Тема 1. Введение. Напряженно-деформированное состояние изотропного тела.

Конспект лекций

(составитель Кончина Л.В.)

 

Тема 1. Введение. Напряженно-деформированное состояние изотропного тела.

Лекция 1

При выборе расчетной схемы необходимо прежде всего, учитывать следующие допущения:

1. Схематизация свойств материала. Материал конструкции считается: сплошным, т.е. заполняет весь объем без пустот в пределах установленных границ; однородным, т.е. свойства материала по всему объему одинаковы; изотропным, т.е. свойства материала по всем направлениям одинаковы.

2. Материал конструкции работает в пределах идеальной упругости. Упругость – свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры и форму после снятия нагрузки. Принцип начальных размеров (принцип относительной жесткости) – деформации элементов под нагрузкой малы по сравнению с размерами самого тела.

3. Принцип независимости действия сил: результат воздействия на элемент системы сил равен сумме результатов этих же сил, приложенных отдельно в любой последовательности.

 

1.2 Элементы расчетных схем

 

Тело, у которого один размер (длина) много больше двух других (поперечные размеры) называют брусом. К ним относятся балки, валы, оси и др.

Тело, у которого два размера много больше третьего (толщины) и очерчены криволинейными поверхностями, называют оболочками. К ним относятся стенки резервуаров, сосудов, купола зданий и др.

Если поверхности прямолинейные, то такие элементы относят к пластинам (плиты перекрытий, плоские крышки, днища резервуаров и др.).

Тела, у которых все три размера одного порядка называют массивами. Это фундаменты зданий, основания машин, шаровые опоры, катки и др.

 

1.3 Внешние и внутренние силы. Метод сечений

 

Нагрузки по отношению к нагруженному ими телу являются внешними силами. Различают сосредоточенные и распределенные силы, моменты сил и силы реакций.

Сосредоточенные силы– это внешние силы, передаваемые на тело через площадку, размеры которой очень малы по сравнению с размерами этого тела.Измеряют в единицах силы [кг, Н].

Распределенныесилы - это силы, приложенные непрерывно по длине или площади тела. Например, собственный вес бруса представляет нагрузку, распределенную по длине его. Измеряют в единицах [кг/м, кг/м², Н/м, Н/м²].

Сосредоточенные силы, приведенные к заданной точке конструкции вызывают также, сосредоточенные моменты или пары сил. Измеряют  в [кг·м, Н·м].

Пусть дано тело, нагруженное статически уравновешенной системой сил.

Применим метод сечений: рассечем тело и отбросим, например, левую часть. На оставшуюся правую часть кроме внешних сил будут действовать внутренние силы, которые мы по правилам теоретической механики приведем к главному вектору  и главному моменту  относительно центра тяжести сечения . (рис.1.1)

 

Рисунок 1.1

 

Числовые значения этих сил находят из уравнений равновесия для рассматриваемой части стержня с приложенными к ней приведенными выше внутренними усилиями:

; N + ;

; Q_Y + ;

; Q_z + ;

; M_X + ;

; M_Y + ;

; M_Z + .

В каждое из этих уравнений будет входить только по одному неизвестному внутреннему усилию, которое легко определить. В верхнем индексе буквы лев означают, что суммируются проекции сил и моменты сил, действующих слева от сечения.

 

1.4 Понятия о напряжениях

 

Напряжения – это интенсивность внутренних сил, приходящихся на единицу площади. Выберем в пределах сечения точку  К и выделим вокруг нее элементарную площадку .

На этой площадке возникает внутренняя сила  произвольного направления.

Среднее напряжение  в точке К будет равно (рис.1.2)

.

Полное напряжение в точке К определяется по формуле:

 

А

К

Рисунок 1.2

1.5. Главные площадки и главные напряжения. Классификация напряженных состояний

      

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих на различных площадках, проходящих через заданную точку, называется напряженным состоянием в этой точке.

