Определение напряжений и расчеты на прочность при деформации кручения брусьев круглого сечения

Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникают только крутящие моменты, другие внутренние силовые факторы – продольная сила, изгибающие моменты и поперечные силы – равны нулю.

Теория кручения брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях:

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ней и после деформации (гипотеза плоских сечений), они лишь поворачиваются на некоторые углы вокруг этой оси.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину.

3. Расстояния (вдоль оси бруса) между поперечными сечениями не изменяются.

В поперечном сечении бруса возникают только касательные напряжения от крутящего момента, определяемые по формуле (6.1). Их направление в каждой точке перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения (рис. 6.1). В центре (при ρ = 0) касательные напряжения равны нулю; в точках же, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, они наибольшие.

где  – крутящий момент в рассматриваемом сечении;  – полярный момент инерции круглого поперечного сечения; r_К – расстояние от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки К (рис. 6.1).

Рис. 3.3

Эпюры , построенные по формуле (3.3) для круглого сплошного и кольцевого сечений, представлены на рис. 3.3а, б.

Наибольшие касательные напряжения в поперечных сечениях определяются по формуле:

Введем следующее обозначение:

где – называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения (см³, м³);  – расстояние от центра тяжести до наиболее удаленной точки сечения, оно равняется радиусу круга  

Условие прочности при кручении запишется:

где R_S – расчетное сопротивление материала при сдвиге.

Используя условие прочности (6.4), можно решать следующие задачи на кручение:

1. Проверочная задача, т.е. проверка прочности. Подставляя в формулу (6.4) величины из эпюры крутящих моментов и W_r, определенную по формуле (6.3), проверяем, выполняется ли условие прочности.

2. Проектная задача, т.е. подбор сечения. В этом случае из условия прочности (6.4), предполагая, что , определяется значение требуемого полярного момента сопротивления:

Затем значение  приравнивается выражению

т.е.

Из этого равенства определяется неизвестный диаметр стержня.

Ниже приведены формулы для определения полярных моментов сопротивления для стержней круглого поперечного сечений:

а) сплошное круглое сечение (рис. 3.4а):

 

 

Рис. 3.4

 

                                      

здесь

 

 

б) кольцевое сечение (рис. 3.4б):

                  

Здесь

3. Определение допускаемого значения крутящего момента для стержня заданного диаметра и из заданного материала.

Из условия прочности, которое берем со знаком равенства, т.е. , определяем значение допускаемого крутящего момента:

 Определение углов закручивания брусьев круглого поперечного сечения и расчеты на жесткость

 

Угол взаимного закручивания  концевых сечений участка стержня длиной  определяется по формуле:

здесь  – крутящий момент, постоянный по длине участка; l – длина участка; G – модуль упругости материала при сдвиге (модуль упругости 2-го рода).

Произведение  называется жесткостью поперечного сечения при кручении.

Если крутящий момент по длине участка M_t(x) есть величина переменная, то взаимный угол закручивания концевых сечений участка определится по формуле:

.

Чтобы определить полный угол закручивания a какого-либо сечения j бруса по отношению к закрепленному сечению (там угол закручивания равен нулю), нужно взять сумму углов закручивания на всех n участках, заключенных между неподвижным (закрепленным) и рассматриваемым j-м сечениями:

Относительный угол закручивания , т.е. угол закручивания, приходящийся на единицу длины, определяется по следующей формуле:

Условие жесткости бруса, работающего на кручение, если ограничен относительный угол закручивания , запишется в виде

где  – допускаемый относительный угол закручивания (рад/м);  – наибольший по модулю относительный угол закручивания по длине бруса.

Используя условие жесткости, можно решать следующие задачи:

1. Проверить жесткость бруса, т.е. проверить выполнение условия.

2. Определить диаметр бруса из условия жесткости (подбор сечения).

 

Для этого вычисляем требуемое значение полярного момента инерции:          

Приравнивая требуемую величину  к выражению I_r = , определим диаметр поперечного сечения d или d_ext.

3. Вычислить допускаемое значение крутящего момента для бруса заданного диаметра при известном значении G:

Если ограничен полный угол закручивания сечения [a] (в радианах) для всего стержня, то условие жесткости запишется в следующем виде:

.

Здесь – наибольший полный угол закручивания сечения по отношению к закрепленному, который берется из эпюры a.

При подборе сечения по данному условию жесткости эпюра a строится при неизвестном диаметре, при GI_p = const.

Используя условие жесткости, также можно решать приведенные выше три типа задач.

 

Тема 4. Изгиб.

Лекция 5

2.1 Геометрические характеристики сечения

Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения.

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление, а также при расчете сжатых стержней на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики поперечных сечений:

– статический момент площади;

– осевой (экваториальный) момент инерции;

– полярный момент инерции;

– центробежный момент инерции сечения.

Дадим определения этим геометрическим характеристикам для сечения произвольной формы

Статическим моментом площади относительно некоторой оси называется взятый по всей его площади интеграл от произведения площади элементарного участка dA на расстояние от его центра тяжести до рассматриваемой оси.

          

Статические моменты выражаются в см³ и м³.

Статический момент площади составной фигуры относительно какой-либо оси равен сумме статических моментов площадей отдельных фигур относительно этой же оси.

В случае сложного сечения, состоящего из n частей, для которых известны площади и положения центров тяжести, выражение примет вид:

где – площадь i-й части сложного сечения;  и  – расстояния от центров тяжести i-й отдельной части до осей Z и Y; n – число частей.

Статический момент площади может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Он равняется нулю тогда, когда рассматриваемая ось проходит через центр тяжести площади сечения.

Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется взятый по всей его площади А интеграл от произведения площади элементарного участка dA на квадрат расстояния от его центра тяжести до рассматриваемой оси:

           

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятый по всей его площади А интеграл от произведения площади элементарного участка dA на квадрат расстояния от его центра тяжести до рассматриваемой точки (полюса):

Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятый по всей его площади А интеграл от произведения площади элементарного участка dA на расстояния от его центра тяжести до рассматриваемых осей:

Моменты инерции измеряются в см⁴ и м⁴. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны. Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Осевые моменты инерции относительно таких осей принимают экстремальные значения и называются главными моментами инерции.

Центральные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями инерции.

Порядок определения положения главных осей и величин главных моментов инерции для сечений, не имеющих ни одной оси симметрии, будет рассмотрен дальше.

Осевой момент инерции сложного сечения относительно оси Z (или Y) равен сумме осевых моментов инерции составляющих его частей (простых фигур) относительно этой же оси.

Центробежный момент инерции сложного сечения относительно некоторых осей Z и Y равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей (простых фигур) относительно этих же осей.

Если известны осевые и центробежный моменты инерции отдельной части сечения относительно центральных осей этой части, то моменты инерции относительно осей Z и Y, проходящих через центр тяжести всего сечения и параллельных центральным осям отдельной части, определяются по формулам:

Здесь:  – моменты инерции отдельных частей относительно их центральных осей (собственные моменты инерции);  – координаты центра тяжести i-й части относительно центральных осей всего сечения Z и Y.

Для определения моментов инерции сложных сечений в первую очередь их необходимо разбить на простые части и определить моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей: