Определение критической силы

Величина критической силы по обобщенной формуле Эйлера определяется как

где m - коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа закрепления (рис. 7.3).

 

 

        m = 2                     m = 1                      m = 0,7        m = 5

 

                                          

 

 

 

Рис. 7.3

 

Формулой Эйлера не всегда можно пользоваться, т.к. ее вывод которой основан на законе Гука. Закон же Гука справедлив в зоне упругой деформации, пока напряжения не превосходят предела пропорциональности.

Предел применимости формулы Эйлера определяется по критическому напряжению, возникающему в поперечном сечении стержня под воздействием критической силы:

где А – площадь поперечного сечения стержня;

 - наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня, тогда

Величина  называется гибкостью стержня.

Отсюда    

.

Формула Эйлера применима при условии

,

где – напряжение предела пропорциональности материала стержня.

Условие применимости формулы Эйлера в виде

,

где  - предельная гибкость стержня для материала, из которого он изготовлен.

Классический пример для определения предельной гибкости малоуглеродистой стали: ;    

т.е. если мы получаем гибкость стержня из малоуглеродистой стали более или равную 100 единиц, то для определения критической силы применяется формула Эйлера. Если же гибкость стержня меньше предельного значения гибкости, то для нахождения величины критической силы используют формулу Ясинского:

где и – эмпирические коэффициенты равные 

 = 310 МПа;  = 1,14 МПа.

Вместо двух формул Эйлера и Ясинского, определяющих диапазон гибкостей, удобнее иметь одну формулу, используемую при любой гибкости для определения допускаемой нагрузки:

,

где  - допускаемое нормальное напряжение на сжатие;  - коэффициент продольного изгиба, зависящий от материала и гибкости стержня (табл. 7.1).

 

Таблица 7.1

Гибкость	для
	сталей Ст. 1, Ст. 2, Ст. 3, Ст. 4	сталей Ст. 5	Стали повышенного качества	чугуна	дерева
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200	1,00 0,99 0,96 0,94 0,92 0,89 0,86 0,81 0,75 0,69 0,60 0,52 0,45 0,40 0,36 0,32 0,29 0,26 0,23 0,21 0,19	1,00 0,98 0,95 0,92 0,89 0,86 0,82 0,76 0,70 0,62 0,51 0,43 0,37 0,33 0,29 0,26 0,24 0,21 0,19 0,17 0,16	1,00 0,97 0,95 0,91 0,87 0,83 0,79 0,72 0,65 0,55 0,43 0,35 0,30 0,26 0,23 0,21 0,19 0,17 0,15 0,14 0,13	1,00 0,97 0,91 0,81 0,69 0,57 0,44 0,34 0,26 0,20 0,16 - - - - - - - - - -	1,00 0,99 0,97 0,93 0,87 0,80 0,71 0,60 0,48 0,38 0,31 0,25 0,22 0,18 0,16 0,14 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08

 

Для определения площади поперечного сечения получаем формулу:

 

 

Рис. 7.4

 

Пример:

= 4 м; = 500 кН; = 160 МПа;  = 1; = 100; = 2·10⁵ МПа.

 При данной схеме закрепления стального стержня, нагруженного продольной силой  (рис. 5.4, а), необходимо найти размеры поперечного сечения (рис. 5.4, б) и величину критической силы, а также коэффициент запаса устойчивости.

Для определения площади поперечного сечения используем формулу:

.

Так как коэффициент снижения допускаемого напряжения неизвестен, то расчет будем вести методом последовательного приближения и первое значение коэффициента возьмем среднее:  = 0,5.

Выразим гибкость колонны через площадь сечения:

,

,

,

,

.

Отсюда .

Первое приближение  = 0,5. Вычисляем площадь поперечного сечения:

Определяем гибкость стержня

130 0,40 140 0,36

Обращаемся в табл. 7.1 и находим истинное значение коэффициента  для полученной нами гибкости = 138, используя метод линейного интерполирования. Для этого выписываем значения коэффициента  из второго столбца табл. 5.1., соответствующих значений гибкостей = 130 и = 140. Видим, что при изменении гибкости  на 10 единиц,

 изменяется на 0,04 единицы. Наша же гибкость отличается от = 130 на 8 единиц. Это изменение коэффициента , приходится на 8 единиц гибкости, найдем из пропорции, обозначив его через .

10: 8 = 0,04:

Отсюда:                          ,

т.е., при изменении  на 8 единиц  изменяется на 0,03.

Тогда = 0,40 – 0,03 = 0,37.

Сравниваем  и :

.

Допускаемое расхождение между ними должно быть не более 5%, у нас же значительно больше, поэтому делаем второе приближение.

.

Определяем площадь поперечного сечения при новом значении = 0,435.

Вычисляем гибкость стержня

Опять обращаемся к табл. 5.1 и, подобно первому приближению, уточняем значение .

. Определяем погрешность между  и
	120	0,45
	130	0,40

Проводим третье приближение:

.

Определяем площадь поперечного сечения при = 0,423.

.

Вычисляем гибкость стержня:

.

Обращаемся к табл. 7.1 и уточняем значение .

Сравниваем  и :
	120	0,45
	130	0,40

Получим допустимую погрешность.

Принимаем площадь поперечного сечения стержня , 

 = 126.

Так как предельная гибкость для стали , а полученная , т.е. больше предельной, то для выполнения критической силы применим формулу Эйлера:

;

;

Определяем коэффициентом устойчивости: