение a[i] в массиве. Иначе процедура заканчивается.

Новый элемент "просеивается" сквозь пирамиду.

template<class T>void downHeap(T a[], long k, long n) { // процедура просеивания следующего элемента   // До процедуры: a[k+1]...a[n] - пирамида   // После: a[k]...a[n] - пирамида   T new_elem; long child; new_elem = a[k]; while(k <= n/2) {                        // пока у a[k] есть дети     child = 2*k; // выбираем большего сына     if(child < n && a[child] < a[child+1])     child++; if(new_elem >= a[child]) break;     // иначе     a[k] = a[child];                            // переносим сына наверх     k = child; } a[k] = new_elem;}

Учитывая, что высота пирамиды h <= log n, этот метод сортировки требует O(log n) времени. Полный код процедуры построения пирамиды будет иметь вид:

// вызвать downheap O(n) раз для преобразования массива в пирамиду целикомfor(i=size/2; i >= 0; i--) downHeap(a, i, size-1);

Ниже дана иллюстрация процесса для пирамиды из 8 элементов:

44 55 12 42 //  94 18 06 67 Справа - часть массива, удовлетворяющая 44 55 12 // 67 94 18 06 42 свойству пирамиды, 44 55 // 18 67 94 12 06 42 остальные элементы добавляются 44 // 94 18 67 55 12 06 42 один за другим, справа налево.     // 94 67 18 44 55 12 06 42

В геометрической интерпретации ключи из начального отрезка a[size/2]...a[n] являются листьями в бинарном дереве, как изображено ниже. Один за другим остальные элементы продвигаются на свои места, и так пока не будет построена вся пирамида.

На рис. 18, 19 изображен процесс построения. Неготовая часть пирамиды (начало массива) окрашена в белый цвет, удовлетворяющий свойству пирамиды конец массива - заштрихован.

Шаг 2: сортировка

Итак, задача построения пирамиды из массива успешно решена. Как видно из свойств пирамиды, в корне всегда находится максимальный элемент. Отсюда вытекает алгоритм фазы 2:

1. Берем верхний элемент пирамиды a[0]...a[n] (первый в массиве) и меняем с последним местами. Теперь "забываем" об этом элементе и далее рассматриваем массив a[0]...a[n-1]. Для превращения его в пирамиду достаточно просеять лишь новый первый элемент.

2. Повторяем шаг 1, пока обрабатываемая часть массива не уменьшится до одного элемента (рис. 20).

Очевидно, в конец массива каждый раз попадает максимальный элемент из текущей пирамиды, поэтому в правой части постепенно возникает упорядоченная последовательность.

  94 67 18 44 55 12 06 42 //   иллюстрация 2-й фазы сортировки        67 55 44 06 42 18 12 // 94  во внутреннем представлении пирамиды  55 42 44 06 12 18 // 67 94        44  42 18 06 12 // 55 67 94        42 12 18 06 // 44 55 67 94        18 12 06 // 42 44 55 67 94        12 06 // 18 42 44 55 67 94        06 // 12 18 42 44 55 67 94

Исходная картина, 94, 18, 06, 67 - листья                                                      Сравнили 42 и 67 и поменяли их местами

 

 

12 сравнили с max(18, 6) = 18                               55 сравнили с max(67, 94) = 94

 

Рис. 18

Рис. 19

Код внешней процедуры сортировки:

template<class T>void heapSort(T a[], long size) { long i; T temp; // строим пирамиду   for(i=size/2-1; i >= 0; i--) downHeap(a, i, size-1);   // теперь a[0]...a[size-1] пирамида for(i=size-1; i > 0; i--) { temp=a[i]; a[i]=a[0]; a[0]=temp; // меняем первый с последним     downHeap(a, 0, i-1);                // восстанавливаем пирамидальность a[0]...a[i-1 ] }}

Каково быстродействие получившегося алгоритма?

Построение пирамиды занимает O(n log n) операций, причем более точная оценка дает даже O(n) за счет того, что реальное время выполнения этой процедуры зависит от высоты уже созданной части пирамиды.

Вторая фаза занимает O(n log n) времени: O(n) раз берется максимум и происходит просеивание бывшего последнего элемента. Плюсом является стабильность метода: среднее число пересылок (n log n)/2, и отклонения от этого значения сравнительно малы.

Пирамидальная сортировка не использует дополнительной памяти.

Метод не является устойчивым: по ходу работы массив так "перетряхивается", что исходный порядок элементов может измениться случайным образом.

Поведение неестественно: частичная упорядоченность массива никак не учитывается.

Обменяли 94 и 42, забыли о 94                                                      Просеяли 42 сквозь 67, 55

Обменяли 06 и 67, забыли о 67                                        Просеяли 06 сквозь 55, 44

Рис. 20

Быстрая сортировка

Этот метод был разработан более 40 лет назад. Это наиболее широко применяемый и один из самых эффективных алгоритмов.

Метод основан на подходе "разделяй-и-властвуй". Общая схема такова:

1) из массива выбирается некоторый опорный элемент a[i];

2) запускается процедура разделения массива, которая перемещает все ключи, меньшие либо равные a[i], влево от него, а все ключи, большие либо равные a[i] - вправо,

3) теперь массив состоит из двух подмножеств, причем левое меньше либо равно правому (рис.21);

<= a[i]

a[i]

>= a[i]

Рис. 21

4) для обоих подмассивов: если в подмассиве более двух элементов, рекурсивно запускаем для него ту же процедуру.

В конце получится полностью отсортированная последовательность.

Далее алгоритм будет рассмотрен подробнее.

Разделение массива

На входе массив a[0]...a[N] и опорный элемент p, по которому будет производиться разделение.

1. Введем два указателя: i и j. В начале алгоритма они указывают, соответственно, на левый и правый конец последовательности.

2. Будем двигать указатель i с шагом в 1 элемент по направлению к концу массива, пока не будет найден элемент a[i] >= p. Затем аналогичным образом начнем двигать указатель j от конца массива к началу, пока не будет найден a[j] <= p.

3. Далее, если i <= j, меняем a[i] и a[j] местами и продолжаем двигать i,j по тем же правилам.

4. Повторяем шаг 3, пока i <= j.

Рассмотрим работу процедуры для массива a[0]...a[6] и опорного элемента p = a[3].

Теперь массив разделен на две части: все элементы левой меньше либо равны p, все элементы правой - больше, либо равны p. Разделение завершено (рис. 22).

 

4	9	7	6	2	3	8
↑ i						↑ j

Исходное положение указателей

4 9 7 6 2 3 8   ↑ i       ↑ j	4 3 7 6 2 9 8     ↑ i   ↑ j	4 3 2 6 7 9 8     ↑ j   ↑ i
Положение первого обмена	Положение второго обмена	Конец процедуры

Рис. 22

Общий алгоритм

Псевдокод.

quickSort (массив a, верхняя граница N) { Выбрать опорный элемент p - середину массива Разделить массив по этому элементу Если подмассив слева от p содержит более одного элемента,         вызвать quickSort для него.     Если подмассив справа от p содержит более одного элемента,    вызвать quickSort для него. }

 

Реализация на языке Си.

template<class T>void quickSortR(T* a, long N) {// На входе - массив a[], a[N] - его последний элемент. long i = 0, j = N;                           // поставить указатели на исходные места T temp, p; p = a[ N>>1 ];                               // центральный элемент  do {                                                // процедура разделения while (a[i] < p) i++; while (a[j] > p) j--; if (i <= j) { temp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = temp; i++; j--; } } while (i<=j); // рекурсивные вызовы, если есть что сортировать   if (j > 0) quickSortR(a, j); if (N > i) quickSortR(a+i, N-i);}

Каждое разделение требует, очевидно, О(n) операций. Количество шагов деления (глубина рекурсии) составляет приблизительно log n, если массив делится на более-менее равные части. Таким образом, общее быстродействие: O(n log n), что и имеет место на практике.

