Определение изгибающего момента и поперечной силы. Напряжения при изгибе.

Для определения знака изгибающего момента надо представить, что балка защем­лена в том сечении, где определяется М_х, а действительные опоры балки надо отбросить, заменив их действие реакциями. Если приложенные нагрузки вызовут сжатие верхних волокон, то эти нагрузки дают положительный изгибающий момент и наоборот. Это правило сжатого волокна, т.е. при при­нятом правиле знаков эпюра изгибающих моментов всегда будет находиться со стороны сжатых волокон.

Для более быстрого запоминания правил, по-видимому, может быть полезен рисунок:

 

Рассмотрим балку, нагруженную произвольной распределенной нагрузкой .

Выделим из бруса элемент длиной  и приложим слева и справа поперечные силы   и(   + ) и изгибающие моменты   и (   + ), соответственно, приняв направления этих силовых факторов положительными в соответствии с выбранными выше правилами знаков. В пределах малого участка  наг­рузку

 принимаем распределённой равномерно.

 

 

Составив уравнения равновесия:

; ;

; ,

произведя упрощения и отбросив произведение величин выс­шего порядка малости, получают , то есть первая производная от поперечной силы по длине балки рав­на интенсивности распределенной нагрузки;              

из второго уравнения, т.е. первая производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе.

Эти соотношения действительны, когда абсцисса поперечного сечения балки возрастает от левого конца балки.

Полученные зависимости позволяют получить при любой внеш­ней нагрузке следующие правила проверки эпюр   и :

1. На участках балки, гдеq = 0, эпюры  ограничены прямыми, параллельными (продольной оси балки), а эпюра  – нак­лонными прямыми.

2. На участках, где q¹0, эпюры  ограни­чены прямыми, наклонными к продольной оси балки, а эпюры  – параболами, нап­равленными выпуклостью навстречу действию q. 3. В сечениях балки, где эпюра   меняет знак (слева направо) с (+) на (-), на эпюре  экстремум максимум и наоборот.

4. На участ­ках балки, где эпюра   = 0, эпюра   – прямая, параллельная. 5. На участках балки, где эпюра   > 0, эпюра  воз­растает слева направо. В сечениях балки, где приложены внешние активные и реактивные сосредоточенные силы, на эпюре  возникают скачки на их величину и в направлении этих сил, а на эпюре  – изломы, направленные навстречу этим силам.

7. В сечениях балки, где приложены сосредоточенные моменты, на эпюре   возникают скачки на их величину и в направлении этих моментов.

8. Эпюра  является диаграммой произ­водной от эпюры . Следовательно, ордината на эпюре  в лю­бом сечении равна тангенсу угла наклона касательной к эпюре   в этом сечении балки.

 Напряжения при изгибе балки

Рассмотрим консольную балку произвольного поперечного се­чения, постоянного по длине, нагруженную в вертикальной плос­кости моментом .

    При прямом чистом изгибе балки справедливы:

1. Гипотеза плоских сечений Бернулли – сечения плоские и нор­мальные к оси балки до деформации, остаются плоскими и нормаль­ными к ее оси и после деформации.

2. Гипотеза о ненадавливаемости волокон: нормальные напряжения в продольных сечениях балки не возникают.

 

Двумя поперечными сечениями  и  +  вырежем из балки элемент длиной . На его торцах возникнут изги­бающие моменты М_z, которые вызовут деформацию изгиба: продольная ось  изогнется, длина же слоя не изменится.

Т.к. каждое волокно согласно принятым выше гипотезам ис­пытывает одноосное напряженное состояние, то:      

где  – кривизна нейтрального слоя балки.                            

Таким образом, нормальные напряжения распределяются по ли­нейному закону.

Или                                                       

где М_z – внутренний изгибающий момент в сечении, в котором оп­ределяют  [Н×м]; J_z – осевой момент инерции поперечного сечения от­носительно нейтрального слоя [м⁴];   –расстояние от нейтраль­ного слоя до слоя, в котором определяют напряжения [м].

Эпюра нормальных напряжении  в соответствии с представленной формулой изображена на рис.6. Наибольшие напряжения возни­кают в крайних волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси поперечного сечения балки.