В окрестности любой точки можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения будут отсутствовать. Такие площадки называются главными. Нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения, называются главными напряжениями и обозначаются: σ₁, σ₂, σ₃. Здесь σ₁ – наибольшее (в алгебраическом смысле) главное напряжение, σ₃ – наименьшее, а σ₂ – промежуточное, т.е. σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃.

 

На рисунке показаны три взаимно перпендикулярные произвольные площадки, на гранях которых действуют нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения показаны растягивающими, т.е. положительными. Касательные напряжения (на каждой грани по два) показаны с двумя индексами: первый индекс указывает параллельно какой оси координат действует, а второй – на грани с какой нормалью. В общем случае напряженное состояние в точке описывается тензором напряжений

.

В зависимости от наличия отличных от нуля главных напряжений на главных площадках различают три вида напряженных состояний:

1. Если все три главных напряжения отличны от нуля, то имеет место в данной точке объемное или пространственное напряженное состояние.

2. В том случае, когда два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю – имеет место плоское напряженное состояние.

3. Если только одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю, имеет место одноосное (линейное) напряженное состояние.

Наиболее простым и наглядным случаем одноосного (линейного) напряженного состояния является центральное растяжение–сжатие стержней.

Тема 2. Растяжение и сжатие.

  

Лекция 2

2.1. Деформация растяжения (сжатие)

 Центральным растяжением (или сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает отличный от нуля только один внутренний силовой фактор – продольная сила, а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю. Это бывает в случаях, когда линия действия равнодействующей внешних сил совпадает с продольной осью стержня.

Правило знаков: растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие – отрицательными.

Для определения величины продольной силы N используется метод сечений. При этом полученное в результате положительное значение N соответствует растягивающей продольной силе, а отрицательное – сжимающей.

 На эпюрах проставляют значения найденных продольных сил, их знак и наносят штриховку перпендикулярно оси бруса.

Из анализа эпюры N вытекает следующее правило ее проверки: в поперечных сечениях бруса, в которых приложены внешние активные (F) или реактивные (R) силы, на эпюре продольных сил возникают скачки, равные по величине этим нагрузкам.

При использовании приведенного выше метода сечений необходимо иметь ввиду: если рассматривается равновесие части бруса, включающей в себя опорные связи, необходимо предварительно определить реакции опор, так как они относятся к разряду внешних сил.

Внешними признаками границ грузовых участков являются: места приложения внешних сосредоточенных усилий, места начала или окончания действия распределенной нагрузки, места изменения интенсивности распределенной нагрузки, в случае учета собственного веса бруса – места резкого изменения площади поперечного сечения.

Для определения нормальных напряжений пользуются гипотезой плоских сечений Бернулли: сечения плоские и нормальные к продольной оси бруса до деформации, остаются плоскими и нормальными к этой оси и после деформации.

Продольная сила N  равномерно распределена по сечению, вызывая нормальные напряжения

где А - площадь поперечного сечения бруса.

        

Продольные и поперечные деформации. Коэффициент Пуассона.

 

Под действием силы F брус длиной удлиняется на величину , которую называют полным или абсолютным удлинением (при сжатии – укорочением) (рис.2.1).

Рис. 2.1

 

 

Из рисунка 2.1: 

 [м].

При растяжении >0, при сжатии < 0.

Так как согласно гипотезе плоских сечений Бернулли по всей длине в любой точке поперечного сечения бруса возникают одинаковые удлинения то и линейные деформации будут одинаковы и равны

.

При растяжении (или сжатии) бруса меняются и его поперечные размеры. Из рис.2.1 абсолютное сужение бруса:

[м].

Относительная поперечная деформация:

.

В пределах применимости закона Гука при растяжении (сжатии) поперечная деформация прямо пропорциональна продольной деформации, но имеет обратный знак:

.

Коэффициент  называется коэффициентом Пуассона.

.

В 1660 г. Р. Гук вывел закон, который в настоящее время формулируется так: деформация прямо пропорциональна вызвавшему ее напряжению, т.е.

или ; .

Величину Е называют модулем продольной упругости (модулем Юнга). Это физическая величина постоянная материала, характеризующая его упругость.

 

2.2 Определение абсолютной деформации участка бруса.

 

Если связать между собой  и , то получим выражения:

                               

Отсюда формула для определения абсолютного удлинения (или укорочения) участка стержня длиной :

     

В формуле произведение  называется жесткостью бруса при растяжении или сжатии.

 

 

2.3 Условие прочности. Подбор сечений.

 

Расчет на прочность бруса на растяжение и сжатие выполняется по опасной точке, т.е. нарушением прочности конструкции считают возникновение хотя бы в одной точке предельных напряжени й , при которых в пластичном материале возникают заметные остаточные деформации, а в хрупком материале – первые признаки разрушения. Для пластичного материала при статическом нагружении принимают   (предел текучести), а для хрупкого -   (предел прочности).

Для того чтобы конструкция была прочной, наибольшее расчетное значение  в ней не должно превышать предельного

.

Это выражение иногда называют физическим условием прочности. Для надежной работы конструкция должна обладать определенным запасом надежности, запасом прочности, т.к. фактические нагрузки и свойства материала реально могут существенно отличаться от принятых для расчета. Для обеспечения надежности конструкции вводят коэффициент запаса прочности, равный отношению предельного напряжения к расчетному напряжению.                                  

Расчетный запас прочности должен быть не ниже допускаемого, условие прочности имеет вид

.

Или                                                              

.

Это выражение называют: условием прочности по нормальным напряжени ям.                               

 

      2.4 Расчет на прочность при растяжении (сжатии).

 

Условие прочности по нормальным напряжениям также записывают в виде:

.

Это выражение называют условием прочности на растяжение и сжатие.

Условие прочности должно быть составлено для опасного сечения. Если оно для этого сечения выполняется, то тем более будет выполнятся для всех остальных сечений.

Опасное сечение – сечение, в котором напряжения наиболее близки к предельным, т.е. принимают наибольшие значения - .

Пользуясь данным условием, можно решать следующие задачи:

1. Проверочный расчет: определяют по заданным нагрузкам и размерам поперечного сечения расчетные напряжения  и сравнивают их с допускаемыми . При этом фактические напряжения не должны отклоняться от допускаемого более чем на 5%, т.е.

 

.

  2. Проектировочный расчет: по известным нагрузке и допускаемому напряжению определяют размеры поперечного сечения бруса по формуле

.

 

     3. Определение допускаемой нагрузки по известным размерам поперечного сечения бруса и допускаемому напряжению находят

.

 

После определения внутренней продольной силы N устанавливают методом сечений ее связь с внешней нагрузкой, т.е. определяют ее допускаемое значение.

Лекция 3

 

3.1. Опытное изучение механических свойств материала

 

Расчет на прочность любой конструкции возможен лишь тогда, когда известны механические свойства материала. Эти свойства определяются в процессе испытаний материалов, проводимых по стандартным методикам.

Наиболее распространенным и доступным является испытание материалов на растяжение (сжатие). Полученные при этом данные позволяют также судить и о поведении материала при других деформациях – сдвиге, кручении, изгибе.

  Испытаниям подвергается образец круглого или прямоугольного сечения стандартных размеров. Испытания проводятся на специальных разрывных машинах, оснащенных приборами для измерения деформации и усилия растяжения. Один из видов стандартного образца с круглым поперечным сечением показан на рис.3.1.

 

                                            

 

Рис. 3.1

 

      Поведение материала в процессе его деформации наглядно иллюстрируется диаграммой растяжения, представляющей зависимость между нагрузкой и деформацией при растяжении. Исходная диаграмма получается в координатах «сила растяжения F – абсолютное удлинение l».

