Алгоритм поиска собственных векторов.

Практика № 10.   

Задача 90. Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен .   

Решение.

Площадь параллелограмма - значит, надо вычислить модуль векторного произведения = =   =

 =  =  =  =

 = 92.       

Ответ 92.

 

Задачи 91 и 92. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰.

Задача 91. Найти .  

Решение.  = =  =  =  =

 =  = 1227.

Ответ. 1227.

Задача 92. Найти | [a,b] |. 

Решение.

 | [a,b] | = | |= | | = | | = | | =  =

 = .

Ответ. .

 

Задача 93. Найти смешанное произведение трёх векторов: 

.

Решение.  Вычислим определитель:

 =  = 25. Ответ. .

Задача 94.  Доказать, что 4 точки: A(1,1,1), B(2,3,1), C(2,4,2), D(3,6,2) 

лежат в одной плоскости. 

Решение. Составим 3 вектора AB, AC, AD и докажем, что они лежат в одной плоскости.

AB = (1,2,0), AC = (1,3,1), AD = (2,5,1). 

Определитель  = 0 так как 3 строка есть сумма 1-й и 2-й.

Ответ. 4 точки в одной плоскости.

Задача 95. Найти объём тетраэдра, вершины которого

A(1,1,1), B(2,1,3), C(2,2,4), D(1,2,4). 

Решение. Объём тетраэдра ровно в 6 раз меньше объёма параллелепипеда с рёбрами AB, AC, AD.

Найдём эти векторы, и сначала вычислим объём параллелепипеда с помощью определителя, затем поделим на 6.

AB = (1,0,2), AC = (0,1,3), AD = (1,1,3).

 = , .

Ответ. Объём тетраэдра равен .

 

Линейные операторы

Задача 96. Построить матрицу линейного оператора в 2-мерном пространстве, если действие оператора задано таким образом: .

Решение. Находим, в какие векторы отображаются два базисных вектора: , .

Эти результаты запишем по столбцам: .

Ответ. Матрица линейного оператора .

Проверка: . То есть действительно, вычисление координат образа вектора по данным формулам даёт точно такой же результат, как и с помощью умножения на матрицу.

Так,   но ведь и по исходным формулам  получилось бы то же самое: .

 

Задача 97. Построить матрицу линейного оператора в 3-мерном пространстве

Решение. Отобразим базис 3-мерного пространства.

Ответ. Матрица линейного оператора .

 

Задача 98. Построить матрицу оператора поворота на произвольный угол .

Решение. Найдём матрицу оператора поворота на угол .

Расстояния r1 и r2 здесь равны  и . Красным показаны образы базисных векторов. Получаем матрицу .

Ответ.

При   получится  Действие оператора на любой вектор задаётся матрицей так:  - любой вектор поворачивается на 90 градусов.

При  матрица , и действительно, умножение на такую матрицу переводит любой вектор  в .

 

 

Задача 99. С помощью линейного оператора поворота плоскости доказать, что скалярное произведение не изменяется при повороте.

Решение. Рассмотрим векторы  и . Их скалярное произведение равно . теперь отобразим каждый из этих векторов с помощью линейного оператора поворота на угол .

 =  

 =  

А теперь скалярно перемножим 2 получившихся вектора: 

и .

=

 +

 

Учитывая, что 3,4,7,8 слагаемые взаимоуничтожаются, получим:

 = .

Ответ:  Что и требовалось доказать. 

 

Практика 11 (21.10.2020).

Ответ.

Собст. число  собст. вектор (1,0,0),  

собст. число   собст. вектор (1,1,0),

собст. число  собст. вектор (1,1,1).

 

 

Задача 107. Найти собственные числа и векторы   

Решение.

разложим по 2-й строке:

 =  что сводится к

, первый корень и так виден и равен 1, у второго выражения найдём корни, например, через дискриминант, получаем 1 и 2. Итак, , корни 1,1,2, они же собственные числа. Два характеристических корня совпали (1 это корень кратности 2). Теперь ищем собственные векторы.

.

, если в такой системе уравнений вычесть из 3-го уравнения утроенное 1-е, то 3-е обнулится, и в итоге ранг системы равен 1. То есть мы видим, что в случае корня кратности 2, ранг понизился сразу на 2 пункта, здесь будет 2 свободных неизвестных.