Однако, возможен случай таких входных данных, на которых алгоритм будет работать за O(n²) операций. Такое происходит, если каждый раз в качестве центрального элемента выбирается максимум или минимум входной последовательности. Если данные взяты случайно, вероятность этого равна 2/n. И эта вероятность должна реализовываться на каждом шаге.

Метод неустойчив. Поведение довольно естественно, если учесть, что при частичной упорядоченности повышаются шансы разделения массива на более равные части.

Сортировка использует дополнительную память, так как приблизительная глубина рекурсии составляет O(log n), а данные о рекурсивных подвызовах каждый раз добавляются в стек.

 

 

Модификации кода и метода

Во-первых, из-за рекурсии и других "накладных расходов" Quicksort может оказаться не столь уж быстрой для коротких массивов. Поэтому, если в массиве меньше CUTOFF элементов (константа зависит от реализации, обычно равна от 3 до 40), вызывается сортировка вставками. Увеличение скорости может составлять до 15%.

Для проведения метода в жизнь можно модифицировать функцию quickSortR, заменив последние 2 строки на

          if (j > CUTOFF) quickSortR(a, j);          if (N > i + CUTOFF) quickSortR(a+i, N-i);

Таким образом, массивы из CUTOFF элементов и меньше досортировываться не будут, и в конце работы quickSortR() массив разделится на последовательные части из <=CUTOFF элементов, отсортированные друг относительно друга. Близкие элементы имеют близкие позиции, поэтому, аналогично сортировке Шелла, вызывается insertSort(), которая доводит процесс до конца.

template<class T>void qsortR(T *a, long size) {          quickSortR(a, size-1);          insertSort(a, size); // insertSortGuarded быстрее, но нужна функция setmax()}

Во-вторых, в случае явной рекурсии, как в программе выше, в стеке сохраняются не только границы подмассивов, но и ряд совершенно ненужных параметров, таких как локальные переменные. Если эмулировать стек программно, его размер можно уменьшить в несколько раз.

В-третьих, чем на более равные части будет делиться массив, тем лучше. Потому в качестве опорного целесообразно брать средний из трех, а если массив достаточно велик - то из девяти произвольных элементов.

В-четвертых, пусть входные последовательности очень плохи для алгоритма. Например, их специально подбирают, чтобы средний элемент оказывался каждый раз минимумом. Как сделать QuickSort устойчивой к такому "саботажу"? Очень просто - выбирать в качестве опорного случайный элемент входного массива. Тогда любые неприятные закономерности во входном потоке будут нейтрализованы. Другой вариант - переставить перед сортировкой элементы массива случайным образом.

В-пятых, быструю сортировку можно использовать и для двусвязных списков. Единственная проблема при этом - отсутствие непосредственного доступа к случайному элементу. Так что в качестве опорного приходится выбирать первый элемент, и либо надеяться на хорошие исходные данные, либо случайным образом переставить элементы перед сортировкой.

При использовании рекурсивного кода, подобного написанному выше, это будет означать n вложенных рекурсивных вызовов функции QuickSort.

Каждый рекурсивный вызов означает сохранение информации о текущем положении дел. Таким образом, сортировка требует O(n) дополнительной памяти в стеке. При достаточно большом n такое требование может привести к непредсказуемым последствиям.

Для исключения подобной ситуации можно заменить рекурсию на итерации, реализовав стек на основе массива. Процедура разделения будет выполняться в виде цикла.

Каждый раз, когда массив делится на две части, в стек будет направляться запрос на сортировку большей из них, а меньшая будет обрабатываться на следующей итерации. Запросы будут выбираться из стека по мере освобождения процедуры разделения от текущих задач. Сортировка заканчивает свою работу, когда запросы кончаются.

Псевдокод.

Итеративная QuickSort (массив a, размер size) {Положить в стек запрос на сортировку массива от 0 до size-1.                    do {   Взять границы lb и ub текущего массива из стека.                          do {       1. Произвести операцию разделения над текущим массивом a[lb..ub].       2. Отправить границы большей из получившихся частей в стек.       3. Передвинуть границы ub, lb чтобы они указывали на меньшую часть.                          } пока меньшая часть состоит из двух или более элементов          } пока в стеке есть запросы}

Реализация на языке Си.

#define MAXSTACK 2048         // максимальный размер стекаtemplate<class T>void qSortI(T a[], long size) { long i, j;                                      // указатели, участвующие в разделении long lb, ub;                                 //границы сортируемого в цикле фрагмента long lbstack[MAXSTACK], ubstack[MAXSTACK];                            // стек запросов /* каждый запрос задается парой значений, а именно: левой(lbstack) и правой(ubstack) границами промежутка*/ long stackpos = 1;                    // текущая позиция стека long ppos;                              // середина массива T pivot;                     // опорный элемент T temp;   lbstack[1] = 0; ubstack[1] = size-1; do { lb = lbstack[ stackpos ]; // Взять границы lb и ub текущего массива из стека ub = ubstack[ stackpos ]; stackpos--; do { ppos = (lb + ub) >> 1;           // Шаг 1. Разделение по элементу pivot i = lb; j = ub; pivot = a[ppos]; do {   while (a[i] < pivot) i++;   while (pivot < a[j]) j--;   if (i <= j) {     temp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = temp;     i++; j--;   } } while (i <= j);/*Сейчас указатель i указывает на начало правого подмассива, j - на конец левого (см. иллюстрацию выше). Возможен случай, когда указатель i или j выходит за границу массива Шаги 2, 3. Отправляем большую часть в стек и двигаем lb, ub */ if (i < ppos) {                        // правая часть больше   if (i < ub) {                         // если в ней больше 1 элемента - нужно           stackpos++;                     // сортировать, запрос в стек     lbstack[ stackpos ] = i;     ubstack[ stackpos ] = ub;   }   ub = j; // следующая итерация разделения будет работать с левой частью } else {                             // левая часть больше   if (j > lb) {           stackpos++;     lbstack[ stackpos ] = lb;     ubstack[ stackpos ] = j;   }   lb = i; } } while (lb < ub);                // пока в меньшей части более 1 элемента } while (stackpos!= 0);         // пока есть запросы в стеке}

Размер стека при такой реализации всегда имеет порядок O(log n), так что указанного в MAXSTACK значения хватает с лихвой.

При работе этого алгоритма может встать проблема выбора «сторожевого элемента». Чтобы избежать этого, Д. Кнут предлагает «сжигать свечку с двух сторон» [2]. В этом случае элемент, который разделяет сортируемую последовательность, выявляется естественным образом.

Поразрядная сортировка

Рассматриваемый ниже алгоритм существенно отличается от описанных ранее.

Во-первых, он совсем не использует сравнений сортируемых элементов.

Во-вторых, ключ, по которому происходит сортировка, необходимо разделить на части, разряды ключа. Например, слово можно разделить по буквам, число - по цифрам.

До сортировки необходимо знать два параметра: k и m, где

· k - количество разрядов в самом длинном ключе;

· m - разрядность данных: количество возможных значений разряда ключа.

При сортировке русских слов m = 33, так как буква может принимать не более 33 значений. Если в самом длинном слове 10 букв, k= 10.

Аналогично для шестнадцатеричных чисел m=16, если в качестве разряда брать цифру, и m=256, если использовать побайтовое деление.

Эти параметры нельзя изменять в процессе работы алгоритма. В этом - еще одно отличие метода от вышеописанных.