   Исходная диаграмма для придания ей свойств общности перестраивается в координатах «напряжение  - относительная деформация », причем напряжение  вычисляется по первоначальной площади образца, без учета её изменения в процессе растяжения:

   Форма диаграммы зависит прежде всего от свойств материала – пластичности или хрупкости. На рис 3.2,а показана диаграмма, характерная для материала с выраженными свойствами пластичности.

   Как видно из диаграммы, на первом участке ОА деформация растет пропорционально напряжениям, что является проявлением свойства упругости материала в соответствии с законом Гука.

   Свойства упругости продолжают наблюдаться вплоть до точки В диаграммы. Точкам А и В диаграммы соответствуют напряжения предела пропорциональности  и предела упругости .

   Если в границах прямолинейного участка ОА взять некоторую точку N, которой соответствуют напряжение  и относительная деформация , то тангенс наклона этой прямой ОА будет равен

,

где Е является величиной модуля упругости первого рода. Таким образом диаграмма растяжения позволяет опытным путем определять значение модуля упругости Е.

   Cледующим участком на диаграмме между точками С и D является площадка текучести, характеризуемая напряжением . Напряжение   называется пределом текучести. Как видно, деформация здесь увеличивается без заметного роста нагрузки. Это явление связано с проявлением свойства пластичности, состоящего в сдвиге частиц материала по граням кристаллических решеток.

   Далее, как это видно из диаграммы, процесс удлинения при постоянной нагрузке через некоторое время приостанавливается и материал вновь обретает способность сопротивляться возрастающей нагрузке, хотя и менее интенсивно, чем на участке ОА.

Участок DE диаграммы называют участком упрочнения, а верхнюю точку диаграммы Е, которой соответствует напряжение  – пределом прочности или временным сопротивлением. Точка G соответствует разрушению испытуемого образца материала.

 

M

G

D

Е

O

К

O

N

C

B

A

       

 

 

                                                                                  

 

                                         (а)                                                                                         (б)

Рис.2.2

 

Условная диаграмма растяжения (диаграмма условных напряжений). Следует особо отметить, что при испытании нескольких пропорциональных образцов из одного и того материала получают серию диаграмм растяжения, каждая из которых характеризует свойства не материала, а каждого отдельного образца (рис. 3.3). Для того, чтобы можно было сравнить результаты испытаний, диаграммы растяжения перестраивают в другой системе координат: напряжение – относительные удлинения, т.е. (), где - первоначальная площадь поперечного сечения образца,  - первоначальная (расчетная) длина образца, соответственно. Такую диаграмму называют условной диаграммой растяжения (диаграммой условных напряжений). Условность ее заключается в том, что при растяжении площадь поперечного сечения образца постоянно уменьшается, и особенно значительно в момент его разрыва (для пластичных материалов – до 50%). Таким же образом изменяются и удлинения. Поэтому говорить о истинности напряжений в этом случае нельзя.

 

Явление повышения предела пропорциональности материала и уменьшения его остаточной деформации при разрыве (и повышение его хрупкости) называют наклепом.

Явление наклепа можно усилить, если наклепанный образец нагрузить повторно лишь через достаточно большое время. В этом случае повысятся не только , , но и . Такой прием называют естественным старением материала. Старение можно ускорить термической обработкой материала (искусственное старение).

Явление наклепа как положительное часто используют в технике. Например, чтобы уменьшить провисание проводов, их предварительно вытягивают, создавая . В случаях, когда наклеп нежелателен, т.к. он повышает хрупкость материала, его можно устранить отжигом детали в печи.

Разрыв образца из хрупкого материала происходит при незначительных удлинениях без образования шейки (рис. 3.5,в). Хрупкое разрушение происходит по сечению, в котором возникают наибольшие нормальные напряжения, при этом остаточное удлинение при разрыве не превышает = 0,015%. Закон Гука уже при малых напряжениях не выполняется. 