Итак, система из 1 уравнения с 3 неизвестными: .

Тогда , свободные переменные  поочерёдно принимают значение 1, ФСР из двух векторов: (1,0,2) (0,1,2).

 

. 

, при этом сразу замечаем, что из 2-го уравнения будет следовать , поэтому в остальных уравнениях его сразу не пишем. Однородная система:

Ещё два уравнения в ней пропорциональны, так что в итоге, у нас есть такое общее решение: . ФСР вектор (1,0,3).

Ответ. Кратный корень  два вектора: (1,0,2) (0,1,2),  

Корень  вектор (1,0,3).

Проверка. , , .

Задача 108.  Найти все собственные значения и векторы для линейного оператора, заданного матрицей:

Решение. Найдём собственные значения с помощью характеристического уравнения.

 сводится к

Видно, что есть по крайней мере один корень .

Затем разделим многочлен  на , получим крадратичное уравнение и там найдём ещё 2 корня.

Итак, разделилось без остатка. Таким образом,

 = .

Для многочлена 2 степени: . Корни , т.е. 3 и 4.

Итак, собственные числа: , , .

Теперь ищем вектор для каждого из этих чисел.

Пусть . Составим однородную систему 

 здесь сразу видим, что 2 и 3 строка одинаковы, то есть 3-е уравнение копия 2-го, так что в системе фактически не 3, а 2 уравнения.

Запишем систему, заодно при этом поделив 1-е уравнение на 2.  

Из 1-го сразу , подставляя во 2-е, можно также и  выразить через : , т.е. . При этом  свободная переменная. Общее решение . ФСР это вектор (1,2,3).

 

Пусть теперь . Составим однородную систему:  

Из 1-го уравнения сразу очевидно .

Система:   Если учесть , то  так что очевидно, что и . ФСР (1,1,1).

 

Пусть теперь . Составим однородную систему:  

 Система:   

из 1-го уравнения , подставим эту информацию во 2-е и 3-е.

 значит . ФСР (2,1,1).

Ответ.  собственный вектор (1,2,3),

 собственный вектор (1,1,1),  

 собственный вектор (2,1,1).  

 

Практика № 12. 23.10.2020.

Задача 109. Найти все собственные значения и векторы для линейного оператора, заданного матрицей: . 

Решение.  сводится к уравнению

, корни которого: .

.

, система    

откуда , ФСР это вектор .

.

, система    

откуда , ФСР это вектор .

 

.

, система    

откуда , а значит и ,  свободная переменная.

Тогда ФСР это вектор (1,0,0).

Ответ.

 собст. вектор ,  

собст. вектор ,

 собст. вектор (1,0,0).

Задача 110. Найти все собственные значения и векторы для линейного оператора, заданного матрицей:    

Решение.  сведём к уравнению.

. Один корень, очевидно, , два других найдём, решим квадратное уравнение (через дискриминант либо по теореме Виета). Получим  и . Теперь решаем однородную систему для каждого .

система    

отсюда следует, что , . Тогда вектор . 

 

система    

отсюда следует, что , . Тогда вектор (1,1,0). 

 

система    

Здесь 2 уравнения. Если вычесть 1-е из 2-го, получим , то есть . Тогда, присвоив , мы сможем и  тоже выразить через . Например, из 1-го получим: , в итоге , и . Если присвоить , получим вектор . Впрочем, чтобы не было дробей, можем увеличить в 3 раза, и рассматривать собственный вектор (3,3,2).

Ответ.  вектор   

 вектор (1,1,0)   вектор (3,3,2).    

 

 

Квадратичные формы.

Задача 111. Построить матрицу кв. формы .

Решение. Распределим поровну коэффициенты:

. Каждый коэффициент, стоящий при , запишем на место .

Ответ: матрица: .

Задача 112. Построить матрицу квадратичной формы:

.  

Решение. По диагонали коэффициенты при квадратах, а остальные должны быть разделены поровну, то есть .

Таким образом мы добиваемся, чтобы матрица была симметрической.

Ответ. Матрица .

Проверка.

 = .

Приведение к главным осям. Алгоритм:

1. Записать матрицу кв. формы.

2. Найти собственные числа и векторы.

3. Нормировать векторы.

4. Записать формулы перехода от старого к новому базису.

5. Подставить в кв. форму, привести подобные.

