Введение в математический анализ.

Множества и функции.

Чётность и нечётность.

       Чётная функция: . График чётной функции симметричен относительно оси 0y, т.е. при зеркальном отражении переходит в точно такой же график, примером может быть парабола, а также cos(x).

       Нечётная функция: . График нечётной функции симметричен относительно точки (0,0), то есть после поворота на 180⁰ график был бы таким же, примером может быть кубическая парабола или любая другая нечётной степени, или например синус, тангенс.

 

Задача 162. Доказать нечётность функции .

Решение. Заменим  на , при этом  наоборот, заменится на .

 =  = .

Таким образом, , то есть функция нечётная.

 

Задача 163. Доказать, что любая функция  представима в виде суммы чётной и нечётной, то есть .

Решение. Введём две функции: , . Первая из них чётна, вторая нечётна. Видно, что если заменить  на , то для  получится выражение, равное исходному, а вот для разность в числителе будет противоположна:  = .

Сумма этих функций: = =  = .

итак, .

       Если чётную и нечётную компоненты записать для функции , то получатся так называемые гиперболический косинус и гиперболический синус: , .

 

 

Задача 164.  Даны 2 функции: , . Найти все их возможные композиции.

Решение.  так как  то повторное вычисление синуса ещё чуть уменьшает значение этой величины, поэтому график суть ниже обычного графика синуса.

Графики для сравнения:

 

, здесь скорость возрастания с ростом    всё более увеличивается, то есть колебания синуса учащаются. График:

,график: 

  

 строение этой функции хорошо известно.

На чертеже зелёным показан график , синим .

Задача 165. Исследовать композицию , построить график.

Решение. Область определения - множество интервалов, где , то есть . При , .

Синим цветом показан график , зелёным .

 

Задача 166.  Найти композицию  если . 

Решение. Двойная композиция это ,

а тройная композиция . Можно сначала привести подобные внутри самой внутренней дроби, для чего 1 представим как .

 =  =  =  

И в этой дроби тоже приведём подобные таким же способом.

 =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 167.  Точка движется по окружности единичного радиуса вокруг начала координат в плоскости. Температура распределена по закону: . Найти для этой точки функцию, как меняется температура в зависимости от времени.

Решение. Движение точки можно задать так: , .

Подставим эти выражения в , чтобы получить композицию функций.  = .

Ответ. .

 

Задача 168.  Найти область определения функции: .

Решение. Выражение под каждым из корней должно быть , а для второго даже строго больше 0, так как он в знаменателе.

Получается система из 2 неравенств:  и .

,  . 

Итого, пересечение этих множеств: .

Ответ. .

 

Задача 169.  Найти область определения функции:

.

Решение. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны

это область вне круга радиуса 1.

 это область внутри круга радиуса 3. 

В их пересечении лежит кольцо .

Чертёж:

Ответ. Кольцо .

Задача 170.  Найти область определения функции 3 переменных: 

.

Решение. Здесь , т.е. . Это неравенство задаёт шар радиуса 1. Штриховкой в плоскости, как в прошлой задаче, для функции трёх переменных изобразить уже невозможно.

Ответ. Шар радиуса 1: .

 

 

Практика 18

В следущих задачах научимся строить графики кусочно-заданных функций. С такими функциями мы будем сталкиваться 1) при изучении точек разрыва 2) при изучении рядов Фурье.

Задача 171-а. Записать вид функции по графику:

Решение. Запишем функцию на каждом из участков:

Задача 171-б. Построить график функции:

Задача 171-в. Построить график функции:

 

 

Композиции тригонометрических и обратных тригонометрических

функций.

Задача 172.  Записать композиции  и  без использования тригонометрических функций.

Решение. Существует угол, тангенс которого равен . Тогда противолежащий и прилежащий катеты можно обозначить  и 1 соответственно. В таком случае по теореме Пифагора вычисляется гипотенуза, . А теперь, когда известны все 3 стороны, можно найти как синус, так и косинус искомого угла.

 , . 

 

Их графики:

Задача 173.  Записать композиции  и  без использования тригонометрических функций.

Решение. Если  это синус угла, то подпишем противолежащий катет и гипотенузу:  и 1. Длина третьей стороны, т.е. прилежащего катета, тогда равна .

В таком случае тангенс и котангенс вычисляются так: , . 

 

 

* О влиянии сдвига и коэффициента на строение графика.

 сдвиг вправо,  сжатие. 

Задача 174. Исследовать графики функций ,  .

 и