 

Рис. 2.3

Рис. 2.4.

Однако при практических расчетах в пределах рабочих напряжений криволинейную часть диаграммы заменяют хордой  и считают модуль упругости  постоянным, а материал – следующим закону Гука (рис. 2.4). При этом получают в качестве характеристики прочности предел текучести                            .               Теоретический предел прочности, вычисленный на основе учета межатомного взаимодействия, составляет

 

, т.е. для стали 20 ГПа = 20·10⁹ Па. К теоретической прочности можно приблизится двумя путями:

 а) создать материалы, свободные от внутренних дефектов кристаллических решеток – дислокаций, по которым и происходит разрушение. Получены уже нитевидные кристаллы длиной 3 ÷ 4 мм («усы») железа с пределом прочности  =15·10⁹ Па.

 б) создать в материале, как это ни парадоксально, возможно больше нарушений в кристаллической решетке путем сочетания пластической деформации (наклепа) с термообработкой или путем нейтронного облучения. При этом из кристаллической решетки выбиваются атомы, т.е. создаются вакансии, или атомы без места – внедренные атомы. Это приводит к затруднению сдвиговых деформаций, а в итоге к повышению предела прочности.

места – внедренные атомы. Это приводит к затруднению сдвиговых деформаций, а в итоге к повышению предела прочности.

 

Тема 3. Сдвиг. Кручение.

Лекция 4

 

Сдвиг

   Если на тело действуют две равные силы F, весьма близко расположенные друг к другу, перпендикулярные оси тела и направленные в противоположные стороны (рис.3.1), то под действием этих сил правое сечение тела будет стремиться сдвинуться вверх, а левое опуститься вниз. Деформация, которая при этом возникает в поперечных сечениях тела ав и с d называется сдвигом. Если напряжения, возникающие при этой деформации достигнут предельного значения – предела прочности, произойдет разрушение материала – срез.

d

c

b

a

F

F

 

 

Рис. 3.1

 

Рассмотрим стержень, для простоты прямоугольного сечения, претерпевший деформацию сдвига под действием двух сил F. Правое сечение сместится по отношению к левому на величину абсолютного сдвига . Величину  называют относительным сдвигом.

   Если провести в стержне сечение между двумя срезывающими силами (рис.3.2,б) и отбросить одну часть, то действие отброшенной части на оставшуюся часть следует, в соответствии с методом сечений, заменить внутренними силами. Силы эти будут действовать в плоскости сечения (рис.3.2,б). Следовательно, сдвиг вызывает касательные напряжения. При

 равномерном их распределении по площади сечения, величина напряжений определится как

,               (3.1)

где А – площадь поперечного сечения стержня.

   Условие прочности для случая сдвига определяется из неравенства

               (3.2)

где  допускаемое напряжение при сдвиге для данного вида материала.

   Для деформации сдвига, как и для случая растяжения, оказывается справедливым закон Гука. Для сдвига он приобретает вид

,

где  - относительная деформация при сдвиге,

  G – модуль упругости второго рода.

Между величинами модулей второго и первого рода для одного и того же материала имеется следующее примерное соотношение:

.

 

c

e

a

e

d

b

F

F

c

a

F

F

 

 

 

 

                           (а)                                                   (б)

 

                                                  

                                                                               Рис. 3.2

Лекция 5

2.1 Геометрические характеристики сечения

Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения.

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление, а также при расчете сжатых стержней на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики поперечных сечений:

– статический момент площади;

– осевой (экваториальный) момент инерции;

– полярный момент инерции;

– центробежный момент инерции сечения.

Дадим определения этим геометрическим характеристикам для сечения произвольной формы

Статическим моментом площади относительно некоторой оси называется взятый по всей его площади интеграл от произведения площади элементарного участка dA на расстояние от его центра тяжести до рассматриваемой оси.

          

Статические моменты выражаются в см³ и м³.