Задача 113. Квадратичную форму  привести к главным осям.

Решение. Сначала построим её матрицу: .

Характеристическое уравнение , собственные числа . Ищем собственные векторы для каждого из них.

: , , собственный вектор (1,1).

: , , собственный вектор .

Затем нужно нормировать их, то есть поделить на длину. Итак получили новый ортонормированный базис:

 и .

Запишем связь старых и новых координат, новые мы обозначаем .

 здесь надо вспомнить, что для нахождения новых координат мы решали систему уравнений, где основная матрица - это «матрица перехода», у которой в столбцах векторы нового базиса.

Итак, верны такие формулы: , .

В записи квадратичной формы заменим  по этим формулам. Мы увидим, что после приведения подобных сократятся все произведения, содержащие разные переменные, вида , и останутся только квадраты, причём коэффициентами как раз и окажутся собственные числа.

 =  =  = .

Ответ. Кв.форма: , новый базис  и .

Задача 114. Квадратичную форму  привести к главным осям.

Решение. Матрица квадратичной формы .  

Найдём собственные числа и векторы. Характеристическое уравнение =  =   =

Собственные числа 5 и 1.

Решаем две однородные системы, для каждого  по отдельности.

 : , , ранг системы = 1, остаётся одно уравнение , собственный вектор (1,1).

Нормируем этот вектор, то есть делим на его длину, которая составляет . Получаем .

Аналогично,

 : , , ранг системы = 1, остаётся одно уравнение , собственный вектор .

Нормируем его: .

Как видим, эти векторы ортогональны. Это потому, что матрица оператора симметрична (что и так следует из теоремы 7, см.лекции).

Обратите внимание, что этот новый базис - повёрнутый на 45⁰ декартов базис, то есть (1,0) и (0,1). Синим цветом нарисованы векторы (1,0) и (0,1) а красным  и .

При таком преобразовании плоскости не искажаются площади фигур. Если бы мы не нормировали векторы, то при линейном преобразовании искажались бы площади, коэффициенты квадратичной формы в новом базисе не получились бы равны собственным числам . Причём если  это именно 2-й а не 1-й, то преобразование плоскости получается без зеркального отражения, т.е. просто поворот.

 

Обозначим новые координаты , тогда взаимосвязь старых и новых координат через матрицу перехода выглядит так:

- отсюда, умножив матрицу на столбец, можно записать формулы связи старых и новых координат:  , .

Если мы подставим эти  в исходную квадратичную форму , то увидим, что в ней не будет произведений типа , а коэффициенты при квадратах - это и будут ранее найденные собственные числа. Покажем это подробнее:

 =  =

 =

 = .     

Собственные числа, как видим, как раз и оказались в роли коэффициентов при квадратах.

Ответ. , новый базис  и .

Задача 115. Привести к главным осям квадратичную форму: 

Q(x,y) = 14 +24 +21 .

Решение. Матрица: . Ищем собственные числа и векторы.

 =  = .

, , корни 30 и 5.

Ищем собственные векторы.

Пусть . ,

уравнения в такой системе пропорциональны, ранг равен не 2, а 1.

Фактически, здесь одно уравнение: . 

Можно в качестве ФСР принять вектор (3,4).

Однако его ещё надо нормировать. Длина равна  = 5.

Итак, нормированный собственный вектор .

 

Пусть . ,

уравнения пропорциональны, ранг равен 1.

Фактически, здесь одно уравнение: . 

Можно в качестве ФСР принять вектор . Длина равна 5. Нормированный собственный вектор .

Итак, новый базис состоит из векторов  и .

Переход к новым координатам:

, т.е.  , . 

Если подставить эти выражения в 14 +24 +21  и привести подобные, получим 30 +5 .

+ 24 + 21  =

 +  +

 =

 +  +  =

 +  +  = 30 +5 .

Ответ. 30 +5 , новый базис:  и .

 

Практика 13.

Аналитическая геометрия.

Прямая на плоскости

Плоскость в пространстве.

Задача 131. Построить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1,2,3) перпендикулярно вектору (1,4,2)

Решение. Для произвольной точки  в плоскости, вектор  с координатами ортогонален . Их скалярное произведение 0. Тогда , т.е.

.

Ответ. Уравнение плоскости .

Замечание. Второй способ. Если мы уже знаем из теории, что координаты нормали это и есть коэффициенты A,B,C в уравнении плоскости, то можно сразу записать , а затем найти неизвестную D, используя условие, что точка (1,2,3) принадлежит плоскости: , откуда .

Задача 132. Построить уравнение плоскости по точке (2,2,8) и перпендикуляру (3,3,7).

Решение. Как и в прошлой задаче, берём произвольную точку  в плоскости, тогда вектор ортогонален вектору . Тогда  из чего следует .

Ответ. .

 

Задача 133. Построить уравнение плоскости, проходящей через (0,0,0) параллельно 2 направляющим (1,1,2) и (2,1,3).  

Решение. Вектор от начала координат до произвольной точки , который сам имеет координаты , лежит в плоскости двух направляющих, т.е. определитель равен 0.  = .

Ответ. .

 

Практика 14.

Задача 134. Построить уравнение плоскости по точке  и двум направляющим векторам (4,2,3) и .

Решение. Возьмём вектор  в плоскости, тогда 3 вектора, а именно , (4,2,3) и  должны образовывать линейно-зависимую систему. То есть, можем сразу найти такой определитель и приравнять к 0:

 =  = .

Из этого следует . Такое уравнение можно сократить на 3, и получается .

Ответ. .

 

Задача 135. Построить уравнение плоскости по трём точкам. А(1,2,3), В(3,5,7), С(4,5,6).

Решение. Здесь можно одну из точек, например А, рассматривать в качестве основной, а две другие помогут найти 2 направляющих вектора: АВ и АС. АВ = (2,3,4), АС = (3,3,3).

Для удобства вычислений, вынесли из определителя коэффициент 3.

Можно сразу сократить на него правую и левую часть.

Итак,   

.  

Сократим ещё на , получим .

Ответ. .

 

Задача 136. Найти расстояние от точки M₁ (3,1,5) до плоскости .   

Решение. По формуле  получаем, что

 =  = = .

Ответ. .

Задача 137. Найти угол между двумя плоскостями:  и . 

Решение. Нормали к этим плоскостям:  и . 

Нормали не коллинеарны, то есть плоскости не параллельны, значит, они действительно пересекаются по какой-то прямой, и между ними есть какой-то угол.

 =  = .

Кстати, константа в уравнении одной из плоскостей никак не влияет на ответ, так как параллельный перенос плоскости не влияет на угол, который она образует с другой плоскостью.

Ответ. , что приблизительно составляет 83,6 градусов.

Задача 138. Через точку  и ось Ох проходит одна плоскость, через эту же точку и ось Оу вторая. Найти тупой угол между этими плоскостями.

Решение. Если плоскость содержит ось и точку, то в ней по крайней мере содержится начало координат, и 2 такие направляющих: один проведён от (0,0,0) к точке , а второй - это просто базисный вектор оси, то есть для Ох вектор (1,0,0), а в случае оси Оу (0,1,0). Таким образом, уравнения каждой плоскости можно построить.

А затем мы найдём угол между их нормалями. Эти плоскости можно представить так: две наклонные части крыши. Плоскость, перпендикулярная линии ОМ, не горизонтальна, так что угол между двумя частями такой крыши вовсе не 90 градусов. Чем более пологая крыша, тем ближе этот угол к 180, а чем более крутая, тем ближе к 90. Плоскость, перпендикулярная стыковочной линии крыши, а именно линии ОМ, показана жёлтым цветом. 

 

Строим уравнение 1-й плоскости. Возьмём 3-й вектор, проведённый к какой-то произвольной точке  от начала координат. Тогда 3 радиус-вектора, проведённых из начала координат, а именно , , должны образовать линейно-зависимую систему.

=  = .

Нормаль к этой плоскости .

Строим уравнение 2-й плоскости. Аналогично, только (0,1,0).

=  = .

Нормаль к этой плоскости .

Известно, что .

Тогда , т.е. , угол 120 градусов. 

Замечание. Если бы надо было найти косинус наименьшего угла, то есть острого, то должны были бы рассматривать модуль , чтобы угол получился именно в 1-й четверти, т.е. с положительным cos.

Вообще же, всегда имеется два угла,  и . В зависимости от того, острый или тупой угол надо рассматривать, его косинус вычисляется как  либо . Ответ. .

Прямая в пространстве

Практика 15

Задача 143. Доказать, что две прямые в пространстве