Определение предела последовательности и функции.

«Предел последовательности»

Множество действительных чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел:  называется числовой последовательностью. Её можно определить также и как функцию . Графиком в этом случае будет не кривая, а дискретный набор точек. 

Например,  - последовательность.

Определение. Число  называется пределом последовательности , если: , такое, что  выполняется: . В этом случае говорится, что последовательность стремится к числу А.   

Обозначение предела: .

Если рассмотреть полосу от  до  по высоте, то начиная с какого-то номера, все последующие точки будут попадать в эту полосу:

Чем меньше число  (погрешность меньше) тем больший номер требуется.

Пример. . По определению: если например требуемая точность  то ,  выполняется: разность элемента и 0 менее 1/100, то есть 1/101 затем 1/102 и т.д.

 

* Для того, чтобы лучше понять, что такое предел, представьте следующее. Машина приближается к городу. Для любого заранее заданного расстояния (например = 10 км.) существует такой момент времени , что в последующие моменты времени расстояние будет меньше, чем . Это как раз и означает «стремится к 0», то есть расстояние уменьшается к 0. Если задать = 5 км. то это достигается в более поздний момент времени, а если = 1 км. то ещё позже.

 

Для некоторых последовательностей предел может не существовать. Так, для последовательности  предел не существует. Здесь не происходит стабилизация значений, то есть их колебания по высоте всегда 1. После каждого номера, найдётся последующий элемент, который удаляется на расстояние 1 от предыдущего, то есть эти колебания не могут быть меньше заранее заданного малого числа .

Для последовательности  предел равен .

 

 

Простейший пример.   Найти предел .

Решение. Сократим на n.  =   = .

Ответ. .

Задача 175. Найти предел . 

Решение. Здесь неопределённость типа . Вынесем за скобки  и в числителе, и в знаменателе, с целью сократить на этот множитель.

 =  =

Каждая из мелких дробей в числителе и знаменателе стремится к 0,

поэтому получается сумма пределов в каждом случае, и тогда

 = . Ответ. .

Задача 176.  Найти предел .   

Решение. Здесь неопределённость типа . Вынесем за скобки и сократим самую старшую степень элемента , в прошлой задаче это была 2-я степень, а здесь 3-я.

 =  =  = . Ответ. .

 

Задача 177.  Найти предел .

Решение. Есть 2 способа. Можно сократить на :

 =  = .

А можно сократить на :

 =  = .

Ответ. 0.

Замечание. Если наоборот, в знаменателе была бы степень больше, чем в числителе, то ответ не 0 а .

В общем случае, когда степени разные:  = .

Задача 178. Найти предел .

Решение. Здесь неопределённость типа . Будет ошибочно думать, что . Так, например, если от нас удаляются 2 объекта со скоростями  и , то не только расстояние от нас до каждого объекта, но и расстояние между ними увеличивается к .

Чтобы свести к дроби, и сокращать как в прошлых примерах, надо сначала домножить на «сопряжённое» выражение, то есть такое где вместо разности сумма, это позволит использовать формулу сокращённого умножения .

 =  =

 = .

Теперь можно сократить на первую степень : 

 =  =  =  =  =  = 3. Ответ. 3.

Задача 179. Найти предел .

Решение. Здеь домножение и не требуется, а можно сразу сократить на .

 =  =  = .       Ответ. 1.

 

Задача 180. Найти предел .

Решение. Можем сразу сократить на . В числителе при этом можно представить  в виде .

 =  =  =

 = 2.    Ответ. 2.

 

Таблица соответствия недель, задач и номеров практик.

Неделя	520	Задачи	530	Задачи
с 14 сент.	1 17.09 2 18.09	1-13 14-20	1 19.09 2 19.09	1-13 14-20
с 21 сент	3 23.09 4 25.09	21-28 29-35	3 23.09 4 25.09	21-28 29-35
с 28 сент	5 1.10 6 2.10	36-46 47-57	5 3.10 6 3.10	36-46 47-57
с 5 окт	7 7.10 8 9.10	58-66 67-76	7 7.10 8 9.10	58-66 67-76
с 12 окт	9  15.10 10 16.10	77-89 90-99	9 17.10 10 17.10	77-89 90-99
с 19 окт	11 21.10 12 23.10	100-108 109-115	11 21.10 12 23.10	100-108 109-115
с 26 окт	13 29.10 14 30.10	116-133 134-142	13 31.10 14 31.10	116-133 134-142
с 2 нояб	- (4.11) 15 6.11	- 143-152	15 5.11 16 6.11	143-152 153-160
с 9 нояб	16 9.11 17 11.11	153-160 161-170	17 9.11 18 13.11	161-170 171-180
с 16 нояб	18 18.11 19 20.11	171-180	19 19.11 20 20.11
с 23 нояб	20 23.11 21 25.11		21 23.11 22 27.11
с 30 нояб	22 2.12 23 4.12		23 3.12 24 4.12
с 7 дек	24 7.12 25 9.12		25 7.12 26 11.12
с 14 дек	26 16.12 27 18.12		27 17.12 28 18.12
с 21 дек	28 21.12 29 23.12		29 21.12 30 25.12