Статический момент площади составной фигуры относительно какой-либо оси равен сумме статических моментов площадей отдельных фигур относительно этой же оси.

В случае сложного сечения, состоящего из n частей, для которых известны площади и положения центров тяжести, выражение примет вид:

где – площадь i-й части сложного сечения;  и  – расстояния от центров тяжести i-й отдельной части до осей Z и Y; n – число частей.

Статический момент площади может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Он равняется нулю тогда, когда рассматриваемая ось проходит через центр тяжести площади сечения.

Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется взятый по всей его площади А интеграл от произведения площади элементарного участка dA на квадрат расстояния от его центра тяжести до рассматриваемой оси:

           

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятый по всей его площади А интеграл от произведения площади элементарного участка dA на квадрат расстояния от его центра тяжести до рассматриваемой точки (полюса):

Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятый по всей его площади А интеграл от произведения площади элементарного участка dA на расстояния от его центра тяжести до рассматриваемых осей:

Моменты инерции измеряются в см⁴ и м⁴. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны. Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Осевые моменты инерции относительно таких осей принимают экстремальные значения и называются главными моментами инерции.

Центральные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями инерции.

Порядок определения положения главных осей и величин главных моментов инерции для сечений, не имеющих ни одной оси симметрии, будет рассмотрен дальше.

Осевой момент инерции сложного сечения относительно оси Z (или Y) равен сумме осевых моментов инерции составляющих его частей (простых фигур) относительно этой же оси.

Центробежный момент инерции сложного сечения относительно некоторых осей Z и Y равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей (простых фигур) относительно этих же осей.

Если известны осевые и центробежный моменты инерции отдельной части сечения относительно центральных осей этой части, то моменты инерции относительно осей Z и Y, проходящих через центр тяжести всего сечения и параллельных центральным осям отдельной части, определяются по формулам:

Здесь:  – моменты инерции отдельных частей относительно их центральных осей (собственные моменты инерции);  – координаты центра тяжести i-й части относительно центральных осей всего сечения Z и Y.

Для определения моментов инерции сложных сечений в первую очередь их необходимо разбить на простые части и определить моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей:

Лекция 6

Тема лекции: Изгиб

    Изгибом называют вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникают внутренние изгибающий моментМи по­перечная сила Q.

Брус, работающий на изгиб, называют балкой.

При изгибе балки ее продольная ось деформируется: волокна расположенные на выпуклой стороне растягиваются, а на вогнутой стороне - сжимаются. Слой балки, в котором не возникают при изгибе деформации растяжения - сжатия называют нейтральным слоем, а линия пересечения этого слоя с поперечным сечением балки - нейтральной линией (осью).

Если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей балки, то изгиб называют прямым или плос­ким. Если силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей, то такой изгиб называют ко­сым. Если в поперечных сечениях балки возни­кает только внутренний изгибающий момент, то изгиб называют чистым. Если в поперечных сечениях балки возникают внут­ренние изгибающий момент и поперечная сила, то изгиб называют поперечным. Следует отметить, что как чистый, так и поперечный изгибы могут быть прямыми и косыми.

       Балка, лежащая на двух опорах, называется двухопорной балкой. На расчетных схемах показывают только продольную ось балки.

Балка, за­деланная (защемлен­ная) одним концом – консоль. Участок бал­ки между опорами на­зывают пролетом.

Лекция 7.

Конспект лекций

(составитель Кончина Л.В.)

 

Тема 1. Введение. Напряженно-деформированное состояние изотропного тела.

Лекция 1

При выборе расчетной схемы необходимо прежде всего, учитывать следующие допущения:

1. Схематизация свойств материала. Материал конструкции считается: сплошным, т.е. заполняет весь объем без пустот в пределах установленных границ; однородным, т.е. свойства материала по всему объему одинаковы; изотропным, т.е. свойства материала по всем направлениям одинаковы.

2. Материал конструкции работает в пределах и